楊婧 陳至桐

［摘 要］數學和物理學是理科中聯(lián)系最為緊密的兩個學科，高中課程中的數理結合內容教學對促進學生學科核心素養(yǎng)發(fā)展、提高學生知識整合能力和跨學科綜合運用知識解決實際問題能力具有重要意義。文章通過比較分析中、英高中數學教材中的數理結合內容在知識點呈現方式、題目設置和特點方面具有的不同特色，從教學內容、物理情境、教學難點和習題設置四個方面為高中數理結合內容的教學提供參考建議。

［關鍵詞］數理結合內容；高中數學；A Level課程；教材分析

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）09-0025-04

一、 引言

我國《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出要關注學科間的聯(lián)系與整合，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展［1- 2］。在理科中，數學和物理學在學科內容和方法上相互結合，在學科發(fā)展歷程中相互促進，是關系最密切的兩個基礎學科。我國高中數學教材中有很多知識點就是結合物理問題引入的，或者利用物理量之間的關系進行闡述，或者應用于解決實際物理問題，這些就是“數理結合內容”［3］。類似地，英國高中AS & A Level（Advanced Subsidiary and Advanced Level，簡稱A Level）數學課程的《課程大綱》指出，要讓學生獲得能夠在日常情況和其他學科背景下應用數學的技能，培養(yǎng)學生的數學建模能力。其中，特別提到了關于力學模型的數學應用問題求解［4-5］，并且課程內容中還專門設置了“力學數學”相關主題模塊，這就是A Level數學課程中的數理結合內容。本文分析并比較我國人民教育出版社2019年版的《普通高中數學教科書》A版（以下簡稱“人教版教材”）、英國劍橋大學出版社2018年版的A Level力學數學教科書Cambridge International AS & A Level Mathematics： Mechanics Coursebook和進階數學教科書Cambridge International AS & A Level Further Mathematics Coursebook（以下將這兩本教材統(tǒng)一簡稱為“A Level教材”）中數理結合內容的知識點呈現方式、相關題目設置及特點，并根據兩國教材中的特色和差異，給出高中數理結合內容教學的參考建議。

二、 中英高中數學教材中數理結合內容的比較

（一） 知識點呈現方式的比較

我國人教版教材中，除“集合與常用邏輯用語”和“復數”兩個章節(jié)外，其他必修和所有選修章節(jié)均包含數理結合內容。這些內容分布于教材中的“章節(jié)開篇”、“問題導入”環(huán)節(jié)，以及“探究”“思考”“觀察”等多個欄目中。其中，數理結合內容中的物理知識涉及力學、熱學、電磁學、光學和近代物理等多個物理領域。在教材中，數理結合內容與純數學內容交織在一起，相關的題目與數學類基礎題以及其他應用類問題沒有進行分類標記或特殊的排版區(qū)分。例如，人教版高一數學必修第一冊第三章“函數的概念與性質”的“章節(jié)開篇”中引用了“天宮二號”發(fā)射升空的距離隨時間的變化而變化、高鐵營運里程逐年增加兩個物理實例，又從“復興號”高鐵勻速運行時的路程與時間關系“問題”引出“函數的概念”；人教版高一數學必修第一冊第五章“三角函數”中，以勻速圓周運動、簡諧運動、交變電流、氣溫變化、潮汐規(guī)律、星體亮度等“問題”和“例題”介紹了三角函數的應用，又在“閱讀與思考”欄目中介紹了聲音的振幅、周期、頻率、相位等知識；人教版高一數學必修第二冊第六章“平面向量及其應用”中6.4.2小節(jié)介紹了向量在物理中的應用；人教版高二數學選擇性必修第二冊第五章“一元函數的導數及其應用”中從高臺跳水運動員的瞬時運動速度引出了“變化率問題”，進而引出了導數相關知識點，并在這一章中設置了多個與運動學相關的“例題”“練習”與“習題”。不僅如此，教材中的數學史也提到了物理學家在數學學科發(fā)展中的貢獻。例如，人教版高一數學必修第一冊第三章“函數的概念與性質”的“文獻閱讀與數學寫作”欄目中，參考選題“數學家與函數”里提到了開普勒、伽利略、牛頓等物理學家對函數發(fā)展所起到的推動作用；人教版高一數學必修第一冊第四章“指數函數與對數函數”的“文獻閱讀與數學寫作”欄目中，介紹了伽利略對“對數”的出現所做的評價。此外，第五章“導數的運算”一節(jié)“探究與發(fā)現”欄目中還引申介紹了物理學家牛頓提出的利用導數法求高次方程近似解的數值算法，以此鼓勵學生運用信息技術工具來探索和解決問題。

英國劍橋大學國際考評部（Cambridge Assessment International Education，簡稱CAIE）下設的A Level數學課程有兩門，分別為“數學”（Mathematics，課程代碼9709）和“進階數學”（Further Mathematics，課程代碼9231）。兩門課程內容均分為“（進階）純數學”、“（進階）力學數學”和“（進階）概率與統(tǒng)計”三大部分。A Level數學教材基本就是按照這三部分的順序進行章節(jié)編排的。其中，數理結合內容僅在“（進階）力學數學”部分對應的章節(jié)中出現。整體來看，其課程結構安排與知識內容和物理學教材相似，包括了質點物體的一維運動、平衡態(tài)力學、恒力作用下的直線運動學、剛體、變力作用和二維運動。在物理知識的講解上，（進階）力學數學教材的主要特點體現在三個方面。第一，（進階）力學數學教材偏重物理規(guī)律在實際問題中的應用，而非它們的建立過程。因此，諸如物理概念、定理、定律和公式等基本物理知識在教材中大多是開門見山地直接給出。以“動能”的定義式為例，A Level力學數學教材中是緊隨“動能”一詞的出現直接給出的；而A Level物理學教材則通過一個特例給出了它的具體推導過程。第二，（進階）力學數學教材中特別強調了關于抽象數學方法、概念的應用還需要考慮到實際物理問題對其的限定。例如，在純數學知識領域中，利用圖像法展示變量間的函數關系時，對函數圖像是否連續(xù)并無限制，但如果應用到物理學中的路程—時間圖像時，從路程的物理意義可知，其隨時間變化的函數圖像必須是連續(xù)的。第三，（進階）力學數學教材中專門設置了“模型假設”欄目來詳細闡述所學數學概念、方法在應用于實際物理問題時，需要進行假設。例如，教材的多個章節(jié)從不同運動形式和不同問題角度討論了建立“點粒子”模型時，物體的形狀、體積、形變等因素對其運動影響在何種條件下可忽略不計；持續(xù)不變的物理量和瞬時變化的物理量分別在何種條件下可被看作“不變”和“瞬時”等。這些從實際問題提煉數學模型的詳細分析過程，既培養(yǎng)了學生運用所學知識解決實際問題的能力，又引導學生從深度和廣度兩方面思考、拓展所學知識。

（二） 題目設置和特點的比較

我國人教版教材中設置了四類與題目相關的欄目，分別是章節(jié)中的“例題”、三級標題小節(jié)末尾的“練習”、二級標題小節(jié)末尾的“習題”和章末的“復習參考題”。在“習題”和“復習參考題”欄目中又各有三個子欄目：“復習鞏固”“綜合運用”和“拓廣探索”。分析得出，數理結合內容相關題目具有以下特點。

1.物理情境方面：以人教版高一數學必修第二冊中“6.4 平面向量的應用”一節(jié)為例，本節(jié)共出現了20道數理結合類的應用題目，題目數量較多，在本節(jié)的應用類題目中約占三分之一。其中，物理情境問題可歸納為5類，分別為均勻物體的重心、粒子之間的相對位移、拉力的合成、航行問題中速度的合成、角度測量相關的航向與航線?？梢?，相較題目數量來說，物理情境設計的重復率較高。

2.物理知識技能方面：題目考查的重點為數學知識本身，雖然是物理方面的應用問題，但關鍵的物理知識信息，如物體的受力情況、運動方程等，一般會在題目中作為已知條件，以坐標、函數等數學形式呈現。這類題目對物理問題的分析能力和物理知識技能的要求不高。

3.題目類型與難度方面：復習鞏固類題目一般與對應章節(jié)的“例題”相似，主要以鞏固基礎知識為主；綜合運用類題目多是在“例題”的基礎上進行小幅變化，旨在加強理解和拔高，比如在原例題基礎上進行其他條件下的求解，或將原例題中的已知條件與求解問題對調，或在原例題基礎上做進一步計算得到其他物理量等；拓廣探索類題目的開放性較強，求解方法多樣，答案并不唯一，旨在提高學生的多角度思考探索能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

英國A Level力學數學教材中設置的題目專欄也有四類，分別是章節(jié)中的“例題（Worked Example）”、節(jié)末“練習題（Exercise）”、章末“復習題（End-of-Chapter Review Exercise）”和涉及多個章節(jié)知識內容的“交叉話題復習題（Cross-Topic Review Exercise）”。除“例題”外，各欄目中的題目又分為無需計算器類、P（Proof，證明）類、M（Modelling，模型）類、PS（Problem Solving，解決問題）類、真題類以及P、M、PS的各種組合類和其他類。分析得出，這些題目具有以下特點。

1.物理情境方面：情境的創(chuàng)設與日常聯(lián)系緊密，生活化程度高，具有多樣性。比如，在第一章中關于“物體的運動”情境中就涉及多種生活場景、交通工具和體育運動項目等，并且大多數題目能夠達到一題一個情境。

2.物理知識技能方面：題目中一般會出現一段關于實際場景或實際問題的描述，篇幅相對較長，需要學生通過分析給出合理的假設，進而提煉出物理模型，列出相應的公式進行求解。這就要求學生要掌握一定量的物理知識，還要具備較強的問題分析能力。

3.題目類型與難度方面：無需計算器類題目中一般是簡單的代數運算；P類題目中多是關于物理公式的證明，或是關于物理量大小的證明；M類題目要求指出解題過程中必要的物理假定和近似，與教材中的“模型假設”欄目對應；PS類題目要求給出問題的解決方案；真題類題目為歷年考試真題，只在“復習題”和“交叉話題練習題”欄目中出現，這說明A Level課程不僅注重跨學科綜合，同時也注重學科內的綜合。此外，每種類型的題目中都有易有難，無法簡單地從題目類型來判斷題目難度。

三、 研究結論與教學建議

我國高中人教版數學教材中除前文提到的兩章內容外，其余所有章節(jié)都有“數理結合內容”，涉及的物理學內容較廣，但習慣利用較為典型且單一的物理情境去集中討論某一數學知識點，并且其中的物理信息描述偏重數學化，對物理方面的知識能力要求不高。英國A Level數學教材中的“數理結合內容”僅集中于與“力學數學”相關的章節(jié)，章節(jié)的安排和內容上類似物理學教材，題目中的物理情境設計豐富，但僅圍繞力學領域展開，題目風格偏重于解決物理問題，缺乏數學知識的體系性。因此，筆者根據兩國教材特點取長補短，提出以下幾點關于高中“數理結合內容”教學的參考建議。

1.數理結合內容的教學應在不影響學科主線結構的基礎上，從數學和物理學兩方面雙管齊下，不僅將物理學知識融于數學課程的各個章節(jié)，還應涉及物理學的各個領域，比如力學、熱學、電磁學、光學、近代物理等。由于數理結合內容具有跨學科的綜合性，教學上應兼顧兩門學科的知識體系與教學進度。教師可以以一門學科為主，設計關于另一門學科的教學專題。比如，以數學學科為主設計物理學教學專題“函數的物理應用”“三角函數的物理應用”“向量的物理應用”等；或以物理學科為主，設計數學教學專題“物體運動的圖像分析法”“物體受力分析的矢量運算”“幾何光學中的圓錐曲線問題”等。

2.數理結合內容中的物理情境設計應具有真實性和多樣性，來源于生活、應用于生活。題目中描述客觀事實時所涉及的近似和假設應結合實際，避免盲目追求數理結合而生搬硬套、脫離現實。

3.數理結合內容的教學難點在于抽象模型的構建和公式的物理意義，應注意避免在解題過程中過度數學化而忽略了物理意義。比如，數學上簡單的公式變形、化簡或變量代換，可能會帶來完全不同的、甚至是錯誤的物理解釋。因此，學科綜合教學應充分建立在所涉及學科的基礎知識之上，使學生知其然，也要知其所以然，能夠通過分析解決實際物理問題，進而提高學生的模型建構能力和數學、物理兩個學科核心素養(yǎng)，增強學生的創(chuàng)新意識。

4.數理結合內容的習題難度應循序漸進，既要有鞏固知識、樹立信心的基礎題，又要有綜合運用、激發(fā)興趣的拔高題。題目類型和難易程度應有明顯分類標注，便于學生進行自測。此外，我國人教版教材中“拓廣探索”欄目和A Level教材中“交叉話題練習題”欄目中的題目設計，能夠在數學和物理跨學科綜合訓練的同時兼顧學科內綜合訓練，應鼓勵學生積極面對這類習題，開拓思路，探索創(chuàng)新，達到真正的學科知識融會貫通。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中課程方案：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 高珊珊，段旭朝，王小風.基于數理結合思想提升學生的科學思維素養(yǎng)［J］.學園，2020（19）：16-17.

［4］? Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-15） ［2023-02-12］. https：//www.cambridge international.org/Images/597421-2023-2025-syllabus.pdf.

［5］? Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Further Mathematics 9231 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-25） ［2023-02-20］. https：//www.cambridge international.org/Images/597381-2023-2025-syllabus.pdf.

（責任編輯? ? 陳? ? 明）