劉加霞 馬曉丹 陶安慧

【摘 要】“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的新要求。百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義表現(xiàn)在描述隨機(jī)數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系，其目的是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維。認(rèn)識(shí)確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系是理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的前提與基礎(chǔ)，要求學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中，通過(guò)“在討論與辯論中感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；與已有的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)建立鏈接，感悟‘?dāng)?shù)據(jù)蘊(yùn)含信息；感悟‘命中率的來(lái)源決定其可信度”來(lái)理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，發(fā)展統(tǒng)計(jì)思維。

【關(guān)鍵詞】百分?jǐn)?shù)；統(tǒng)計(jì)意義；統(tǒng)計(jì)思維

統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)相比，最大的不同是統(tǒng)計(jì)學(xué)具有“容錯(cuò)性”，其依據(jù)的理論、采用的方法、思維的形式，在很多情況下并不是為了尋求永恒不變的定律和準(zhǔn)確無(wú)誤的定值（也許不存在定律和定值），而是為了從瞬息萬(wàn)變的混沌世界中抽象出社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行推斷和估計(jì)。

“統(tǒng)計(jì)意義”是指人們無(wú)法確定未來(lái)社會(huì)經(jīng)濟(jì)等方面的具體發(fā)展結(jié)果，只能作出概率的估計(jì)與推斷?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2022年版課標(biāo)”）中有11次提及“統(tǒng)計(jì)意義”，除2次談到“平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義”、1次談到“數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)意義”外，其他幾次主要說(shuō)的是“百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”?！袄斫獍俜?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”是2022年版課標(biāo)的重要修改之處。

那么，百分?jǐn)?shù)的“意義”指什么？何謂百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計(jì)意義”？統(tǒng)計(jì)意義的具體表現(xiàn)是什么？學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的價(jià)值是什么？教學(xué)中如何處理百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)與非統(tǒng)計(jì)意義？理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的教學(xué)建議有哪些？

一、當(dāng)用百分?jǐn)?shù)描述隨機(jī)數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系時(shí)才具有“統(tǒng)計(jì)意義”

百分?jǐn)?shù)的起源可以追溯到早期的商業(yè)活動(dòng)中，涉及利息、納稅和貨幣兌換等。最初百分?jǐn)?shù)是作為一個(gè)具體的數(shù)量出現(xiàn)的，是“每一百個(gè)單位”對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量。例如，百分?jǐn)?shù)的意大利語(yǔ)為“per centro”，意思是“每一百中有多少”，后來(lái)演變?yōu)榈抡Z(yǔ)“procentro”，之后又演變?yōu)楝F(xiàn)代的詞語(yǔ)“procent”。百分?jǐn)?shù)的現(xiàn)代英語(yǔ)單詞是“percent”，其含義愈加抽象，表示部分與整體、一個(gè)量與另一個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系或者是兩個(gè)度量對(duì)象之間的相對(duì)大小。百分號(hào)“%”來(lái)源于15世紀(jì)的意大利商人，當(dāng)貨物降價(jià)時(shí)，他們會(huì)使用一種特定的縮寫(xiě)符號(hào)“PC0”，之后逐步演化為“per[00]”“[00]”，直至現(xiàn)代的“%”，才不再具有“量”的含義。也有研究者［1］舍棄百分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義，從“數(shù)”的角度將其定義為“繁分?jǐn)?shù)（兩個(gè)分?jǐn)?shù)的商）”，但這樣的定義不適用于小學(xué)階段。

百分?jǐn)?shù)主要用于描述一種關(guān)系或進(jìn)行比較，這里的比較既可以發(fā)生在部分與整體之間，也可以發(fā)生在不相交的兩個(gè)量之間。［2］因此，把百分?jǐn)?shù)稱(chēng)為百分率或百分比更能凸顯其表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系?！皟蓚€(gè)量”既可以是確定數(shù)據(jù)，也可以是隨機(jī)數(shù)據(jù)。其中，用百分?jǐn)?shù)描述兩個(gè)確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系可以稱(chēng)為百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”。例如，某人某月工資是1000元，其中包括獎(jiǎng)金200元，則獎(jiǎng)金占工資總額的20%。又如，將5mL蜂蜜放到95mL的溫水中，蜂蜜占整杯蜂蜜水的5%，配相同濃度的1000mL蜂蜜水就“百分之百”地需要50mL蜂蜜。此時(shí)的百分?jǐn)?shù)（濃度）不具有“統(tǒng)計(jì)意義”，它只描述蜂蜜與蜂蜜水的倍數(shù)關(guān)系，用它可以衡量蜂蜜水的甜度或濃度。這種對(duì)不具有隨機(jī)性數(shù)據(jù)的分析稱(chēng)為描述性分析（描述統(tǒng)計(jì)），這里的信息是數(shù)據(jù)“自身攜帶”的，只需要描述出來(lái)，不需要進(jìn)行推斷、估計(jì)等思維活動(dòng)。

用百分?jǐn)?shù)描述隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系則是百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計(jì)意義”。例如，小明一共投了20個(gè)球，投中了12個(gè)，投球命中率是60%，但不能說(shuō)，投10個(gè)一定命中6個(gè)，投100個(gè)一定命中60個(gè)。類(lèi)似地，出勤率、合格率、發(fā)芽率等概念的獲得都要涉及抽樣或通過(guò)調(diào)查得到隨機(jī)數(shù)據(jù)，此時(shí)利用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析、判斷或者作預(yù)測(cè)所得到的結(jié)論不能“百分之百”地成立，要考慮其具有“隨機(jī)性”。這種對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的概率估計(jì)和抽樣推斷都是百分?jǐn)?shù)“統(tǒng)計(jì)意義”的具體體現(xiàn)。

百分?jǐn)?shù)體現(xiàn)“倍數(shù)關(guān)系”、體現(xiàn)“程度”（百分?jǐn)?shù)的“度量”含義，有統(tǒng)計(jì)含義，也有非統(tǒng)計(jì)含義），利用百分?jǐn)?shù)制定“標(biāo)準(zhǔn)”（誤差程度、隨機(jī)性大小）等都是2022年版課標(biāo)要求的內(nèi)容。尤其是學(xué)會(huì)制定標(biāo)準(zhǔn)和基于標(biāo)準(zhǔn)作出判斷，都涉及重要的數(shù)學(xué)思維，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的較高目標(biāo)。例如，根據(jù)投籃的命中率決定誰(shuí)參加比賽，如比賽獲勝的可能性大小；根據(jù)科學(xué)抽樣所得到的樣本情況來(lái)推斷總體的情況，如確定某年級(jí)學(xué)生跳繩的合格標(biāo)準(zhǔn)。

制定標(biāo)準(zhǔn)與按標(biāo)準(zhǔn)做事是非常重要的兩件事，既涉及能力問(wèn)題，也涉及情感態(tài)度甚至是價(jià)值觀(guān)的問(wèn)題。因此，學(xué)生認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)要經(jīng)歷“從低到高”的三個(gè)階段，具體包括：每一百個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的“具體量”、兩個(gè)確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)意義）、兩個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（統(tǒng)計(jì)意義）。讓學(xué)生“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”對(duì)他們的思維水平要求較高，需要具有一定水平的隨機(jī)思維（或者稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)思維）能力。無(wú)論是自然現(xiàn)象還是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，時(shí)時(shí)處處都充滿(mǎn)著因個(gè)體的差異性而引起的不確定性，在大多數(shù)情況下，我們?nèi)狈ψ銐虻男畔⒒蛑R(shí)去利用有效信息。但是，人們總是期望通過(guò)量化事物的不確定性去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示真相，認(rèn)識(shí)不確定性背后的必然性。由此就產(chǎn)生了“統(tǒng)計(jì)學(xué)”，其根本任務(wù)是探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、推斷未知（由于不確定性，人們?cè)谝欢ǜ怕氏伦鞒雠袛啵?/p>

如果說(shuō)數(shù)學(xué)給出的是唯一正確的答案，那么統(tǒng)計(jì)學(xué)給出的只是多個(gè)可選擇的答案中最有可能接近實(shí)際的結(jié)果。因此，人們需要具備統(tǒng)計(jì)思維，這是一種在獲取數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、論證結(jié)論可靠性等過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的思維模式 ［3］，具有辯證性、批判性等特點(diǎn)，比傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維要求更高。統(tǒng)計(jì)思維是一種由經(jīng)驗(yàn)到理性的認(rèn)識(shí)，一種運(yùn)用偶然發(fā)現(xiàn)規(guī)律的科學(xué)思維。它既是一種方法和技術(shù)，又含有世界觀(guān)的成分——認(rèn)識(shí)世界的一種方式。2022年版課標(biāo)將百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容調(diào)整到“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，并增加理解它的統(tǒng)計(jì)意義的要求，目的就是試圖提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維水平，但這在小學(xué)階段的難度很大。

二、“百分?jǐn)?shù)”的重要育人價(jià)值在于提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維水平

百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)不是在傳遞如何把結(jié)果轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的孤立規(guī)則，而是把百分?jǐn)?shù)與更廣泛地理解數(shù)學(xué)思想或者自身的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)。［4］雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2011年版課標(biāo)”）也強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)意識(shí)以及隨機(jī)性，但教材中有關(guān)“對(duì)數(shù)據(jù)的需要”和“變異”兩個(gè)維度的內(nèi)容所占的比例卻非常低，教學(xué)時(shí)，教師也更多地從習(xí)題的表層要求出發(fā)，而忽視了滲透其中的數(shù)據(jù)意識(shí)以及隨機(jī)性認(rèn)識(shí)。［5］小學(xué)階段的統(tǒng)計(jì)教學(xué)以統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法為基本內(nèi)容，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維甚至統(tǒng)計(jì)思想，2022年版課標(biāo)在小學(xué)階段強(qiáng)調(diào)“數(shù)據(jù)、平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”即是為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。然而，在初中階段卻沒(méi)有提及“統(tǒng)計(jì)意義”，其在“內(nèi)容要求”和“學(xué)業(yè)要求”中提到的都是統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法，反而小學(xué)階段的要求“更高”一些。因此，筆者認(rèn)為初中階段也應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計(jì)意義”的要求，而不只是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法。

統(tǒng)計(jì)學(xué)家C.R.勞指出：“對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一知半解，常常造成不必要的上當(dāng)受騙；對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一概排斥，往往造成不必要的愚昧無(wú)知。統(tǒng)計(jì)學(xué)是人類(lèi)探究真理時(shí)必不可少的工具?！保?］其基本邏輯就是統(tǒng)計(jì)學(xué)提供專(zhuān)門(mén)的方法幫助人們通過(guò)量化事物的不確定性去不斷產(chǎn)生新的知識(shí)，從而發(fā)現(xiàn)或接近真理。人們從經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中所獲取的知識(shí)是含有不確定性的，統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)注的是這些知識(shí)當(dāng)中所含不確定性的度量問(wèn)題。一旦能得到不確定性的度量，人們的知識(shí)就得到擴(kuò)充，對(duì)世界的認(rèn)知就朝前跨越。這個(gè)過(guò)程在人類(lèi)知識(shí)積累的進(jìn)程中不斷重復(fù)。

克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書(shū)中虛構(gòu)了“決定論先生”和“概率論先生”，以對(duì)話(huà)的方式探討“無(wú)序的宇宙：用統(tǒng)計(jì)觀(guān)點(diǎn)看世界”，最終得出結(jié)論：宇宙是無(wú)序的，科學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)方面所得出的相關(guān)原理、定律等只不過(guò)在“統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（通過(guò)數(shù)據(jù)而得到的規(guī)律）”上成立，唯一的真理就是“沒(méi)有絕對(duì)的真理”。從“統(tǒng)計(jì)的角度”看問(wèn)題，可稱(chēng)之為“統(tǒng)計(jì)思維”。它具有辯證性，即從偶然中發(fā)現(xiàn)必然但又不能“百分之百”地相信“必然”，屬于人類(lèi)的高級(jí)思維。對(duì)小學(xué)生甚至初中生而言都較難形成，但又非常重要。我國(guó)歷次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其“要求”也較為“糾結(jié)”。例如：《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中提出的是“統(tǒng)計(jì)觀(guān)念”；2011年版課標(biāo)將“統(tǒng)計(jì)觀(guān)念”改為了“數(shù)據(jù)分析觀(guān)念”；2022年版課標(biāo)在小學(xué)階段將其改為“數(shù)據(jù)意識(shí)”，并且特別強(qiáng)調(diào)“統(tǒng)計(jì)意義”，初中階段則采用“數(shù)據(jù)觀(guān)念”。這些修改反映了統(tǒng)計(jì)思維是一種非常重要卻又難以培養(yǎng)的思維能力。

統(tǒng)計(jì)思維比形象思維和邏輯思維更為復(fù)雜，它是人們自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)據(jù)對(duì)客觀(guān)事物的數(shù)量特征和發(fā)展規(guī)律進(jìn)行描述、分析、判斷和推理的一種思維方式。數(shù)據(jù)要盡可能地排除人為干擾和系統(tǒng)誤差，這樣通過(guò)統(tǒng)計(jì)推斷所得到的結(jié)果才能“更好”，但所得出的結(jié)論并沒(méi)有“對(duì)錯(cuò)”之分。這與數(shù)學(xué)結(jié)論具有唯一性、確定性等的特征不同，也是統(tǒng)計(jì)思維與數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)區(qū)別，由此也可以看出在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維非常有難度。但是，統(tǒng)計(jì)思維的習(xí)慣要從早期學(xué)習(xí)就開(kāi)始培養(yǎng)［7］，即使有困難也要在日常教育教學(xué)中逐步滲透，否則成年后會(huì)更難。

總之，統(tǒng)計(jì)思維的基本思維方式是歸納推理。例如，所獲得的一些數(shù)據(jù)既有差異性，又有規(guī)律性。數(shù)據(jù)越多（不同樣本類(lèi)別、樣本容量），其規(guī)律性越明顯，所獲得的規(guī)律也越“可靠”。所以，統(tǒng)計(jì)思維本質(zhì)上是證據(jù)思維，是辯證思維和邏輯思維的綜合體，但辯證思維的特征更明顯，而不是“非黑即白”的二元式邏輯性、因果性思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一直滲透“統(tǒng)計(jì)思維”，浸潤(rùn)式地培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維是非常必要的，這對(duì)教師的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)能力、教學(xué)能力也提出了更高的要求。

三、“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”的教學(xué)建議

認(rèn)識(shí)“百分?jǐn)?shù)”重在讓學(xué)生感悟運(yùn)用百分?jǐn)?shù)衡量?jī)蓚€(gè)量之間相對(duì)大小的必要性、理解百分?jǐn)?shù)的含義以及初步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。通常在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”時(shí)，教師會(huì)創(chuàng)設(shè)比較“絕對(duì)量（如投中球的數(shù)量、森林面積等）”與“程度量（如命中率、森林覆蓋率等）”等問(wèn)題情境，幫助學(xué)生體會(huì)用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較的必要性。但在這些問(wèn)題情境中，學(xué)生所理解的仍然是百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”，而不是它的統(tǒng)計(jì)意義。他們?nèi)匀皇前凑铡懊恳话賯€(gè)投中多少個(gè)”來(lái)理解用百分?jǐn)?shù)描述命中率，進(jìn)而理解百分?jǐn)?shù)可以表示投中的次數(shù)與所投總數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系的。雖然按這種方式教學(xué)，學(xué)生會(huì)“認(rèn)可”百分?jǐn)?shù)不是教師“告知的”，而是通過(guò)比較分母是20、100、200等數(shù)時(shí)逐步感悟得到的。學(xué)生這樣理解的根本原因是“十進(jìn)制”思想在他們心目中“根深蒂固”，他們認(rèn)可用“百分?jǐn)?shù)表達(dá)倍數(shù)關(guān)系”便于比較、便于作判斷和下結(jié)論。但是這樣的教學(xué)并沒(méi)有讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。那么，如何讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義呢？

（一）在討論與辯論中感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

“統(tǒng)計(jì)”的研究對(duì)象主要是隨機(jī)事件，并通過(guò)對(duì)隨機(jī)事件展開(kāi)調(diào)查或試驗(yàn)得到隨機(jī)數(shù)據(jù)。隨機(jī)數(shù)據(jù)包括兩類(lèi)：一是完全隨機(jī)狀態(tài)，即概率試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，例如拋硬幣、擲骰子試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)；二是來(lái)自現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)，具有一定的隨機(jī)性，但又不完全隨機(jī)，屬于半隨機(jī)狀態(tài)。完全隨機(jī)和完全不隨機(jī)的數(shù)據(jù)，屬于數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)闡釋的范疇，半隨機(jī)的數(shù)據(jù)則由于歷史原因歸于統(tǒng)計(jì)研究領(lǐng)域。隨機(jī)性與不確定性不一樣，當(dāng)然二者之間也有一定的關(guān)系，有的不確定性事件具有隨機(jī)性，有的則不具有隨機(jī)性。例如，本周日午餐“可能吃魚(yú)”，該事件具有不確定性，但它不具有隨機(jī)性，周日是否吃魚(yú)可以由“媽媽”決定。對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的價(jià)值認(rèn)識(shí)較晚的原因是“對(duì)其研究的難度很大”，研究者很難對(duì)“數(shù)據(jù)隨機(jī)性”的內(nèi)涵給出操作性定義，而且很難弄清楚學(xué)生理解數(shù)據(jù)隨機(jī)性的過(guò)程。

以“命中率”為例，學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)便于比較、能夠刻畫(huà)兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系之后，還需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)投球所得到的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性。為突破學(xué)生已有的確定性思維的定式，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從“統(tǒng)計(jì)”的角度認(rèn)識(shí)“百分?jǐn)?shù)”，即所得到的命中率只是“統(tǒng)計(jì)意義”上的命中率，不具有“確定的因果關(guān)系”。比如，命中率60%并不意味著“投10個(gè)球一定命中6個(gè)”。因此，在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”的過(guò)程中，教師要激發(fā)學(xué)生展開(kāi)討論與辯論：“假如再比賽一場(chǎng)，命中率一定是60%嗎？”“既然命中率不是確定的，那么推薦誰(shuí)去參加比賽呢？”……這就要求學(xué)生“能夠根據(jù)情境，利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行批判性的質(zhì)疑，并用統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與解釋”［8］。

教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”的統(tǒng)計(jì)意義時(shí)，要讓學(xué)生知道在現(xiàn)實(shí)世界中隨機(jī)現(xiàn)象普遍存在，感知隨機(jī)現(xiàn)象的基本特征：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；可能以這樣的程度發(fā)生，也可能以那樣的程度發(fā)生。還要讓學(xué)生感知許多隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小是可以預(yù)測(cè)的。統(tǒng)計(jì)思維就是用部分?jǐn)?shù)據(jù)推斷總體情況，不能保證“百分之百”正確，但要保證出錯(cuò)的可能性盡可能小。這種根據(jù)數(shù)據(jù)作出推斷的方式就是統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)。

（二）與已有的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)建立鏈接，感悟“數(shù)據(jù)蘊(yùn)含信息”

一般而言，我們說(shuō)“百分位數(shù)是一類(lèi)統(tǒng)計(jì)量”，但不說(shuō)“百分?jǐn)?shù)是統(tǒng)計(jì)量”。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等都可稱(chēng)為“統(tǒng)計(jì)量”，能夠描述一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)（集中量數(shù)）”或“離散趨勢(shì)（差異量數(shù)或變異量數(shù)）”。百分位數(shù)是百分位所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，即將一列數(shù)據(jù)由小到大（或由大到?。┡帕?，第一個(gè)數(shù)據(jù)就是第1百分位數(shù)，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)。要特別指出的是，第一個(gè)四分位數(shù)就是這組有順序數(shù)據(jù)中第25%所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，第二個(gè)四分位數(shù)就是中位數(shù)，第三個(gè)四分位數(shù)就是第75%所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。

雖然不說(shuō)“百分?jǐn)?shù)”是統(tǒng)計(jì)量，但是“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)能夠與統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)建立聯(lián)系。二者都通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)一步加工獲得“新數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息）”，再根據(jù)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的信息作出合理的決策。比如，在“推薦參賽選手”的問(wèn)題上，僅從投籃“命中次數(shù)”這一個(gè)量是不能獲得有效信息的?！懊写螖?shù)”僅在數(shù)量上具有可比性，但在統(tǒng)計(jì)意義上是不可比的。學(xué)生最直接的感受是“僅比較投中次數(shù)是不公平的，我們并不清楚他們各投籃多少次”。可見(jiàn)，學(xué)生需要從兩個(gè)量建立的關(guān)系（“投籃次數(shù)”與“命中次數(shù)”的倍數(shù)關(guān)系）中挖掘數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息。

“百分?jǐn)?shù)”教學(xué)能否喚起學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)量時(shí)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？在學(xué)習(xí)“平均數(shù)”時(shí)，學(xué)生曾有過(guò)質(zhì)疑“公平”的經(jīng)歷。而在比較兩個(gè)小組的投籃水平時(shí)，直接比較兩個(gè)小組“投中總數(shù)”的做法也是不公平的。所以，學(xué)生需要從“投中總數(shù)”與“人數(shù)”的等分關(guān)系里挖掘數(shù)據(jù)信息?！鞍俜?jǐn)?shù)”和“平均數(shù)”都不是根據(jù)一個(gè)量的大小判斷事物的程度的，而是通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系挖掘有效信息，進(jìn)而作出更加客觀(guān)的判斷。它們的共性是把統(tǒng)計(jì)意義下不可比的數(shù)據(jù)變得具有可比性，為合理決策提供重要依據(jù)。

（三）讓學(xué)生感悟“命中率的來(lái)源”決定其可信度

如前所述，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)研討交流感受到，利用“投中的數(shù)量”不能做決策，利用“命中率”更科學(xué)，感悟到百分?jǐn)?shù)這一概念產(chǎn)生的必要性。此外，還需要讓學(xué)生初步了解怎樣求得的“命中率”更可信，利用其作出的決策更可靠。統(tǒng)計(jì)思維需要超越數(shù)據(jù)本身，并與數(shù)據(jù)的來(lái)源背景進(jìn)行連接。［9］

例如，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：從甲、乙、丙3人中選1人參加投籃比賽，甲的命中率是100%，乙的命中率是90%，丙的命中率是80%。從命中率高低來(lái)看，當(dāng)然選甲參加比賽，但是，甲參加比賽卻輸了。學(xué)生會(huì)很自然地反問(wèn)：“命中率100%怎么會(huì)輸呢？”他們還會(huì)追問(wèn)：“甲的命中率100%是怎么得來(lái)的？”教師告知學(xué)生選拔賽的過(guò)程：原來(lái)，選拔賽時(shí)，甲只投了1個(gè)球，結(jié)果投中了，命中率100%；乙投了10個(gè)球，投中了9個(gè)，命中率90%；丙投了50個(gè)球，投中了40個(gè)，命中率80%。這時(shí)教師提問(wèn)：你會(huì)相信誰(shuí)的“命中率”？學(xué)生可能會(huì)說(shuō)：當(dāng)然是丙的。

前述教學(xué)情境的討論真正涉及事件發(fā)生的隨機(jī)性問(wèn)題。隨機(jī)性主要體現(xiàn)在兩方面：一是對(duì)于同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同。如讓甲投籃1次，投中1次，命中率100%；另一次預(yù)賽，讓他投籃10次，投中6次，命中率60%。哪個(gè)“命中率”能代表他的水平呢？很難說(shuō)。只有當(dāng)他投籃的次數(shù)更多一些，才能發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”。二是只有擁有足夠多的數(shù)據(jù)才可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如讓甲投籃50次，投中29次；投200次，投中122次；投500次，投中300次……乃至投更多的次數(shù)。這時(shí)可以說(shuō)，他的投籃命中率大約是60%，此時(shí)的“命中率”才能代表他的投籃水平，使用這個(gè)“命中率”作判斷、作預(yù)測(cè)才能“更準(zhǔn)”。此外，還有一個(gè)基本假設(shè)：人的投籃水平基本是穩(wěn)定的，但也會(huì)受偶然因素的影響。因此，一個(gè)人的投籃命中率是60%，決不能說(shuō)“投100次肯定投中60次”。然而，在真正比賽時(shí)，兩個(gè)人的命中率分別是50%和60%，仍會(huì)派命中率60%的人參加比賽，因?yàn)樗@勝的可能性更大。所以在理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義時(shí)，不要簡(jiǎn)單地被百分?jǐn)?shù)所迷惑，而要考查百分?jǐn)?shù)背后的統(tǒng)計(jì)過(guò)程。

推斷統(tǒng)計(jì)的核心是通過(guò)已經(jīng)歷過(guò)的事件來(lái)推斷未經(jīng)歷過(guò)的事件，或者說(shuō)通過(guò)樣本推斷總體。因此，抽樣問(wèn)題至關(guān)重要，但小學(xué)階段的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中只是略有涉及，初中階段更應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計(jì)意義”的要求。統(tǒng)計(jì)分析的過(guò)程是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，它既容忍誤差的存在，又在認(rèn)識(shí)過(guò)程中不斷控制和降低誤差，同時(shí)還及時(shí)對(duì)分析結(jié)論進(jìn)行評(píng)估。因此，“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義”很難，需要學(xué)生辯證地看待存在的“現(xiàn)象或事實(shí)”，從“統(tǒng)計(jì)角度”看待事件發(fā)生的過(guò)程與結(jié)果。

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（1.北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院

2.吉林省敦化市黃泥河鎮(zhèn)中心小學(xué)校）