胡典順 朱展霖

摘要：在編碼統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，從分冊分布、板塊分布、類型分布、情境分布、主題分布、素養(yǎng)分布等六個維度進行分析，對新舊人教A版高中數(shù)學教材必修分冊中的“問題提出”內(nèi)容（引導學生提出問題的任務(wù)——主要包括問題情境和引導語）進行比較研究。由此，對教材編寫提出一些建議：豐富“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的角度，激發(fā)學生思維動力；優(yōu)化“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的梯度，提升課堂互動質(zhì)量；挖掘“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的深度，鼓勵批判創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；問題提出；教材比較

一、 研究緣起

愛因斯坦認為，提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許只需要數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄?，而提出新的問題卻需要創(chuàng)造性的想象力，并且標志著科學的真正進步。［1］在數(shù)學學習、研究過程中，學生提出問題，不僅有助于深入理解所學知識并挖掘知識背后蘊含的本質(zhì)，從而提高核心素養(yǎng)，還能從中捕捉到并創(chuàng)造出新知識產(chǎn)生的源泉。［2］

“問題提出”是指基于一定的問題情境，通過某種意義上的重構(gòu)來提出問題的過程，這一過程貫穿于“問題解決”中。［3］近年來，“問題提出”受到各國數(shù)學教育研究者的重視。在國內(nèi)，除了義務(wù)教育數(shù)學課程標準和普通高中數(shù)學課程標準不斷強調(diào)包括發(fā)現(xiàn)問題和提出問題在內(nèi)的“四能”目標之外，不少研究者從情境視角、現(xiàn)狀調(diào)查、能力評價、教材比較、培養(yǎng)策略等方面對“問題提出”進行了研究［4］。其中，教材比較為“問題提出”提供了靜態(tài)的研究視角，有利于深入挖掘各個版本教材中“問題提出”內(nèi)容（引導學生提出問題的任務(wù)——主要包括問題情境和引導語）蘊含的價值，以及為教材的編寫提供改進建議。在國內(nèi)教材的比較研究方面，宋運明等對四版小學數(shù)學教材中的“問題提出”提示語進行了統(tǒng)計分析［5］；胡典順等對兩版小學數(shù)學教材中的“問題提出”內(nèi)容進行了比較［6］。在與國外教材有關(guān)的比較研究方面，胡典順等對中美三版小學數(shù)學教材中的“問題提出”內(nèi)容進行了對比［7］；嚴卿等對中日兩版初中數(shù)學教材中“問題提出”內(nèi)容進行了比較［8］。但總體而言，國內(nèi)關(guān)于“問題提出”尤其是數(shù)學教材方面的研究并不多，且沒有對高中數(shù)學教材的研究。

本文對依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》編寫的和依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）編寫的人教A版高中數(shù)學教材（分別出版于2007年和2019年，以下分別簡稱“舊教材”和“新教材”）必修分冊中的“問題提出”內(nèi)容進行比較研究，以期為教材編寫（乃至課程改革）提供一些建議。

二、 研究過程與結(jié)果

在研究的過程中，我們閱讀教材并記錄有關(guān)“問題提出”的內(nèi)容，進行編碼統(tǒng)計，進而從分冊分布、板塊分布、類型分布、情境分布、主題分布、素養(yǎng)分布等六個維度進行分析。

由于兩版教材在編排結(jié)構(gòu)、板塊（欄目）設(shè)計上存在一些差別，因此，我們在研讀時，基于兩版教材的共同特點，分板塊（欄目）對教材中的“問題提出”內(nèi)容進行編碼統(tǒng)計。（1） 對于例題、練習等板塊中的“問題提出”，若沒有小題設(shè)置，則按照題號編碼統(tǒng)計；若有小題設(shè)置，則按照小題號編碼統(tǒng)計。（2） 對于思考類欄目（包括穿插于正文中的“思考”“觀察”“探究”等欄目）中的“問題提出”，若設(shè)置了題號，則按照題號編碼統(tǒng)計；若沒有設(shè)置題號，則按照整個欄目編碼統(tǒng)計。（3） 對于章前語、正文、標注、小結(jié)、復習鞏固等板塊和拓展類欄目中的“問題提出”，若設(shè)置了明顯的題號，則按照題號編碼統(tǒng)計；若沒有設(shè)置題號，則根據(jù)語句或段落，綜合實際語境編碼統(tǒng)計。

（一） “問題提出”的分冊分布

舊教材包括5個必修分冊，新教材包括2個必修分冊。兩版教材各必修分冊中“問題提出”內(nèi)容及“問題解決”內(nèi)容的數(shù)量如表1所示。

從兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的分冊分布情況來看，新教材中“問題提出”內(nèi)容的總數(shù)比舊教材有顯著增加（z=2.43，p<0.05）；“問題提出”內(nèi)容在“問題解決”內(nèi)容中的占比也有所增加，但仍然處于較低水平（均低于1.9%）。

（二） “問題提出”的板塊分布

教材中不同板塊（欄目）的內(nèi)容，對學生學習有著不一樣的作用（價值），并且能從多個角度幫助學生深入理解和挖掘知識間的聯(lián)系。結(jié)合兩版教材的編排結(jié)構(gòu)，將兩版教材中的板塊（欄目）分為課程引入、課程設(shè)計和課后鞏固三大類。其中，課程引入對應章前語；課程設(shè)計包括正文與例題、標注、思考類欄目；課后鞏固包括練習、拓展類欄目、小結(jié)、復習鞏固。兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的板塊分布如圖1所示。

兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的板塊分布整體上沒有顯著差異（Fisher檢驗，p=0.23>0.05），均集中在思考類欄目、練習、拓展類欄目中，而較少在章前語、正文與例題、標注等中。在思考類欄目、練習、拓展類欄目中，新教材中“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量比舊教材中有所增加，但比例上沒有顯著變化（z=1.85，p>0.05；z=1.01，p>0.05；z=0.81，p>0.05）。在章前語、正文與例題、小結(jié)中，兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量相同，比例也沒有顯著變化（z=0.37，p>0.05；z=0.37，p>0.05；z=0.66，p>0.05）。此外，新教材在復習鞏固中增設(shè)了4個“問題提出”內(nèi)容，而刪除了標注中的1個“問題提出”內(nèi)容，但比例上沒有顯著變化（z=1.31，p>0.05；z=1.59，p>0.05）。

（三） “問題提出”的類型分布

“問題提出”內(nèi)容（引導學生提出問題的任務(wù)）可以分為以下五類。一是數(shù)學猜想型：通過設(shè)置情境，啟發(fā)學生提出數(shù)學猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。例如，新教材必修第一冊第230頁的“觀察分析等式sin2 30°+cos2 60°+sin 30°cos 60°=34，sin 220°+cos2 50°+sin 20°cos 50°=34，sin2 15°+cos2 45°+sin 15°cos 45°=34的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明”。

二是運算給定型：通過設(shè)置數(shù)學式子、函數(shù)或變量關(guān)系等，要求學生設(shè)計相應的問題情境。例如，新教材必修第一冊第63頁的“試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（10－x）來描述”。

三是補充型：通過設(shè)置沒有完整條件或問題的情境背景，要求學生將條件或問題補充完整。例如，舊教材必修1第23頁的“下頁圖2中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖像寫出一件事。（1） 我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學；（2） 我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；（3） 我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速”。

四是追問型：介紹相關(guān)知識背景或解決相關(guān)問題之后，要求學生構(gòu)建新的情境，提出新的問題并解決。例如，舊教材必修3第93頁的“你能試著對自己身邊的某個問題，確定兩個變量，通過收集數(shù)據(jù)，計算相關(guān)系數(shù)，然后分析一下能否用線性回歸模型來擬合它們之間的關(guān)系嗎”。

五是數(shù)學活動型：讓學生通過搜集資料、與同學交流等活動進行探究學習，從而將所學知識與自己的想法聯(lián)系起來并提出問題。例如，新教材必修第二冊第189頁的“你可能想了解全校同學生活、學習中的一些情況，例

如，全校同學比較喜歡哪門課程，每月的零花錢平均是多少，喜歡看《新聞聯(lián)播》的同學的比例是多少，每天大約什么時間起床，每天睡眠的平均時間是多少，等等。選一些自己關(guān)心的問題，設(shè)計一份調(diào)查問卷，利用簡單隨機抽樣方法調(diào)查你們學校同學的情況，并解釋你所得到的結(jié)論”。

兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的類型分布情況如圖3所示。

兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的類型分布整體上沒有顯著差異（Fisher檢驗，p=0.124>0.05），都主要是數(shù)學猜想型，其次是數(shù)學活動型，較少是運算給定型、補充型和追問型。新教材中數(shù)學猜想型、補充型、數(shù)學活動型“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量比舊教材均有所增加，但比例上沒有顯著變化（z=0.83，p>0.05；z=0.12，p>0.05；z=0.7，p>0.05）；追問型“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量有所減少，但比例上沒有顯著變化（z=1.94，p>0.05）。此外，新教材增設(shè)了運算給定型的“問題提出”內(nèi)容。

（四） “問題提出”的情境分布

新課標將教學與評價的情境劃分為現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境等三類。兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的情境分布如下頁表2所示。

兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的情境分布趨勢上沒有顯著差異［χ2（1，80）=3.484，p=0.062>0.05］，均主要基于數(shù)學情境，其次基于現(xiàn)實情境，而沒有基于科學情境的。新教材中基于數(shù)學情境的“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量比舊教材增加了幾乎兩倍，且比例上有極其顯著的變化（z=9.87，p<0.01）；基于現(xiàn)實情境的“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量減少了2個，但比例上沒有顯著變化（z=0.8，p>005）。

（五） “問題提出”的主題分布

新課標將課程劃分為預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動等五個主題。其中，數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動貫穿于其他四個主題中。兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的主題分布如圖4所示。

兩版教材中的“問題提出”內(nèi)容均集中分布在函數(shù)主題中，相對較少地分布在其他主題中，但整體上有顯著變化（Fisher檢驗，p=0.015<0.05）。新教材中預備知識主題下“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量比舊教材有所增加，

但比例上沒有顯著變化（z=1.80，p>0.05）；函數(shù)主題下“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量有顯著增加，但比例上有顯著下降（z=1.97，p<005）；幾何與代數(shù)主題下“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量與比例都有非常顯著的增加（z=2.26，p<0.01）；概率與統(tǒng)計主題下“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量與比例均有所下降，但沒有顯著變化（z=1.33，p>0.05）。

（六） “問題提出”的素養(yǎng)分布

新課標將數(shù)學核心素養(yǎng)分為數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個維度。不同的“問題提出”內(nèi)容重點融入（主要培養(yǎng)或考查）的數(shù)學核心素養(yǎng)不同。兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的素養(yǎng)分布如下頁圖5所示。

兩版教材中“問題提出”內(nèi)容的素養(yǎng)分布整體上沒有顯著差異（Fisher檢驗，p=0.416>0.05），均與數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)高度相關(guān)，與數(shù)學建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的相關(guān)程度較低。這在一定程度上體現(xiàn)出數(shù)學抽象能力與邏輯推理能力在數(shù)學學習中重要的奠基作用。具體而言，新教材中與數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)有關(guān)的“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量比舊教材有顯著增加（z=2.263，p＜0.05；z=2.2792，p<0.05）；與數(shù)學建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)相關(guān)的“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量有所增加，但比例上沒有顯著變化（z=1.55，p>0.05；z=0.52，p>0.05）；與直觀想象素養(yǎng)有關(guān)的“問題提出”內(nèi)容的數(shù)量沒有變化（z=2.31，p<0.05）；與數(shù)學運算素養(yǎng)有關(guān)的“問題提出”內(nèi)容的比例沒有顯著變化（z=0.65，p>0.05）。

三、 研究啟示：對教材編寫的幾點建議

（一） 豐富“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的角度，激發(fā)學生思維動力

教材中“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的豐富，對學生思維的發(fā)展有重要的引導和啟發(fā)作用。第一，要豐富設(shè)計的類型。不同類型的“問題提出”內(nèi)容對學生提出問題的角度和思考的方式有著不一樣的引導作用。例如，運算給定型“問題提出”內(nèi)容能引導學生賦予自身熟悉的意義，從而豐富對數(shù)學式子的理解；補充型和追問型“問題提出”內(nèi)容能引導學生通過提問，對某一個具體的知識點進行深入的加工和思考。第二，要豐富設(shè)置的板塊。將“問題提出”內(nèi)容設(shè)置于不同板塊，對教學過程中教師的預設(shè)和學生的生成有著重要的導向作用。例如，在章節(jié)末尾設(shè)置構(gòu)建思維導圖梳理知識從而提出問題的任務(wù)，有利于學生對知識的充分反思和深入總結(jié)。第三，要豐富設(shè)置的情境。情境對“問題提出”有著重要的啟發(fā)意義。教材中基于科學情境的“問題提出”內(nèi)容較少。數(shù)學是科學發(fā)展的基礎(chǔ)，科學的進步與國家的興盛緊密相連。從科學情境出發(fā)，有利于調(diào)動學生數(shù)學學習的積極性，幫助他們在科學情境的探究中樹立愛國情懷和遠大理想。此外，兩版教材中幾何領(lǐng)域的“問題提出”內(nèi)容都較少，而幾何是中學階段培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等思維能力的重要內(nèi)容，因此教材可考慮在幾何方面加強設(shè)計。只有從多元化的角度去設(shè)計“問題提出”內(nèi)容，才能充分激發(fā)學生的思維動力。

（二） 優(yōu)化“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的梯度，提升課堂互動質(zhì)量

教材中“問題提出”內(nèi)容的設(shè)計還需要“腳手架”：適當?shù)奶荻仍O(shè)計能夠幫助學生有效梳理知識并建構(gòu)思維框架，降低學生提出優(yōu)質(zhì)問題的難度，從而引導學生體會思考和提出問題的過程和方法。一方面，要優(yōu)化語言設(shè)計的精確性。教材中的語言對學生思維和課堂教學的開展有著重要的指導作用，而準確的語言設(shè)計也是教學目標和課堂價值得以實現(xiàn)的重要保證，不同的提問方式對學生思考的積極性和思考的方向、深度的影響有著顯著的差異。因此，“問題提出”內(nèi)容的語言設(shè)計要盡可能精簡、準確、連貫、自然、生動，保證能有效引導學生提出符合教學目標且有價值的問題。另一方面，還要注重培養(yǎng)學生舉一反三，多角度把握數(shù)學本質(zhì)的能力。因此，“問題提出”內(nèi)容可以增加一些引導學生改變題目中的已有條件，對比改變前后的解題方法、結(jié)論等，從而在對比中把握本質(zhì)的類型。例如，對上文所舉的運算給定型“問題提出”例子，可以引導學生改變函數(shù)解析式中的常數(shù)或者運算符號，通過對比改變前后的結(jié)果和解答過程，深入感受這類解析式的本質(zhì)特點和在實際情境中的意義。

（三） 挖掘“問題提出”內(nèi)容設(shè)計的深度，鼓勵批判創(chuàng)新精神

培養(yǎng)學生提出問題的能力是數(shù)學教學的重要目標之一，而更長遠的意義在于引導學生學會將該能力遷移到其他學科以及社會生活的獨立思考和批判性思維中。因此，數(shù)學教材中“問題提出”內(nèi)容的設(shè)計應該有更高的立足點，在凸顯數(shù)學教學目標的同時，深刻體現(xiàn)育人價值。一方面，要注重數(shù)學思想方法的挖掘。如果把數(shù)學知識比作建筑的磚瓦和基石，那么數(shù)學思想方法則是建筑設(shè)計的靈魂體現(xiàn)。在數(shù)學教學中，要注重數(shù)學思想方法對學生思維發(fā)展深度的深遠影響。不少學生在未來的學習甚至工作中用不到太多和數(shù)學相關(guān)的知識，但是，解決數(shù)學問題的思考方式和具體方法能夠在學習及生活中遷移和轉(zhuǎn)化。例如，可以設(shè)計專題探究環(huán)節(jié)，引導學生對涉及同一種重要數(shù)學思想方法的題型進行總結(jié)歸納，并自己設(shè)計和提出問題。另一方面，應注重文化融合的多樣性。不同領(lǐng)域的

文化是相互聯(lián)系、相輔相成的。而只有將社會、科學、醫(yī)學、藝術(shù)等不同領(lǐng)域的文化與數(shù)學相融合，才能很好地提升學生的思考深度，從而培養(yǎng)他們用數(shù)學的眼光看待世界的能力。

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