張弛 孫瀟瀟

摘 要：以“總體分布估計(jì)”一課為教學(xué)案例，創(chuàng)設(shè)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)；依托GeoGebra平臺(tái)，通過構(gòu)建動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)模型，將探究問題可視化呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)及動(dòng)手能力，發(fā)展了學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：教學(xué)案例；GeoGebra；可視化；頻率分布直方圖

繪制頻率分布直方圖是用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的重要統(tǒng)計(jì)方法.頻率分布表與頻率分布直方圖都能反映出總體分布的狀況，前者較為精確，而后者則比較直觀，兩者能較好地相互補(bǔ)充.

1 教材解讀

本次選用的教學(xué)內(nèi)容來自于江蘇教育出版社出版的職業(yè)學(xué)校文化課教材《數(shù)學(xué)》第二冊第十章《概率統(tǒng)計(jì)》第6節(jié)《總體分布估計(jì)》.根據(jù)2020年教育部最新頒布的《中職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，本節(jié)內(nèi)容是中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊中“概率統(tǒng)計(jì)”部分的重要內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容在本章中具有承上啟下的重要作用.

2 傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)分析

教材選用例題為：一位植物學(xué)家想要研究某植物生長一年之后的高度，他隨機(jī)抽取了60棵此種植物，測得它們生長一年后的高度如下：（單位：cm）

教材中規(guī)范了制作頻率分布直方圖的實(shí)施程序，具體分為六步：

步驟一：確認(rèn)最大值與最小值，并計(jì)算極差；

步驟二：根據(jù)問題情境，確定合理的組距和組數(shù)；

步驟三：計(jì)算各分組頻數(shù)，以“分組”“頻數(shù)”列出“頻數(shù)分布表”；

步驟四：計(jì)算各分組頻率，并以“頻率”增列入“頻數(shù)分布表”，形成“頻率分布表”；

聚焦統(tǒng)計(jì)知識(shí)的講授、統(tǒng)計(jì)方法的示范是傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)流程的主線，但忽視了對學(xué)生主動(dòng)探索意識(shí)的挖掘和培育，具體分析原因有如下三個(gè)方面：

其一，統(tǒng)計(jì)模型的素材選用針對性不強(qiáng).筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)和問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對所選情境的興趣不高，主要由于生活經(jīng)驗(yàn)的不足或是與所學(xué)專業(yè)關(guān)聯(lián)度不高，同時(shí)學(xué)生對例題所研究問題缺少基本的認(rèn)知，造成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣不濃.

其二，直方圖的繪制原理缺乏必要解析.盡管傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)明確了繪制頻率直方圖的具體步驟及相關(guān)公式，也闡述了合理分組的重要性，但是對選擇頻率直方圖作為總體分布估計(jì)的合理性與必要性，特別是將“頻率組距”作為縱軸，傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)中并未給出必要的解釋.

其三，直方圖繪制的教學(xué)生成應(yīng)對不足.傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教者囿于信息化手段運(yùn)用的不足，教師既無法將根據(jù)多種分組方式制作的直方圖一一呈現(xiàn)，讓學(xué)生在直觀比較中感受合理分組的必要性，也不能借助實(shí)際情境引導(dǎo)學(xué)生理解將“頻率組距”作為縱軸的統(tǒng)計(jì)意義.故而課堂氛圍枯燥，學(xué)生疲于應(yīng)付，探索的趣味消失殆盡.

3 基于GeoGebra平臺(tái)的教學(xué)實(shí)施過程

筆者發(fā)現(xiàn)依托GeoGebra平臺(tái)優(yōu)化教學(xué)實(shí)施程序，可以聚焦教學(xué)目標(biāo)，將頻率直方圖中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)意義動(dòng)態(tài)直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生.這樣做突破了傳統(tǒng)教學(xué)手段的設(shè)計(jì)桎梏，將靜態(tài)的圖表變成了動(dòng)態(tài)的演示，課堂教學(xué)實(shí)效也得到切實(shí)提升.

3.1 挖掘生活素材，引入統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目

學(xué)生活動(dòng)：從我校2022級新生中收集9月份月度零花錢數(shù)目作為總體，并按照系統(tǒng)抽樣的方法，從總體中抽取一個(gè)容量為60的9月份零花錢數(shù)據(jù)樣本（數(shù)據(jù)見表2），思考如何根據(jù)表2中的樣本數(shù)據(jù)，了解我校新生群體月度零花錢數(shù)據(jù)的分布狀況.

學(xué)生實(shí)驗(yàn)：在GeoGebra主界面的指令輸入欄中，使用“列填充”指令將表2中的數(shù)據(jù)分作10列，依次錄入GeoGebra平臺(tái)表格區(qū).

操作指令：L1：FillColumn（1，{73，48，80，63，55，72}），其他各列L2、L3…L10以此類推.

3.2 遷移知識(shí)方法，創(chuàng)建動(dòng)態(tài)分組模型

探究問題1：根據(jù)表2數(shù)據(jù)，如何了解這60名學(xué)生月度零花錢數(shù)目的分布狀況？

學(xué)生實(shí)驗(yàn)：列出樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表.

學(xué)生操作步驟及指令：

3.2.1 創(chuàng)建分組變量n

點(diǎn)擊工具欄滑動(dòng)條按鈕，在繪圖區(qū)創(chuàng)建滑動(dòng)條.將參數(shù)變量命名為n，調(diào)整變量n的最小值為5，最大值為12，增量為1.

3.2.2 確定分組界限點(diǎn)

操作指令：L11：Classes（A1：J6，n）.

3.2.3 確定各分組頻數(shù)

操作指令：L12：Frequency（L11，A1：J6）.

3.2.4 確定各分組區(qū)間

操作指令：L13：Sequence（if（i＜n，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″），i，1，n）.

3.2.5 列頻數(shù)分布表

操作指令：L14：Append（″分組區(qū)間″，L13）. L15：Append（″頻數(shù)″，L12）.

L16：Append（L14，″合計(jì)″）.L17：Append（L15，Sum（L12））.TableText（L16，L17，″v_|c″）.

3.2.6 繪制頻數(shù)分布圖

操作指令：Histogram（L11，L12）.

學(xué)生拖動(dòng)滑動(dòng)按鈕，改變n的取值，觀察頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布圖中不同分組數(shù)情況下頻數(shù)的分布狀態(tài)，能直觀地了解新生月度零花錢的分布情況.

探究問題2：你能估計(jì)樣本中零花錢數(shù)目不少于85元的學(xué)生所占比例嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用頻數(shù)分布表無法直接解決問題，如果將頻數(shù)分布圖的縱軸由“頻數(shù)”轉(zhuǎn)化為各分組的“頻率”，則問題可以快速解決.

學(xué)生實(shí)驗(yàn)：列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表.

學(xué)生操作步驟及指令：

（1） 確定各分組頻率

操作指令：L18=L12/60.

（2） 列出頻率分布表

操作指令：L19：Append（″頻率″，L18）. L20：Append（L19，Sum（L18））.

TableText（L16，L17，L20，″v_|c″）.

（3） 繪制頻率分布圖

操作指令：Histogram（L11，L18）.

學(xué)生拖動(dòng)滑動(dòng)按鈕，考查代數(shù)區(qū)列出的頻率分布表，繪圖區(qū)顯示的頻率分布圖，不難回答探究問題：月度零花錢數(shù)目不少于85元的學(xué)生所占比例為8%+5%=13%.

3.3 反思實(shí)驗(yàn)成果，優(yōu)化數(shù)據(jù)分組方式

探究問題3：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=5時(shí)，“71”處于第3與第4分組的分組點(diǎn).如何優(yōu)化分組方式，確保每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都落在某一個(gè)分組區(qū)間之中.

學(xué)生實(shí)驗(yàn)：合理調(diào)整分組方式，確定分組點(diǎn).

學(xué)生操作步驟及指令：

3.3.1 計(jì)算極差

操作指令：c_1=Max（A1：J6）.c_2=Min（A1：J6）.c=c_1-c_2.

3.3.2 決定組距

操作指令：d=Div（c，n）+1. 當(dāng)n=10時(shí)，代數(shù)區(qū)返回“d=8”.

3.3.3 確定各分組點(diǎn)

操作指令：L21：Sequence（29-0.5+（i-1）d，i，1，n+1）.

3.3.4 確定各組頻數(shù)及頻率

操作指令：L22：Frequency（L21，A1：J6）. L23=L22/60.

3.3.5 確定分組區(qū)間

操作指令：L24：Sequence（if（i＜n，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″），i，1，n）.

3.3.6 列頻率分布表

操作指令：

L25：Append（“分組區(qū)間”，L24）.L26：Append（″頻數(shù)″，L22）.L27：Append（“頻率”，L23）.

L28：Append（L25，″合計(jì)″）.L29：Append（L26，Sum（L22））.L30：Append（L27，Sum（L23））.

TableText（L28，L29，L30，″v_|c″）.

3.3.7 制作頻率分布圖

操作指令：Histogram（L21，L23）.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=11時(shí)，頻率分布呈現(xiàn)中間高兩邊低的特點(diǎn)，分布形態(tài)最佳.當(dāng)n取其他值時(shí)，總體上也能呈現(xiàn)出上述特點(diǎn)，但會(huì)出現(xiàn)某一組無數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)在某幾組過于集中等影響統(tǒng)計(jì)分析的現(xiàn)象.因此，師生一致決定采用n=11作為最終分組數(shù)進(jìn)行繪制.

3.4 關(guān)注實(shí)際問題，促進(jìn)核心素養(yǎng)生成

探究問題4：若要了解零花錢數(shù)目不少于80元且不多于90元的學(xué)生所占比例，我們該如何調(diào)整頻率直方圖的縱軸？

學(xué)生實(shí)驗(yàn)：修改頻率分布圖的縱軸坐標(biāo)為“頻率/組距”.

學(xué)生操作步驟及指令：

3.4.1 確定各組相應(yīng)的“頻率/組距”

操作指令：L31=L23/（element（L21，2）-element（L21，1））.

3.4.2 列出頻率分布表

操作指令：L32：Append″頻率組距″，L31.TableText（L28，L29，L30，L32″v_|c″）.

3.4.3 繪制頻率分布直方圖

操作指令：Histogram（L21，L31）.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，任意區(qū)間的頻率均可以直接估計(jì).所以，問題4中零花錢數(shù)目不少于80元且不多于90元的學(xué)生所占比例可表示為：0.019×（84.5-80）+0.012×（90-84.5）=0.1515，即此部分學(xué)生所占比例為15.15%.

3.5 回歸實(shí)驗(yàn)任務(wù)，培育統(tǒng)計(jì)方法意識(shí)

探究問題5：總結(jié)頻率分布直方圖的作圖步驟，并對新生月度個(gè)人消費(fèi)提出合理建議.

步驟一：確定最大值與最小值，計(jì)算極差；

步驟二：計(jì)算組距、組數(shù)，確定分組點(diǎn)；

步驟三：計(jì)算各分組頻數(shù)、頻率及相應(yīng)的“頻率/組距”；

步驟四：以“頻率組距”為縱軸、“分組區(qū)間”為橫軸，繪制頻率分布直方圖.

基于GeoGebra平臺(tái)的教學(xué)設(shè)計(jì)，給學(xué)生搭建了一個(gè)自主探索、合作交流、大膽試錯(cuò)，貼近實(shí)際的情境和氛圍.^［5］學(xué)生在可視化與探索性的環(huán)境中，自主地、積極地學(xué)習(xí)探究.具體來說，

其一，改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，利用GeoGebra平臺(tái)指令制表及繪圖，節(jié)約了課堂教學(xué)中手工制表與繪圖時(shí)間，教師也可以深入指導(dǎo)組內(nèi)學(xué)習(xí)，交流討論及練習(xí)時(shí)間明顯增多，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間使用效率顯著提高.

其二，GeoGebra平臺(tái)中，基于分組數(shù)n的動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)模型具有可視化的特性，學(xué)生可以直觀考察教材之外的多種統(tǒng)計(jì)模型.這也成為知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化的重要素材，幫助學(xué)生理解合理分組的統(tǒng)計(jì)意義，了解統(tǒng)計(jì)性思維與絕對性思維的區(qū)別.

第三，基于GeoGebra平臺(tái)的教學(xué)設(shè)計(jì)沒有照搬教材的制圖步驟，而是靈活運(yùn)用不同的制圖指令，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“頻數(shù)”到“頻率”再到“頻率/組距”的探究過程，促進(jìn)了直觀感知到理性認(rèn)識(shí)的過渡，依次開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.