楊慶玲

【摘要】在當(dāng)前的新課改背景下，教師開展一系列教學(xué)活動(dòng)不僅是為了使學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)得以提升，還是為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.對(duì)比小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，初中階段的教學(xué)工作具備了一定的難度，為了達(dá)到提升學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的效率，教師在實(shí)際的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)將數(shù)形結(jié)合的方法滲透其中.本文深入研究數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以求為相關(guān)的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合；解題

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中常用的方法，能夠解決很多問題，比如利用圖形解決代數(shù)問題、利用代數(shù)解決圖象問題等.從利用圖形解決代數(shù)問題的角度來看，很多圖象本身的性質(zhì)就體現(xiàn)了其中賦予的數(shù)量關(guān)系，對(duì)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探索，不僅會(huì)變得更加直觀，還能夠使一些數(shù)量關(guān)系更加簡單.從利用代數(shù)解決圖象問題上來看，為抽象的數(shù)量關(guān)系賦予相應(yīng)的圖形意義，就能夠使其變得更加簡單.基于此，學(xué)生必須要善于對(duì)數(shù)和形之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由此達(dá)到解決數(shù)學(xué)難題的目的.

1借助圖形來解決代數(shù)問題

1.1運(yùn)用數(shù)軸解決絕對(duì)值問題

例1如圖1所示，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，E表示的是連續(xù)的五個(gè)整數(shù).如果點(diǎn)A，E表示的數(shù)分別為a，b，且a+b=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)為（）

（A）0. （B）1.（C）2.（D）3.

解析根據(jù)圖1可知，在數(shù)軸上表示出相應(yīng)的點(diǎn)，然后借助圖象就能將答案輕松求出來.已知b-a=4，即b=a+4，將其帶入到a+b=2當(dāng)中可以得出a+a+4=2，即a=-1，也就是說A表示的就是-1，則點(diǎn)C表示的為-1+2=1.

借助數(shù)軸求解相應(yīng)的絕對(duì)值問題，能夠幫助學(xué)生從圖形的視角直觀的理解絕對(duì)值的意義.

1.2函數(shù)問題

例2p、q均為正整數(shù)，關(guān)于x的方程4x2-2px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均大于1且小于2，則p=，q=.

解析已知要想得出q、p的值，就必須要解出來p、q的范圍，然后再結(jié)合p、q是正整數(shù)將p、q的具體值求出來.對(duì)于這個(gè)問題采取數(shù)形結(jié)合的方法就十分有效，令y=4x2-2px+q作出它的函數(shù)圖象，如圖2所示.

一元二次方程的解在1和2之間，也就意味著函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在1和2之間，有可能有一個(gè)交點(diǎn)，也有可能是兩個(gè)交點(diǎn)，圖象只是示意.

根據(jù)圖象可以得到：①當(dāng)x=1時(shí)，y值大于0；②當(dāng)x=2時(shí)，y值大于0；③因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，Δ=b2-4ac≥0；④函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在1和2之間，1＜-b2a＜2.綜合上面分析的4點(diǎn)，列出關(guān)于p和q的不等式，求出p、q的范圍，再根據(jù)p、q是正整數(shù)得出它們的值.

解設(shè)f（x）=4x2-2px+q，

因?yàn)殛P(guān)于x的方程4x2-2px+q≥0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以Δ=（2p）2-16q≥0，

所以p2≥4q，

因?yàn)榇硕魏瘮?shù)的開口向上，關(guān)于x的方程4x2-2px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于1，且小于2，

所以f（1）=4－2p+q＞0，

f（2）=16-4p+q＞0，

設(shè)方程4x2-2px+q=0兩根為x1，x2，

由韋達(dá)定理知：x1+x2=p4，x1x2=q4

因?yàn)閤1，x2都大于1，且小于2，

所以1＜p4＜2，1＜q4＜4，

所以4＜p＜8，4＜q＜16，

因?yàn)閜，q均為正整數(shù)，

所以（1）當(dāng)p=5，由p2-4q≥0得q=5或6，

但均不滿足4-2p+q＞0，

所以p≠5；

（2）當(dāng)p=6，由p2-4q＞0，

得q=5，6，7，8，9，

因?yàn)閝=5，6，7，8不滿足4-2p+q＞0，16-4p+q＞0，

所以q=9；

（3）當(dāng)p=7，由p2-4q≥0，

得q=5，6，7，8，9，10，11，12．

因?yàn)閝=5，6，7，8，9，10，11，12不滿足4-2p+q＞0，16-4p+q＞0，

所以此時(shí)無解；

所以p=6，q=9．

2借助代數(shù)來解決圖象問題

例3 如圖3，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標(biāo)系中擺成如圖3所示的圖案，已知點(diǎn)A（－2，6），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

（A）（-6，4）.（B）（-203，143）.

（C）（-6，5）.（D）（-203，4）.

解析題目是用五塊大小形狀相同的長方形拼接在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是列方程的等量關(guān)系.設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，可得到方程組x-y=2

x+2y=6，解得x=163

y=43，所以點(diǎn)B的座標(biāo)為（B）.從而解得方程組，進(jìn)而求得點(diǎn)B的坐標(biāo).利用幾何圖形的變換找到隱含的等量關(guān)系，從而列出方程組，數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題.

3結(jié)語

總之，在初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中引入數(shù)形結(jié)合的思想方法，既能夠?yàn)閷W(xué)生提供良好的問題解答思路，又能夠幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)”與“形”之間進(jìn)行靈活地轉(zhuǎn)化，將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體、簡單，從而不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

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