張鳳潔

思維本來就是人們討論的熱門話題，2022年新課標(biāo)的出臺(tái)，又增強(qiáng)了教師們對(duì)思維的認(rèn)識(shí)和重視。思維在各個(gè)學(xué)科中都有所體現(xiàn)，但不可否認(rèn)，在數(shù)學(xué)學(xué)科中體現(xiàn)得更為明顯。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要有意識(shí)地把思維融入數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)的教學(xué)中，切實(shí)地提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、數(shù)學(xué)思維的基本形式：分析與綜合

科學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)，思維是人腦的一種機(jī)能，是人腦對(duì)客觀事物的一種反映。巴甫洛夫根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)材料證明，思維其實(shí)就是人們對(duì)事物分析與綜合的過程。如人們對(duì)于自然和社會(huì)的認(rèn)識(shí)，都是在分析之后又立即加以綜合的結(jié)果。在森林里，可以把樹木分析為根、干、枝、葉，乃至木柴的組成部分，然后又把根、干、枝、葉等結(jié)合為“樹木”，又把許多樹木結(jié)合為“森林”。人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，必須經(jīng)過分析、綜合，綜合、分析，才能使認(rèn)識(shí)更加全面和深刻。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要用到比較的方法。其實(shí)，比較既是分析的過程，也是綜合的過程。常言“有比較才有鑒別”“在比較中認(rèn)識(shí)一切”講的也就是這個(gè)意思?？梢哉f，比較是數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中非常重要的一種方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)比較教學(xué)，有利于學(xué)生掌握知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力。此外，比較可以簡(jiǎn)化相似問題的研究，在不相同的對(duì)象中探求相同點(diǎn)，或在相同的對(duì)象中探求相異點(diǎn)，這樣才有利于對(duì)問題的研究。無論是在數(shù)學(xué)學(xué)科還是其他學(xué)科教學(xué)中，比較的類型都有相同點(diǎn)比較和異同點(diǎn)比較。在數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中，運(yùn)用比較應(yīng)注意比較必須在同一關(guān)系下，按照一定的步驟進(jìn)行；對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的同一性質(zhì)所作的比較，應(yīng)當(dāng)是完整、徹底的，而不應(yīng)該是片面的、膚淺的。

分析與綜合是基本的思維方法，是思維活動(dòng)的基本過程。分析與綜合在任何一種智力活動(dòng)中都是彼此密切聯(lián)系的。分析是在綜合指導(dǎo)下進(jìn)行的，綜合是在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。當(dāng)代自然科學(xué)發(fā)展的根本特點(diǎn)，一方面是高度分化，一方面又是高度綜合，或是多種學(xué)科的綜合、學(xué)科內(nèi)部的綜合。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，同樣存在高度分化、高度綜合的現(xiàn)象。人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是不可窮盡的，因此，在數(shù)學(xué)中這種分析、綜合的過程也是無止境的。

二、數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)主義學(xué)派

由于數(shù)學(xué)方法的層次并沒有一個(gè)較為明確的分類標(biāo)準(zhǔn)，所以，我們將以數(shù)學(xué)的一般方法與數(shù)學(xué)的特殊方法來研究和探討。數(shù)學(xué)中許多的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧，都將隸屬于這些研究方法之中。

本世紀(jì)30年代左右，法國一批優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家，不滿于老一代的守歸傳統(tǒng)，懷著闖新路的熱情，共同合作研究，成立討論班，逐步形成一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，布爾巴基是這批年輕數(shù)學(xué)家所用的一個(gè)共同筆名，因而結(jié)構(gòu)主義學(xué)派又稱為布爾巴基學(xué)派。這個(gè)學(xué)派的結(jié)構(gòu)化思想，不但在數(shù)學(xué)界，而且在哲學(xué)界、心理學(xué)界都引起了強(qiáng)烈反響，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)改革也產(chǎn)生了很大的影響。

只是到了本世紀(jì)30年代前后，法國的布爾巴基派從全部數(shù)學(xué)中提煉出三種母結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的各分支可以按照這三種結(jié)構(gòu)的不同組合加以區(qū)別和歸類，這種分類當(dāng)然比傳統(tǒng)的分類方法深刻得多。

結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)反映在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，曾導(dǎo)致“新數(shù)”運(yùn)動(dòng)?！靶聰?shù)”運(yùn)動(dòng)給數(shù)學(xué)添加了一些有活力的思想，增加了一些科學(xué)成果，尤其是在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的直觀性、實(shí)驗(yàn)性、趣味性等方面，具有積極的作用，糾正了不少學(xué)生害怕數(shù)學(xué)的觀念。不足的是，結(jié)構(gòu)主義學(xué)派的方法論，專注于數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)特征的分析與比較，其主要興趣是一種對(duì)已經(jīng)形成了的數(shù)學(xué)部門的回顧性的邏輯分析和整理工作，而不是注意研究如何從現(xiàn)實(shí)世界中提取新的數(shù)學(xué)模型，開辟新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，無法激發(fā)學(xué)生的直覺想象能力，因此，結(jié)構(gòu)主義的基本思想方法不是一種發(fā)明創(chuàng)造的方法。

結(jié)構(gòu)主義方法既有它的積極作用，但也有一定的局限性。按照傳統(tǒng)的分類方法，人們總是習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何、分析三大類。按照這種分類，一些不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，卻說不清楚它們之間的區(qū)別究竟是什么，而另一些不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間卻有著明顯的共同點(diǎn)。例如，數(shù)的加法、多項(xiàng)式的加法、向量的加法等等，它們?yōu)槭裁炊冀小凹臃ā?？?shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都可以進(jìn)行四則運(yùn)算，都有絕對(duì)值，似乎差別不大，但是復(fù)數(shù)偏偏沒有大小，為什么復(fù)數(shù)無大??？實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別是什么？這些問題按傳統(tǒng)的分類方法都無法說清楚。

三、數(shù)學(xué)思維：發(fā)展學(xué)生空間想象力

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不僅要研究數(shù)與數(shù)、形與形之間的關(guān)系，還要研究數(shù)與形之間的關(guān)系。研究形與形之間的關(guān)系，要應(yīng)用圖形來解決一些問題。同時(shí)，隨著人們對(duì)于一維空間（例如直線）、二維空間（例如平面）、三維空間（例如正方體）中的空間形式的深入研究，不斷發(fā)展對(duì)于“空間”概念的認(rèn)識(shí)?！八木S空間”的思維空間，各種抽象空間都被現(xiàn)代數(shù)學(xué)所研究著，并獲得了廣泛而深刻的應(yīng)用。因此，我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要使學(xué)生形成積累空間觀念，要讓學(xué)生掌握空間形式的常用表達(dá)方法，還要研究圖形之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間想象力。圖形之間的關(guān)系可以分為三類：一是同類圖形之間的關(guān)系，二是不同類圖形之間的關(guān)系，三是數(shù)與形之間的關(guān)系。

1. 同類圖形之間的聯(lián)系

三角形的全等與相似是平面幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，應(yīng)當(dāng)結(jié)合它們的教學(xué)不斷豐富空間想象力，提高邏輯思維與運(yùn)算能力。

圓與圓的位置關(guān)系比較復(fù)雜，但可以歸納為如下最基本的五類：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。主要定理有：兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦；兩圓外切，切點(diǎn)在連心線上，圓心距d=R+r，反之也對(duì)；兩圓內(nèi)切，切點(diǎn)在連心線上，圓心距d=R-r，反之也對(duì)；兩圓的兩條外公切線相等，兩條內(nèi)公切線也相等。

如已知兩圓相切，求證連心線垂直于過切點(diǎn)的公切線。

已知：圓O1與圓O2外切于P點(diǎn)，ABC與圓O1相切于P點(diǎn)。

求證：APB與圓O2也相切于P點(diǎn)，且AB⊥O1O2。

證明：∵APB與圓O1相切于P點(diǎn)，

∴AB⊥上PO1，

又∵圓O1與圓O2外切于P點(diǎn)，

∴P點(diǎn)在O1O2上，

∴AB⊥O1O2 ，

∵AB⊥上PO1，

∴AB與圓O2也相切于P點(diǎn)。

討論：本題還有兩圓相內(nèi)切的情形，留給大家證明。

因?yàn)閮蓤A相切時(shí)，圓弧和圓弧在切點(diǎn)處平滑地連接起來，所以在實(shí)際中有許多應(yīng)用。

一般稱兩圓外切的連線為外連接；兩圓內(nèi)切的連接為內(nèi)連接。畫連接圖時(shí)，主要矛盾是如何確定圓心的位置。

2. 不同類圖形之間的聯(lián)系

不同類圖形之間的關(guān)系比較多，也相當(dāng)復(fù)雜。其中，圓和多邊形的聯(lián)系是平面幾何中最主要的關(guān)系，大量的習(xí)題都與此有關(guān)，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要注意對(duì)這類問題的分析。另外，還有圓與三角形、圓和四邊形、圓和正多邊形等各種關(guān)系。

3. 數(shù)與形之間的聯(lián)系

在中學(xué)階段，數(shù)與形的關(guān)系主要體現(xiàn)為銳角三角函數(shù)與勾股定理的關(guān)系、坐標(biāo)法。我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)，要有意識(shí)地發(fā)展他們的空間想象力，并進(jìn)行唯物辯證法的教育。

如直角三角形的邊角關(guān)系：在直角三角形ABC中，有下列重要關(guān)系（如圖）：

（1） 三角之間的關(guān)系：∠C90°，∠A+∠B=90°。（2） 三邊之間的關(guān)系：勾股定理：a2+b2=c2。（3） 邊角之間的關(guān)系：SinA=a/c，cosA=b/c，tgA=a/b，ctgA=b/a。

解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形都可以分成兩個(gè)直角三角形。正是通過這種聯(lián)系，我們可以得到正弦定理、余弦定理。我們可以這樣認(rèn)為：余弦定理可以看成是勾股定理在一般三角形中的推廣；而在直角三角形中，正弦定理就轉(zhuǎn)化為銳角正弦函數(shù)的定義了。

四、笛卡兒關(guān)于數(shù)學(xué)思維的兩個(gè)基本想法

在數(shù)學(xué)思維中，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是要用代數(shù)的方法來解決幾何問題。例如，關(guān)于三角形和圓的某些問題，因?yàn)橛辛巳呛瘮?shù)與勾股定理、正弦定理、余弦定理之后，可以用代數(shù)方法來解決了。

笛卡兒在他所生活的時(shí)代里，想創(chuàng)造一種方法來解決所有幾何問題。結(jié)果，笛卡兒實(shí)現(xiàn)了他的愿望，建立了今天被稱之為《解析幾何》的理論。

笛卡兒的成功，主要在于有兩個(gè)基本想法，一是坐標(biāo)概念，二是坐標(biāo)方法。

在笛卡兒之前的時(shí)代，每當(dāng)人們遇到含有兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程F（x，y）=0時(shí)，大家都說問題的解答是不定的，由一個(gè)方程無法決定兩個(gè)未知數(shù)的值，并且把這種方程Hq做“不定方程”。除了少數(shù)數(shù)學(xué)家研究“不定方程”的有關(guān)問題外，一般的人都認(rèn)為這種問題不值得特別關(guān)心，例如研究整系數(shù)不定方程的整數(shù)解問題。

笛卡兒卻不然，他不認(rèn)為方程是“不定的”。笛卡兒開創(chuàng)了整整一門新的學(xué)科——解析幾何學(xué)。特別重要的是，笛卡兒的解析幾何為微積分理論的創(chuàng)立準(zhǔn)備了條件。完全可以這樣說：微積分方法的創(chuàng)立，如果沒有解析幾何的預(yù)先發(fā)展，是難以想象的。關(guān)于解析幾何與微積分的具體內(nèi)容我們?cè)谶@里就不作敘述了。

另外，邏輯思維方法與非邏輯思維方法是數(shù)學(xué)中重要的思維方法。數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)必須遵守的規(guī)則，是數(shù)學(xué)思維運(yùn)算獲得成果的必不可少的手段。但是，數(shù)學(xué)本身還有一些重要的方法，這些方法都是數(shù)學(xué)所固有的，都稱為數(shù)學(xué)方法。再者，研究、掌握數(shù)學(xué)方法還能夠豐富辯證邏輯的內(nèi)容。同時(shí)應(yīng)該指出，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，并不是所有問題都能夠通過化歸思維方法來解決的，要對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析。如何尋找正確的化歸途徑和怎樣選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化手段等技巧問題，是運(yùn)用化歸思維方法解決問題的關(guān)鍵。

應(yīng)該說，我國中學(xué)數(shù)學(xué)界對(duì)思維的研究還處于起步階段。對(duì)于一個(gè)具體的方法來說，我們還很難清楚地說出它的哲學(xué)基礎(chǔ)、它的邏輯依據(jù)、它的主要功能、它的基本形式與實(shí)施程序，以及與它相關(guān)的方法鏈或知識(shí)鏈、它的教育價(jià)值等；至于數(shù)學(xué)方法的層次，則更難以理順清楚。這都有待于我們進(jìn)一步去研究、探討并付諸實(shí)踐。