摘 要：統(tǒng)計規(guī)律性是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的一個基本定義，對其的探索貫穿于統(tǒng)計研究的始終。本研究通過對某項研究中父母、子女身高的歷史真實數(shù)據(jù)進行科學(xué)分析，對統(tǒng)計規(guī)律性進行了探索，并結(jié)合數(shù)據(jù)的處理過程強化了對統(tǒng)計規(guī)律性的認識，從而做到理論與實踐相結(jié)合，更好實現(xiàn)了課程教學(xué)目標。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計規(guī)律性；概率統(tǒng)計；身高數(shù)據(jù)

統(tǒng)計學(xué)是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學(xué)與藝術(shù)，該學(xué)科不僅要求掌握基本知識和基本理論，還要有統(tǒng)計的思想和藝術(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計（以下簡稱“概率統(tǒng)計”）作為統(tǒng)計學(xué)科的一門基礎(chǔ)課程，已成為理工、農(nóng)醫(yī)、經(jīng)濟、管理等專業(yè)本科階段的必修課。如何基于概率統(tǒng)計的課程內(nèi)容，在傳授基本知識和基本理論的同時，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思想與藝術(shù)能力，使他們具備探索隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的綜合素養(yǎng)，是統(tǒng)計教育工作者在教學(xué)中一直積極探索的內(nèi)容。

筆者基于R語言包HistData中的父母、子女身高數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)收集的目的，在對數(shù)據(jù)進行加工的同時探討其統(tǒng)計規(guī)律性，強化了對概率統(tǒng)計相關(guān)概念的認知和應(yīng)用。

一、數(shù)據(jù)背景

英國生物學(xué)家查爾斯·羅伯特·達爾文（Charles Robert Darwin）于1859年在其著作《物種起源》中提出了生物進化論學(xué)說，并將其作為適者生存理論的基礎(chǔ)。達爾文的表弟弗朗西斯·高爾頓（Francis Galton）對進化論產(chǎn)生興趣后，決定對“天賦的遺傳”開展研究。受條件所限，他選擇了更容易測量的遺傳特征——身高。他收集了205個家庭的成員的身高、體重、特定骨骼數(shù)據(jù)以及其他特征，并將這些數(shù)據(jù)制成表格反復(fù)研究，希望找到一種以父母身高預(yù)測子女身高的統(tǒng)計方法。

R語言包HistData中給出了這個調(diào)查結(jié)果，并將其命名為GaltonFamilies，同時還給出了名為Galton的數(shù)據(jù)。Galton是GaltonFamilies的簡化，只包含“parent”（父母身高）和“child”（子女身高）兩個變量。Galton有928個觀測值，即來自205個家庭的928個成年子女的身高（單位：英寸，1英寸=2.54厘米）數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)中，父母的身高數(shù)據(jù)為父親身高和母親身高的平均值。

要基于Galton數(shù)據(jù)探討統(tǒng)計規(guī)律性，就需要理解統(tǒng)計規(guī)律性的概念。統(tǒng)計規(guī)律性是進行大量重復(fù)性試驗和觀測時試驗結(jié)果呈現(xiàn)出的規(guī)律性，如拋擲質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)帶幣值的一面朝上的次數(shù)約占拋擲總次數(shù)的一半。《統(tǒng)計大辭典》將統(tǒng)計規(guī)律性定義為“大量隨機現(xiàn)象在多次重復(fù)出現(xiàn)時所呈現(xiàn)的各種規(guī)律性”“其主要表現(xiàn)是：在隨機現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時，它的每種可能結(jié)果出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定性，以及各種數(shù)量特征的平均水平的穩(wěn)定性。如，對一批產(chǎn)品進行還原抽樣，各次抽樣的結(jié)果具有隨機性，但是多次重復(fù)抽樣中不合格產(chǎn)品出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在整批產(chǎn)品的不合格率附近；在分析天平上稱量一件物品，各稱量的結(jié)果具有隨機性，但是多次重復(fù)稱量結(jié)果的平均值穩(wěn)定在被稱物品的質(zhì)量附近……這種穩(wěn)定性就是統(tǒng)計規(guī)律性的典型表現(xiàn)”。從上述定義可以看出，統(tǒng)計規(guī)律性是對大量的觀測進行有效信息提取的過程，而有效提取信息則要基于實際問題。為此，筆者結(jié)合高爾頓收集的Galton數(shù)據(jù)及收集目標，探討了Galton數(shù)據(jù)中隱含的統(tǒng)計規(guī)律性。

二、數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計規(guī)律

描述性統(tǒng)計是指對調(diào)查樣本中的大量數(shù)據(jù)資料進行整理、分析和計算，從而得到數(shù)據(jù)分布特性的概況。描述性統(tǒng)計分析的方法有很多，其中統(tǒng)計圖形方法具有直觀、形象的特點，可以給出數(shù)據(jù)的整體分布情況。為此，筆者首先執(zhí)行R語句命令：

library（HistData）#加載包，如果沒有安裝，需要運行語句：install.packages（“HistData”）

plot（child～parent，data=Galton，xlab=“父母身高（英寸）”，ylab=“子女身高（英寸）”）#作圖

執(zhí)行命令后得到圖1：

圖1是以父母身高（parent）為x軸、子女身高（child）為y軸的散點圖，可以看出父母身高與子女身高的整體分布情況。觀察者可以沿著x軸觀測y軸的取值變化，比如父母身高在64英寸附近時，子女身高值有的低于62英寸，有的接近70英寸，這說明有的子女身高比父母低，有的比父母高，但比父母高的子女更多。同樣，高個子父母的子女身高也較高，但也有不少子女身高比父母矮。這正如高爾頓和其助手在研究中指出的那樣，“高個子的父母更容易擁有高個子的后代，但其子女往往比父母矮，而矮個子的父母其子女往往比父母高”。高爾頓將這種現(xiàn)象形象地稱為“均值回歸”，這就是圖1所給出的Galton數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律性。

雖然統(tǒng)計圖形具有直觀、形象的特點，但不同的觀察視角往往導(dǎo)致統(tǒng)計圖方法產(chǎn)生一定的主觀性。因此，可以基于特定的問題或特定的角度，對這些數(shù)據(jù)進行加工，提取某方面的信息以展示其統(tǒng)計規(guī)律性。如要了解19世紀的倫敦居民的平均身高，則可以對Galton數(shù)據(jù)中的“parent”和“child”變量求均值，運行下面的語句：

apply（Galton，2，mean）#對Galton數(shù)據(jù)變量求均值

得到父母身高的均值為68.31英寸，子女身高為68.09英寸，子女與父母平均身高相差不大，從而可以認為當?shù)鼐用竦钠骄砀呒s為68英寸（172.72cm），這就是當時倫敦居民平均身高的統(tǒng)計規(guī)律性。該統(tǒng)計規(guī)律性是對來自205個家庭的928名成年子女的身高數(shù)據(jù)進行平均而得到的，所以68英寸這個身高值有可能比實際值高或低，這取決于樣本是否具有代表性。如果樣本具有良好的代表性，那么這個值就能夠反映當時倫敦居民的平均身高情況，這就是統(tǒng)計規(guī)律性。

若要了解當時倫敦居民身高的差異情況，則可以計算身高數(shù)據(jù)的方差（標準差）。方差（標準差）越大，說明居民之間身高的差別越大，反之則越小。運行下面語句：

apply（Galton，2，var）#對Galton數(shù)據(jù)變量求方差

apply（Galton，2，sd）#對Galton數(shù)據(jù)變量求標準差

得到父母、子女身高的樣本方差分別為3.19和6.34，父母、子女身高的標準差分別為1.79和2.52。基于正態(tài)分布的“3σ”法則，區(qū)間（60.53， 75.65）（=（68.09-3×2.52，68.09+3×2.52））應(yīng)以0.9973的概率包含倫敦居民的身高。對于Galton數(shù)據(jù)，父母、子女身高的最大值分別為73和73.7（運行代碼：apply（Galton，2，max）），最小值分別為64和61.7（運行代碼：apply（Galton，2，min）），均落在“3σ”區(qū)間內(nèi)。由此可見，均值、方差、標準差以及“3σ”區(qū)間等值，均從不同角度展示了Galton數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律性。

上述結(jié)論中，子女身高的方差（標準差）比父母身高的方差（標準差）大，說明子女身高的離散程度大，這在數(shù)據(jù)中也有所體現(xiàn)——子女身高的最小值61.7比父母身高的最小值64小，而最大值73.7比父母的73大。但這個結(jié)論似乎與高爾頓“均值回歸”相矛盾，這種假象的產(chǎn)生與樣本的采集有關(guān)：一是因為父母的身高是父親與母親身高的平均值；二是因為928名成年子女來自205個家庭，父母身高的數(shù)據(jù)也只有205個不同的值。以上兩個因素導(dǎo)致了父母身高方差變小，這也是Galton數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律性所在。

三、數(shù)據(jù)的推斷統(tǒng)計規(guī)律

高爾頓采集數(shù)據(jù)的目的是想找到一個統(tǒng)計模型，在已知父母身高的條件下預(yù)測其子女的身高。概率統(tǒng)計課程中的回歸分析是一個常用的統(tǒng)計預(yù)測工具，那么回歸分析又是如何體現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律性的呢？

首先，基于R軟件包stats中的lm函數(shù)，運行語句

galton.lm=lm（child～parent，data=Galton）#建立父母身高對子女身高的線性回歸模型

summary（galton.lm）

由summary（galton.lm）輸出，給出的回歸模型為：子女身高=23.94+0.65×父母身高。（1）

模型（1）將928名子女和205個父母的身高數(shù)據(jù)統(tǒng)計提取為兩個數(shù)值：截距項23.94和斜率0.65。顯然，父母身高對子女身高具有正向作用，因為斜率0.65為正值，但0.65<1，說明父母身高對子女身高的影響并不是1∶1的。在父母身高已知的條件下，基于模型（1）可以給出子女身高的預(yù)測。比如父母身高是68英寸，代入模型（1）給出子女身高為68.14英寸，基本與父母身高持平；如果父母身高為62英寸，則子女身高64.24英寸，有增高的趨勢；如果父母身高為75英寸，則子女身高為72.69英寸，有降低的趨勢。這就是高爾頓給出的“均值回歸”現(xiàn)象，而截距項23.94和斜率0.65就是Galton數(shù)據(jù)的線性回歸模型的統(tǒng)計規(guī)律性。

筆者基于Galton數(shù)據(jù)，從統(tǒng)計圖、均值、方差和“3σ”區(qū)間等角度給出了統(tǒng)計規(guī)律性的描述性分析，有助于加深學(xué)生對統(tǒng)計規(guī)律性的認識，幫助他們進一步理解統(tǒng)計推斷的統(tǒng)計規(guī)律性。

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責編：文 墨

基金項目：河南工業(yè)大學(xué)首批特色課程（編號：PX-41211821）

作者簡介：郭念國（1976— ），男，河南工業(yè)大學(xué)副教授，研究方向為應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計。