張曉輝

摘要：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，又對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有重要的指導(dǎo)作用。《四邊形的分類》復(fù)習(xí)課，充分融入并運(yùn)用分類與集合的思想，讓學(xué)生自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)動(dòng)手操作，從部分到整體，從特殊到一般，幫助學(xué)生深刻理解圖形特征，在把握?qǐng)D形內(nèi)涵的同時(shí)揭示外延，對(duì)一類圖形之間的聯(lián)系與差異建立起清晰的認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；分類；集合；四邊形

課例剖析《四邊形的分類》是一節(jié)復(fù)習(xí)課，為了幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形的特征后，厘清不同四邊形之間的關(guān)系。本課的教學(xué)過(guò)程與思考如下：

一、教學(xué)過(guò)程

（一）回顧兩條直線的位置關(guān)系

師（出示圖1）在圖中找一找兩條直線之間的位置關(guān)系。

（學(xué)生交流得出兩條直線之間的位置關(guān)系有相交、平行、垂直。）

師這三種位置關(guān)系都有各自的特點(diǎn)，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

生平行的兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)。

生相交的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)。

生垂直的兩條直線也有一個(gè)交點(diǎn)。

師兩條直線可以沒(méi)有交點(diǎn)或有一個(gè)交點(diǎn)。根據(jù)有沒(méi)有交點(diǎn)設(shè)計(jì)分類標(biāo)準(zhǔn)，（出示下頁(yè)圖2）可以分成兩類。

師相交和垂直這兩種位置關(guān)系之間有什么關(guān)系？

生垂直的兩條直線一定是相交的，相交的兩條直線不一定垂直。

師所以，（出示圖3）相交和垂直是包含關(guān)系。

［設(shè)計(jì)意圖：四邊形都可以看成由相同或不同位置關(guān)系的兩組直線（線段）構(gòu)成。借助“找一找”任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生回顧整理同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，加深對(duì)平行和垂直概念的理解。在比較關(guān)鍵特征的過(guò)程中，初步滲透分類及集合的思想，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分類可以使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，用集合圈可以表示相同特征事物的集合以及它們之間的關(guān)系。］

（二）在分類中辨析不同的四邊形

（教師借助軟件，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移相同或不同位置關(guān)系的兩組直線，構(gòu)成不同的四邊形，如圖4所示。）

師從圖中我們可以看到什么？

生四邊形。

（師生共同回顧已經(jīng)認(rèn)識(shí)的四邊形，并一一展示，最終結(jié)果如圖5所示。）

師這些四邊形除了有4條邊和4個(gè)角，還有哪些特征？你能找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分分類嗎？小組合作，找一找、分一分。

（學(xué)生小組合作分類，幾種典型的分類如圖6—圖8所示。）

師不同的分類標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有不同的分類結(jié)果，這三種不同的分類，你更喜歡研究哪一種？

生第一種，因?yàn)榉值酶?xì)。

生更喜歡按照對(duì)邊平行的標(biāo)準(zhǔn)分類。

師那好，我們就來(lái)研究根據(jù)對(duì)邊平行的分類情況。像這樣只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫作——

生梯形。

師這些梯形中有沒(méi)有比較特殊的？

生有的梯形有2個(gè)直角。

師這叫作直角梯形。

生有的梯形有一組對(duì)邊長(zhǎng)度相等。

師即梯形的腰長(zhǎng)度相等，這樣的梯形叫作等腰梯形。

［設(shè)計(jì)意圖：分類的過(guò)程既要關(guān)注不同圖形特征的共性，還要關(guān)注同一類圖形特征的差異性。四邊形都是由4條邊圍成的圖形，但根據(jù)對(duì)邊（兩條直線）的位置關(guān)系，有對(duì)邊平行的，也有對(duì)邊不平行的；有兩組對(duì)邊平行的，也有只有一組對(duì)邊平行的。從整體劃分出局部，而這一局部又可以分類，如其中只有一組對(duì)邊平行的四邊形（梯形），又能繼續(xù)分為特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）和一般梯形。通過(guò)這樣統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)、逐級(jí)分類對(duì)四邊形開(kāi)展研究，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到共性和差異性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，助力學(xué)生深刻地把握每一類四邊形的本質(zhì)特征。］

（三）在分類中把握平行四邊形的特征

師有兩組對(duì)邊平行的四邊形是什么圖形？

生平行四邊形。

師平行四邊形有什么特征？

生對(duì)邊平行且相等。

師在這些平行四邊形中，有沒(méi)有特殊的？還可以怎樣分類？小組討論一下。

（學(xué)生小組討論。）

生（展示討論結(jié)果，如圖9所示）可以根據(jù)有沒(méi)有直角來(lái)分類，分為兩類。

生（展示討論結(jié)果，如圖10所示）可以根據(jù)邊的長(zhǎng)度是否相等來(lái)分類，也分為兩類。

［設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形時(shí)，都是從角和邊的特征開(kāi)展研究的。因此，研究圖形的邊和角是學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的起點(diǎn)，也是學(xué)生合理制定分類標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)。合理制定分類標(biāo)準(zhǔn)并加以實(shí)施，能幫助學(xué)生更系統(tǒng)、更有條理地抓住圖形的本質(zhì)特征，在原有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。而遵循標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)展活動(dòng)，能鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)的毅力，如有的小組制訂了依據(jù)角的大小標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，但發(fā)現(xiàn)在活動(dòng)中不便于操作：有的圖形既有鈍角，也有銳角，甚至還有直角，無(wú)法準(zhǔn)確把握這一類圖形的特征。因此，分類標(biāo)準(zhǔn)需要在實(shí)踐中進(jìn)行調(diào)試甚至推翻。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了挫折，但最終也體驗(yàn)到了成功的快樂(lè)。］

（四）以集合圖構(gòu)建平行四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)

師長(zhǎng)方形、正方形、菱形都是平行四邊形，你能用自己的方式表示這四個(gè)圖形之間的聯(lián)系嗎？

（學(xué)生小組合作探究。）

生（展示小組探究結(jié)果，如下頁(yè)圖11所示）把平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)邊縮短到和短邊長(zhǎng)度一樣時(shí)，就是菱形；把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)縮短到和寬的長(zhǎng)度一樣時(shí)，就是正方形。

生也可以把平行四邊形的短邊或長(zhǎng)方形的寬拉長(zhǎng)。所以，菱形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

生正方形也是特殊的菱形，只要把菱形的一個(gè)角變成90°就可以了。

師從這一個(gè)小組的探究中，我們可以看出圖形之間的轉(zhuǎn)化，但相互之間的聯(lián)系還不是十分清晰。有哪個(gè)小組可以更加直觀地表示出它們之間的聯(lián)系？

生（展示小組探究結(jié)果，如圖12所示）我們小組用一個(gè)圈表示平行四邊形，長(zhǎng)方形、正方形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以在平行四邊形的圈內(nèi)。

生正方形既是特殊的長(zhǎng)方形，又是特殊的菱形，所以正方形既在長(zhǎng)方形圈里，也要在菱形圈里。

師這一小組的作品，有沒(méi)有清楚地表示出這些圖形之間的關(guān)系？

生感覺(jué)正方形重復(fù)了。

生這樣子，還可以看成長(zhǎng)方形是特殊的正方形，菱形是特殊的正方形了。

師那正方形究竟放在什么地方，才不重復(fù)，也不會(huì)產(chǎn)生誤解呢？

生把正方形放在長(zhǎng)方形和菱形的交叉處。

師（出示圖13）這樣，你們能看懂正方形和長(zhǎng)方形、菱形的關(guān)系嗎？

生看懂了，交叉圈里的圖形既有長(zhǎng)方形的特征，又有菱形的特征。

師正方形既屬于長(zhǎng)方形圈，又屬于菱形圈，那就要放在這兩個(gè)圈的交叉處。

［設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究不同平行四邊形之間的聯(lián)系，從一般到特殊，層層推進(jìn)，明確不同平行四邊形的內(nèi)涵，建立包含與被包含的關(guān)系?；趯W(xué)生不同的思維方式，以及對(duì)認(rèn)知的不同表征，通過(guò)辨析、互補(bǔ)、改進(jìn)等活動(dòng)逐漸完善對(duì)不同平行四邊形之間聯(lián)系與區(qū)別的認(rèn)識(shí)，最終用集合圖準(zhǔn)確、清晰地表示出這種關(guān)系。］

（五）以集合圖構(gòu)建四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)

師剛才同學(xué)們用集合圖表示出了不同平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系，黑板上除了平行四邊形還有其他四邊形，這些不同的四邊形之間又有著怎樣的聯(lián)系呢？你能試著用集合圖畫(huà)一畫(huà)嗎？

（學(xué)生小組合作完成，典型作品如圖14所示。）

師你能介紹一下這個(gè)集合圖嗎？

生四邊形最大，包含平行四邊形、梯形。

生平行四邊形和梯形是分開(kāi)的，互相不包含。

生平行四邊形又可以分為長(zhǎng)方形、正方形和菱形，其中正方形既屬于長(zhǎng)方形，又屬于菱形，所以用交叉的部分表示正方形。

師為什么平行四邊形和梯形沒(méi)有交叉？

生沒(méi)有圖形既屬于平行四邊形，又屬于梯形，所以沒(méi)有交叉。

［設(shè)計(jì)意圖：在構(gòu)建不同平行四邊形之間的聯(lián)系時(shí)，通過(guò)分析、表征，逐步形成了集合圖，讓學(xué)生形象直觀地看清了平行四邊形與長(zhǎng)方形、菱形之間的包含與被包含關(guān)系，同時(shí)也運(yùn)用交集表示出了正方形兼具長(zhǎng)方形和菱形的特征。有了這些經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生用集合圖表示出四邊形之間的聯(lián)系就有了可行性。］

二、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)思想對(duì)概念的形成、特征的把握以及概念之間內(nèi)在聯(lián)系的建立具有重要的指導(dǎo)作用。而數(shù)學(xué)思想往往難以教學(xué)，也不便于評(píng)估。數(shù)學(xué)思想需要在豐富、典型、適切的背景材料中，通過(guò)具身參與，對(duì)感性材料進(jìn)行多形式的加工處理，逐漸感悟和領(lǐng)會(huì)。本節(jié)復(fù)習(xí)課充分融入并運(yùn)用分類與集合的思想，讓學(xué)生自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)動(dòng)手操作，從部分到整體，從特殊到一般，幫助學(xué)生深刻理解圖形特征，在把握?qǐng)D形內(nèi)涵的同時(shí)揭示外延，對(duì)一類圖形之間的聯(lián)系與差異建立起清晰的認(rèn)知。

人們對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)無(wú)法統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐步討論，再把每一類的結(jié)論加以綜合，使問(wèn)題得到解決。分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較廣泛，可以幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，化繁為簡(jiǎn)，將同一類對(duì)象的不同屬性和不同類對(duì)象的相同屬性清晰、有序地顯示出來(lái)，從而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深刻的理解。而集合思想是把一類研究對(duì)象看成一個(gè)整體進(jìn)行研究的思想。小學(xué)數(shù)學(xué)的很多學(xué)習(xí)內(nèi)容都蘊(yùn)含集合思想，如數(shù)的認(rèn)識(shí)、三角形的分類、公因數(shù)和公倍數(shù)等。分類與集合是密切相關(guān)的，將分類對(duì)象進(jìn)行組合，就構(gòu)成了集合。這在小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都有滲透。在圖形教學(xué)中，滲透與運(yùn)用分類與集合的思想，能夠引導(dǎo)學(xué)生從部分到整體研究圖形特征和圖形之間的關(guān)系，從而把握?qǐng)D形特征的本質(zhì)，理清圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別。

一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸惖膶?duì)象進(jìn)行不重復(fù)、不遺漏的劃分。［1］在給四邊形分類前，不同的小組從不同的角度制定分類標(biāo)準(zhǔn)。有的小組根據(jù)對(duì)邊的平行情況進(jìn)行分類，有的小組根據(jù)直角的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，還有的小組按照?qǐng)D形是否為軸對(duì)稱圖形進(jìn)行分類。當(dāng)然，不同分類標(biāo)準(zhǔn)的制定都是基于學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的。四邊形的分類活動(dòng)，是學(xué)生在對(duì)平行、直角、軸對(duì)稱等概念已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，進(jìn)行充實(shí)和完善，產(chǎn)生新的認(rèn)知的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

而集合圖的形成過(guò)程，就是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程。尤其是“正方形究竟歸屬于哪一類、怎樣表示出來(lái)”這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)的處理，教師結(jié)合第二小組的錯(cuò)例，讓學(xué)生感受到表示方法有重復(fù)和歧義，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突。然后，教師通過(guò)提問(wèn)“正方形究竟放在什么地方，才不重復(fù)，也不會(huì)產(chǎn)生誤解呢”，引導(dǎo)學(xué)生從“正方形既是特殊的長(zhǎng)方形，也是特殊的菱形”這一特征去考慮，找到長(zhǎng)方形圈與菱形圈的交叉處，以形象直觀的方式呈現(xiàn)這幾種特殊平行四邊形的聯(lián)系；同時(shí)，滲透交集的概念，為學(xué)生自主構(gòu)建四邊形的集合圖做好鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004：148.