陳榮芳 盧敏

【摘 要】數(shù)學多元表征分為多元外在表征與多元內(nèi)在表征，是理解數(shù)學本質(zhì)和解決數(shù)學問題的關(guān)鍵。其貫穿于整個數(shù)學問題解決的過程之中，多元外在表征的運用有助于學生發(fā)掘數(shù)學的本質(zhì)，多元內(nèi)在表征的作用在于活化學生的思維方式。本文從多元表征的核心——多元化與可視化入手，結(jié)合學生身心發(fā)展規(guī)律，提出教師在數(shù)學教學中可以借鑒的三點建議：關(guān)注個體差異，構(gòu)建學生學習共同體；有效表征數(shù)學問題，促進學生對問題的深刻理解；靈活數(shù)學表征運用，提高學生問題解決能力。

【關(guān)鍵詞】多元表征 問題解決 教學啟示

一、問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出學生數(shù)學發(fā)展的“四能”要求：體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題；鼓勵學生質(zhì)疑問難，引導學生在真實情景中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。

歷次的PISA測試結(jié)果顯示，中國學生在通過實施標準算法就能解決的問題上表現(xiàn)良好，但通常在不能通過一種算法解決而是需要對問題情境進行新的探索的問題中表現(xiàn)得不足。這說明在數(shù)學問題解決中的多元問題表征，利用多種方法解決問題、創(chuàng)造性解決問題是中國中小學的薄弱點，是未來數(shù)學教育要思考的內(nèi)容。

二、多元表征與數(shù)學問題解決

《辭海》對“表征”一詞的解釋為“揭示；闡明；也指事物顯露在外的征象”，這意味著表征有兩層含義：一是事物的外在征象；二是對事物內(nèi)在本質(zhì)的揭示表征。在認知科學、教育心理學等領(lǐng)域中，“表征”則是指把一種事、物、想法或知識用某一種物理的或心理的形式重新表示出來，因此事物的“多元表征”便是指同一事物的多種不同表征形式。

關(guān)于數(shù)學問題解決的研究，早期階段關(guān)注點是數(shù)學問題解決的過程、模式建構(gòu)和應用技能三個外在的層面。隨著認知心理學和腦科學的發(fā)展，近年來越來越多的學者將問題解決研究的焦點轉(zhuǎn)移到其內(nèi)在機制上，尤其是側(cè)重問題解決階段的表征、解決過程中的表征多元化以及元認知分析等。

（一）多元表征貫穿于整個數(shù)學問題解決的過程

數(shù)學家波利亞將問題解決分為四個環(huán)節(jié)：一是理解題目，二是制訂計劃，三是執(zhí)行計劃，四是回顧反思。在每個問題解決的環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了多元表征理論：理解題目就是了解題意的過程，也是對問題進行多元表征的過程；制訂計劃則是將外在的多元表征轉(zhuǎn)化為內(nèi)在表征，通過個體主觀能動，從而形成解題計劃；執(zhí)行計劃便是再將內(nèi)在表征外化，通過“數(shù)”與“形”的多種表征形式將計劃具體呈現(xiàn)，從而解決問題；而在最后一個環(huán)節(jié)，除去對解題過程的再次檢查，同樣可以采取另一種表征方式重新解題并通過檢驗來回顧反思（見圖1）。并且，在多元表征的理論指導下，學生在學會解題的同時，不僅能做到充分利用題目的信息、多元化表達，還能夠在內(nèi)外化表征的轉(zhuǎn)化中學會思考，掌握解決問題的技能技巧，獲得更深層的思維體驗。

（二）多元外在表征的運用有助于發(fā)掘數(shù)學本質(zhì)

數(shù)學本身是抽象的，只有當其具體化為幾何與代數(shù)或是圖像與符號時，它才能夠被理解，被后人學習并傳承。數(shù)學問題也是如此，只有當其被表征、被具體可視化時才可能被解決。因此，對于學生解決數(shù)學問題而言，只有恰當?shù)膯栴}表征才能在已知條件和最終目標之間形成正確的問題情境表征，從而順利解決數(shù)學問題。學生在解決數(shù)學問題時，先要對問題進行合理的外部表征，將其化整為零，而后轉(zhuǎn)化成已學的內(nèi)容，在不同的數(shù)學結(jié)構(gòu)間建立聯(lián)系，從而將問題解決。因此，有效的外部表征是成功解決數(shù)學問題的關(guān)鍵。在解決數(shù)學問題的過程中，學生對給定的問題進行理解、掌握、轉(zhuǎn)化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。對于學生而言，是否能夠揭示數(shù)學問題本質(zhì)的關(guān)鍵就在于他們選擇問題表征的方式或問題表征的能力。

（三）多元內(nèi)在表征活化學生解決問題的思維方式

問題解決是一種高級形式的學習，通過解決問題這一復雜的思維過程，學生能夠利用學過的知識和規(guī)則的聯(lián)合或重組來解決新問題。所以說問題解決是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和提高學生實踐能力的有效途徑之一，這也是問題解決的最高階段。數(shù)學學習與問題解決，都需要對復雜的材料進行信息解碼和編碼，以此獲得豐富多樣的信息，而后通過語言、文字、數(shù)字、圖像、符號等多元表征完整呈現(xiàn)數(shù)學問題解決的過程。在每個過程中，表征都作為問題解決的重要策略，而問題的內(nèi)部表征代表了問題在學生頭腦中的呈現(xiàn)方式，對問題的解決起著關(guān)鍵作用。但由于每個學生長期以來形成的認知風格、思維方式存在差異，其對數(shù)學問題的內(nèi)在表征形式不一，有人偏愛直觀想象，有人偏向抽象演繹，如若一直采用單一表征形式，久而久之，學生的思維必將模式化。

三、強化多元表征，提高學生數(shù)學問題解決能力

（一）關(guān)注個體差異，構(gòu)建學生學習共同體

學生的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗及認知風格等存在差異，面對同一個問題，學生會出現(xiàn)不同的想法，進而外化為不同的表征。教師要關(guān)注學生的個體差異，尊重學生對知識多元化的理解，允許學生有不恰當?shù)睦斫猓膭顚W生表達對材料信息的不同認知和態(tài)度，關(guān)注他們學習過程的獨特感受。

例如，研究“搭配的規(guī)律”中的一道題目：小紅有3件不同的上衣和2件不同的褲子，搭配起來有多少種不同的穿法呢？學生解答過程中用的表征圖式多樣化，采用了不同方法來理解問題并解決。（見圖2）

針對圖2方法1中學生用畫實物圖來表征問題的方法，教師引導學生思考：對這種方法你有什么建議？有學生說：“畫圖很形象，但畫起來比較麻煩，可以用文字來表示（方法2）?！庇袑W生說：“我是用符號來表示褲子和衣服的（方法3），不需要一個一個寫下來，連成線就可以看出有6種不同的搭配方法?！?/p>

教學中，教師首先要深入了解學生解決問題的表征方式，提高他們的問題表征能力。同時需要構(gòu)建學習共同體，引領(lǐng)學生互相傾聽，理解別人表征的需要，對于多樣化的表征方式，進一步辨析表征異同，溝通表征之間的聯(lián)系，抽象不同表征的共同點，成為引發(fā)深度學習的資源，最終發(fā)展和完善學生的認知結(jié)構(gòu)。

（二）有效表征數(shù)學問題，促進學生對問題的深刻理解

在解決問題的過程中，學生需要有效表征數(shù)學問題，包括對字面的理解以及問題的深層理解，即學生頭腦中對數(shù)學問題的重述，對給定的問題進行理解、掌握、轉(zhuǎn)化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。教師需要結(jié)合教學內(nèi)容和學生的實際需要，為學生創(chuàng)設(shè)熟悉且易于理解的教學情境，幫助學生進行有效表征，理解數(shù)學問題，啟發(fā)學生運用數(shù)學知識來解決實際問題。

1.教學表征手段多樣化

表征應該是數(shù)學教師具備的專業(yè)技能之一，教師的表征手段越豐富，操作越嫻熟，就越能夠了解學生的需要，并據(jù)此選擇合適的方法，通過比較、類比、舉例、暗喻、提問、演示等，引導學生深入了解問題情境，鼓勵學生多角度思考，并運用多樣化、個性化的方法來解決問題，促進學生認知的提升。

2.學習材料設(shè)計多維化

有效的表征要與對應的教學情境相適應，教學中教師選擇的學習材料要體現(xiàn)不同情境、不同表征方式的需求，這樣便于引導學生理解表征方法的多元化，能夠溝通不同表征方法之間的聯(lián)系。例如，人教版數(shù)學六年級上冊“數(shù)學廣角”中的“數(shù)與形”，就是引導學生通過數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律，建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，借助幾何直觀解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

教材中的兩道例題有不同的設(shè)計意圖：例1（題略）先給圖形再給算式，借助圖形解決抽象的問題；例2（題略）是先給算式再給圖形。教師需要深入發(fā)掘例題的編排意圖，教會學生將數(shù)學的規(guī)律用簡單、直觀的圖形呈現(xiàn)出來，引導學生能夠 “由形感數(shù)”，也能“以數(shù)悟形”，從而學會運用“數(shù)形結(jié)合”方法解決問題。

3.學習過程呈現(xiàn)可視化

學生的內(nèi)在表征是問題在學生頭腦中的思考，或者說是學生的內(nèi)部心理符號，需要通過外在表征將其具體化和外顯化。教師引導學生將問題解決的過程以適當?shù)姆绞角逦乇磉_出來，由此幫助學生聯(lián)系已有經(jīng)驗基礎(chǔ)，完成知識建構(gòu)，能使學生更容易地理解問題的本質(zhì)，更好地解決問題。

例如，蘇教版數(shù)學三年級教材中一道題目：小猴幫媽媽摘桃，第一天摘了30個，以后每一天都比前一天多摘5個。小猴第三天摘了多少個？第五天呢？“以后每天都比前一天多摘5個”這一條件比較抽象，教師需要引導學生調(diào)動已有的認知經(jīng)驗與方法，借助圖形、表格、示意圖等不同方式進行表征，表達其思考過程，讓思考的過程清晰可見。

（三）靈活數(shù)學表征運用，提高學生問題解決能力

1.豐富感知，啟發(fā)學生思維的發(fā)散性

問題解決教學的主要目標之一是幫助學生從多種不同的視角、運用多種方式進行表征運用，采用不同的策略解決問題，以此培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。

例如，數(shù)學實踐活動：采一片樹葉，算一算樹葉面積大約是多少。有的學生在方格紙上描出樹葉的輪廓線，再估計面積；有的學生用1平方厘米的紙片去鋪一鋪；還有的學生將樹葉剪一剪、拼一拼，拼成近似的長方形，再量一量長和寬，估算出面積。在探索過程中，學生體會到了面積計算和測量與實際生活的聯(lián)系，體會到了可以通過多種方法估算不規(guī)則圖形的面積，積累了豐富的活動經(jīng)驗，不僅提高了動手實踐能力、問題解決能力，同時啟發(fā)了思維的發(fā)散性。

2.溝通聯(lián)系，增強學生思維的整合性

有研究指出，在解決問題的過程中，數(shù)式所體現(xiàn)的代數(shù)表征和圖形所體現(xiàn)的幾何表征的選擇與應用，體現(xiàn)了學生邏輯思維和直覺思維兩類不同的數(shù)學思維方式。教學中教師既要重視學生的抽象、形式化的代數(shù)表征，也要重視操作、直觀的幾何表征，將多種表征方式融合運用，溝通不同表征方式之間的聯(lián)系，助推學生對知識本質(zhì)的整體把握。

例如，探索“和的奇偶性”規(guī)律：奇數(shù)+奇數(shù)=？學生一般先會采用舉例驗證的方法：5+3=8，5+11=16，……找出兩個奇數(shù)的和為偶數(shù)的規(guī)律。但教學不能僅僅停留于此，教師還需要引導學生進一步思考：為什么兩個奇數(shù)相加的和是偶數(shù)？是不是所有的奇數(shù)相加的和都是偶數(shù)？再引導學生用圖式表征5+3（見圖3），3塊積木加上5塊積木，每2塊一組，多余的2塊又可以組成一組，進一步驗證兩個奇數(shù)相加的和為偶數(shù)。教師還可以進一步引導，偶數(shù)可以表示為2n（n為自然數(shù)），奇數(shù)可以表示為2n+1，也就是偶數(shù)+1，兩個奇數(shù)相加，可以想成（偶數(shù)+1）+（偶數(shù)+1），偶數(shù)+偶數(shù)還是偶數(shù)，1+1=2也是偶數(shù)，所以奇數(shù)+奇數(shù)的和肯定為偶數(shù)了。學生能夠從“數(shù)”與“形”兩個方面進行理解，知道不同表征方式內(nèi)在一致性，建立“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，就能深刻理解知識本質(zhì)，也就增強了思維的整合性，促進了學生思維的發(fā)展。

3.雙向轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學生思維的靈活性

在解決問題教學中，教師如果只關(guān)注直觀表征運用，學生就會停留在具體化階段；如果只關(guān)注抽象符號表征，忽視直觀形象表征，學生解決問題過程的體驗就不深刻?；诙嘣碚鞯慕虒W，教師需要引導學生進行兩類不同表征方式的相互轉(zhuǎn)換和結(jié)合，建構(gòu)數(shù)學表征的網(wǎng)絡系統(tǒng)，學生才能實現(xiàn)對數(shù)學問題的深度理解，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

以上述探索和的奇偶性為例，學生不僅需要借助實例表征，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也需要通過圖形表征，進一步理解規(guī)律的本質(zhì)含義。教師還要引導學生用文字表征的方式對規(guī)律進行歸納總結(jié)，在不同的表征方式之間靈活地轉(zhuǎn)換。教師通過恰當?shù)慕M織與引導，讓外在表征有序并整體地內(nèi)化為學生的內(nèi)在表征，從而提升學生數(shù)學思維的層次性、靈活性，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

四、結(jié)語

多元表征理論下的數(shù)學問題解決的教學，應該基于學生的不同自身經(jīng)驗和知識背景，采用多元表征解決數(shù)學問題，由此讓學生明白自我體驗材料的意義，在較為復雜的問題情境中能夠理解和轉(zhuǎn)換，較好地解決問題，從而提高學生的數(shù)學思考能力和問題解決能力。