陳冠峰

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本策略，是提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法去分析和解決問題，以此形成數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 文章以轉(zhuǎn)化思想為例，闡述轉(zhuǎn)化思想在提高解題能力中的重要意義，以期在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，從而將抽象的、復(fù)雜的問題向具體、簡單轉(zhuǎn)化，有效提高學(xué)生的解題效率.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;解題能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

人們常說“得數(shù)學(xué)者得天下”，由此可見數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值與地位. 高考數(shù)學(xué)題目靈活多變，解題方式多種多樣，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力要求較高，因此教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生解題能力的訓(xùn)練. 值得注意的是，訓(xùn)練學(xué)生的解題能力不是搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是通過數(shù)學(xué)思想方法的滲透讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，掌握解決問題的方法，繼而通過對典型問題的探究提高學(xué)生舉一反三的能力.

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師將教學(xué)目標(biāo)定位在知識的講授上，忽視了數(shù)學(xué)思想方法的滲透和提煉. 數(shù)學(xué)思想方法作為解決問題的基本策略，其在解題中是無處不在的，關(guān)系著思維發(fā)展和能力提升，因此教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)思想，并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題，以此提高解題效率.

筆者以轉(zhuǎn)化思想為例，結(jié)合具體案例呈現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”在解題中的重要意義，以期在解題時(shí)能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，巧妙地解決問題，提高解題能力.

數(shù)形轉(zhuǎn)化，簡潔直觀

許多數(shù)學(xué)題目比較抽象，乍看上去很難找到解題的突破口. 為了解決這些抽象的問題，解題時(shí)可以嘗試數(shù)形轉(zhuǎn)化，從而借助“形”的直觀將抽象的數(shù)字、公式等內(nèi)容具體化、形象化，讓學(xué)生結(jié)合生動的圖形信息找到解題的突破口.

例1 已知關(guān)于x的方程=x+m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解題時(shí)學(xué)生容易想到=x+m可轉(zhuǎn)化成m=-x，但轉(zhuǎn)化后很難將其與“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”建立聯(lián)系，故此路不通. 接下來學(xué)生又想到兩邊平方，去除根號，從而將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)已知可得“Δ>0”，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍. 不過，通過該方法運(yùn)算，過程比較復(fù)雜，為了化繁為簡，提高解題效率，解題時(shí)不妨引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，將等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)“y=”與“y=x+m”. 結(jié)合圖象易發(fā)現(xiàn)，直線y=x+m隨著m值的不斷增大，它與曲線y=由“無交點(diǎn)”到“一個(gè)交點(diǎn)”到“兩個(gè)交點(diǎn)”到“一個(gè)交點(diǎn)”再到“無交點(diǎn)”進(jìn)行著變化，易求m的臨界值. 由此借助“形”的直觀，降低了問題的難度，優(yōu)化了運(yùn)算過程，可以提高學(xué)生的解題能力.

數(shù)形結(jié)合是重要的解題方法，當(dāng)面對一些抽象的代數(shù)問題時(shí)，若能夠合理地轉(zhuǎn)化往往可以給人心曠神怡的感覺，讓那些原本復(fù)雜的、摸不著頭腦的問題變得簡單，有助于增加學(xué)生的解題信心，提高學(xué)生的解題能力.

正反轉(zhuǎn)化，豁然開朗

對于一些數(shù)學(xué)問題，有時(shí)候若從已知出發(fā)——直接正面求解可能走許多彎路，而若從結(jié)論出發(fā)——反向入手可能使問題求解容易得多. 因此，解題時(shí)教師可以鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度去思考和解決問題，這樣往往會收到一些意想不到的結(jié)果，讓解題思路變得豁然開朗，大大提升解題效率.

例2 已知在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1為正，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解題時(shí)大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣從正面（即f（x）>0恒成立）出發(fā)，嘗試應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法來求解，但m的取值范圍需要分多種情況進(jìn)行討論，顯然過程復(fù)雜，不是最優(yōu)的解決方法. 為了優(yōu)化解決方法，解題時(shí)教師不妨引導(dǎo)學(xué)生反向出發(fā)，也就是在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，f（x）≤0恒成立. 二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為6，故函數(shù)圖象開口向上. 在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)圖象可能是先減后增的，也可能是單調(diào)遞減或單調(diào)遞增的，因此只要確保f（-1）和f（1）都不大于零，那么在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的函數(shù)值自然也就不大于零. 這樣反向出發(fā)，得到m的取值范圍后取其補(bǔ)集，問題即可獲解.

顯然，反向思考可以有效避免復(fù)雜分類所帶來的錯(cuò)解風(fēng)險(xiǎn)，從而有效提高解題準(zhǔn)確率和解題效率. 解題時(shí)，若遇到障礙則要考慮變換思考方向，或許就可以化“一籌莫展”為“豁然開朗”.

一般與特殊的轉(zhuǎn)化，迎刃而解

一般與特殊是重要的數(shù)學(xué)思想方法，其不僅應(yīng)用在概念、公式、定理等內(nèi)容的推導(dǎo)上，在解題中也有著重要作用. 當(dāng)遇到一些較為復(fù)雜的問題時(shí)，可以從特殊的角度出發(fā)，先找到解決特殊情況的方法，然后通過擴(kuò)展條件向一般化轉(zhuǎn)化，以此探究一般方法，掌握一般規(guī)律，提高解題效率. 當(dāng)然，探究一般問題時(shí)，也可以通過添加限制條件，將其轉(zhuǎn)化為特殊問題，運(yùn)用一些巧妙的方法解決. 不過無論是一般轉(zhuǎn)化為特殊，還是特殊轉(zhuǎn)化為一般，都需要尋找共性，對共性進(jìn)行深度剖析，得出答案.

例3 已知函數(shù)f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2016）+f（2017）+f（2018）=______.

顯然例3是無法直接計(jì)算的，必須探尋其中蘊(yùn)含的規(guī)律，從而利用巧妙的方式求解. 由于結(jié)論為偶數(shù)項(xiàng)，因此容易想到兩兩相加會得到一個(gè)特殊結(jié)果. 為了探究這個(gè)特殊結(jié)果，可以從特殊情況入手，選取最簡單的兩項(xiàng)f（0）和f（1），得f（0）+f（1）=+=，接著繼續(xù)驗(yàn)證f（-1）+f（2），代值化簡得f（-1）+f（2）=.由此可以推斷，兩兩相加均為. 由于這個(gè)式子共有4036項(xiàng)，故其結(jié)果為1009.

例3是填空題，利用以上方法求解簡潔、高效. 解題后有學(xué)生提出了這樣一個(gè)問題：若例3是一道大題該如何求解呢？對于大題，每步都要做到有理有據(jù)，若利用特殊化進(jìn)行驗(yàn)證顯然有些牽強(qiáng)，因此解題時(shí)需要借助特殊情況探究一般性結(jié)論. 對于以上發(fā)現(xiàn)，可以轉(zhuǎn)化為探究f（x）+f（1-x）的結(jié)果，即若f（x）+f（1-x）=，問題便可迎刃而解.

解答一般性問題時(shí)，如果題目內(nèi)容較復(fù)雜，不妨從特殊情況出發(fā)，尋找特殊情況的解決方法，然后將其遷移至一般情況中進(jìn)行思考，合理推論題目的一般情況，探尋解決問題的一般方法. 若解題時(shí)能處理好一般與特殊的關(guān)系，則可以大大提升解題效率.

建模轉(zhuǎn)化，融會貫通

數(shù)學(xué)與生活緊密相連，因此可以根據(jù)生活實(shí)際來建立數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)果去解決實(shí)際問題. 通過實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)化，可以提高實(shí)際問題的解決效率，彰顯學(xué)以致用的本質(zhì). 為了考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，常將實(shí)際問題精煉成數(shù)學(xué)問題，以此讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性.

例4 6個(gè)人站成一排，小明和小剛不能挨著，有多少種站法？

例5 餐桌上原有7道菜，現(xiàn)增加3道菜，在原有菜品順序不變的情況下，有多少種排法？

教學(xué)排列組合知識后，教師給出了以上兩道類似的問題，讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)模型解決它們. 問題給出后，學(xué)生很快分辨出它們都是“相離問題”，解決的方法相同，都用插空法，不同的是例4中小明和小剛兩人不能相鄰，而例5中的3道菜可以相鄰. 對比分析后，解題思路便形成：對于例4，除去小明和小剛，其他4人有A種站法，這4人形成了5個(gè)空位，將小明和小剛分開插入空位有A種站法，所以共有AA=480種站法. 對于例5，需要一個(gè)個(gè)先后將3道菜插入空位，即有7道菜時(shí)有8個(gè)空位，故第一道菜插入空位有A種排法;第一道菜插入空位后，形成了9個(gè)空位，故第二道菜插入空位有A種排法，以此類推，共有AAA=720種排法.

排列組合問題較復(fù)雜，若解題時(shí)不進(jìn)行建模轉(zhuǎn)化而直接求解，不僅會消耗大量的時(shí)間，而且最終可能失敗. 為了讓學(xué)生更好地解決此類問題，應(yīng)對常見題型與解決辦法進(jìn)行匯總，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型來解答，這樣可以有效提高解題效率. 同時(shí)，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比分析，找到各問題間的區(qū)別與聯(lián)系，以此讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，找到實(shí)際問題所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而利用數(shù)學(xué)建模的方式解答問題.

有些題目看似相同卻有著本質(zhì)的區(qū)別，而有些題目看似不同卻有著相同的解答思路，因此教師要教導(dǎo)學(xué)生解題前應(yīng)認(rèn)真審題，理清問題的來龍去脈，以便通過合理的轉(zhuǎn)化高效地解決問題，實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通.

可以說轉(zhuǎn)化在解題中無處不在，因此教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)，打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的束縛，讓學(xué)生站在更高的角度思考問題，以此提高學(xué)生的解題效率.