徐娟 任炯

摘要：2022年成都市中考數(shù)學壓軸題是一道有效考查數(shù)學核心素養(yǎng)的好題目，并通過“嘗試初探—深入探究—拓展延伸”的深度探究模式有效考查了學生的數(shù)學探究能力．從命題立意、解法探究、問題變式等角度對該題作了一番探究．

關鍵詞：中考數(shù)學壓軸題；依標據(jù)本；數(shù)學核心素養(yǎng)

2022年成都市中考數(shù)學試題以《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》［1］和現(xiàn)行教材為基本依據(jù)，全面、系統(tǒng)地考查了數(shù)學知識技能、思想方法和思維品質，重視不同考生思維層次水平的區(qū)分．特別是壓軸題，以矩形為基架構題，展示“圖隨點動”的過程中的變與不變，試題構圖簡潔，成題自然，問題設置由淺入深，由特殊到一般，循序漸進，層次分明，形式多樣，韻味十足．這道壓軸題通過“嘗試初探—深入探究—拓展延伸”的深度探究模式有效考查了學生的數(shù)學探究能力．

1試題呈現(xiàn)

如圖1，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．

【嘗試初探】（1） 在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關系，請說明理由．

【深入探究】（2） 若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．

【拓展延伸】（3） 連接BH，F(xiàn)H，當△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．

2命題立意分析

2.1以數(shù)學知識與技能立意

試題將矩形、直角三角形、相似三角形、勾股定理、等腰三角形、圖形運動變換等融為一體，涉及初中平面幾何的多個核心知識點．考查了學生計算、推理、遷移能力以及相關知識的綜合運用．

2.2以數(shù)學思想方法立意

試題全方位考查了初中數(shù)學思想方法．該題不僅考查了學生自主構圖的能力，還全面地考查了分類討論、數(shù)形結合、聯(lián)想類比、方程思想、由特殊到一般等數(shù)學思想方法的靈活運用．試題自然合理、嚴謹理性，有利于甄別學生的思維層次，具有選拔的功能．

2.3以數(shù)學樹人與育人立意

北師大版初中數(shù)學教材以“問題情境—建立模型—解釋、應用和拓展”的模式展開，教材的設置有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力．本題作為壓軸題以“嘗試初探—深入探究—拓展延伸”的臺階式模式完全符合教材的邏輯順序，這種低起點切入、層層遞進的呈現(xiàn)方式，符合學習情境，能提升學生解題的興趣與信心，增強學生知識運用的能力，實現(xiàn)數(shù)學樹人與育人目標．

3解法探究

本題第1問是一線三垂直模型，相對簡單，第2問以第1問為思維起點，相對比較容易，不做探究．下面主要研究第3問，此類探究型問題的解題策略主要考查學生“幾何直觀→幾何本質→幾何推理”三個能力維度．

3.1會自主構圖，獲幾何直觀

自主構圖是考查學生的初步抽象能力、幾何直觀和空間想象能力．由題意，不難判斷此問需要分類討論，分別以FH=FB，HF=HB展開討論，借助題目中給出的圖1，題干中“點E是AD邊上一動點”與“EG交直線CD于點H”說明H點可能在線段CD上，也可能在線段DC的延長線上．點E從A運動到D的過程中H點的變化是在DC線段上→DC延長線上→DC線段上．

3.2探運動規(guī)律，究幾何本質

在運動過程中始終有△ABE∽△DEH，△ABE∽△CBF， 抓住在運動的過程中不變的量，保持解題思維的一致性，由特殊到一般，最后迎刃而解．

3.3會綜合運算，善幾何推理

方法1：若HB=HF，如圖2，則H在BF的中垂線上，H為EG的中點，即EHBE=n2．

由第1問可知，△ABE∽△DEH，所以DEAB=EHBE=n2，即E為AD的中點，

故tan∠ABE=AEAB=n2．

若FH=FB，如圖3，Rt△HGF中，HFGF=n，

HGGF=n2－1，EHBE=EG－HGGF=n－n2－1，

DEAB=EHBE=n－n2－1，tan∠ABE=AEAB=AD－DEAB=n2－1．

綜上，tan∠ABE的值為n2或n2－1．

方法2：由法1可知H在BF的中垂線上．設AB=a，AE=x，則BF=nb．由△ABE∽△DEH可得，若HB=HF，DEAB=n2即an－xa=n2，解得x=an2．tan∠ABE=AEAB=n2；若FH=FB，由法1可知EHBE=n－n2－1，an－xa=n－n2－1，解得x=an2－1，故tan∠ABE=n2－1．

綜上，tan∠ABE的值為n2或n2－1．

方法3：若HB=HF，由∠ABE=∠CBF，所以△ABE∽△CBF，∠BCF=∠BAE=90°，所以D、C、F三點共線．由法1可知H在BF的中垂線上，

所以tan∠HFG=HGGF=n2．

因此，tan∠ABE=tan∠DEH=tan∠HFG=n2．

若FH=FB，如圖3，由上D，C，F(xiàn)三點共線．由FH=FB得∠FBH=∠FHB，由BF∥EG得∠FBH=∠EHB，所以∠CHB=∠EHB．又因為∠BEH=∠BCH=90°，所以BE=BC，即BEAB=n．故Rt△ABE中tan∠ABE=n2－1．

綜上，tan∠ABE的值為n2或n2－1．

方法4：如圖4，以B為原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，AB為單位長度建立平面直角坐標系．設C（n，0），D（n，1）， E（a，1）則BE所在直線的解析式為y=1ax，EG所在直線的解析式為y=－ax+a2+1，H（n，a2+1－an）．過F作FM⊥y軸，垂足為M，由△ABE∽△MFB得MBAE=MFAB=BFEB=n，于是有BM=an，MF=n，所以F坐標為（n，-an）．故FH=a2+1，HB=n2+（a2+1－an）2，F(xiàn)B=n2+a2n2．

若HB=HF，則n2+（a2+1－an）2=a2+1，化簡得n+a2n－2a－2a3=0，

解得a=n2．

故tan∠ABE=AEAB=n2．

若HB=HF，則n2+an2=a2+1．化簡得a4+（2－n2）a2+1－n=0，解得a=n2－1．

綜上，tan∠ABE的值為n2或n2－1．

由上述分析可見解法1、2不需證明D，H，F(xiàn)三點共線．解法3需要證明D，H，F(xiàn)三點共線，解法4雖然沒有用三點共線，但是由F點的坐標可以說明D，H，F(xiàn)三點共線．解法1、3充分挖掘幾何關系、計算量小，解法2、4更多是依托方程思想、函數(shù)思想．這4種解法充分說明了數(shù)學學科知識的整體性、關聯(lián)性．

4教學建議

4.1依標據(jù)本，夯實數(shù)學“四基”

課標和課本（教材）是數(shù)學教學的基本依據(jù)．《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“到了初中階段，主要側重學生對圖形概念的理解，以及對基于概念的圖形性質、關系、變化規(guī)律的理解．”從上述幾種解法可以看出，試題完全符合課程標準理念．因此在教學中，應當以課標為準，以教材為本．教材是宏觀、靜置、儲存式的知識狀態(tài)，教師在教學中應該將這樣的知識狀態(tài)通過加工轉化為微觀、流動、提取式的知識，能讓學生主動理解、吸收．章建躍先生關于數(shù)學教學的“三個理解”的內涵：特別強調“內容所反映的數(shù)學思想方法”的理解，決定了教學所能達到的水平和效果．所以在初中數(shù)學教學過程中，教師在充分理解知識的來龍去脈同時，必須有意識地堅持“數(shù)學思想的滲透”，引導學生在數(shù)學學習過程，體會知識點或某一個試題（問題）背后所隱含的數(shù)學思想方法，幫助學生夯實“四基”，實現(xiàn)數(shù)學課程價值．

4.2把握體系，提升數(shù)學“四能”

初中“圖形與幾何”部分著手培養(yǎng)學生的“直觀→抽象”能力，幾何部分考查學生數(shù)學論證的邏輯推理能力．在教學中教師應該建構完整的知識體系，分析每一課的教學內容在整個課程的地位以及前后聯(lián)系．適當類比歸納、巧用靈活變式引導學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題．以此題為例，原型是北師大教材八年級下綜合復習題20題．原題條件是：正方形ABCD中，E在線段AB上，F(xiàn)在線段AD延長線上，BE=DF，問是否存在兩個全等的三角形？其中一個三角形能夠通過旋轉另外一個三角形而得到嗎？如果在教學中，能將圖形的變化、全等、相似、平面直角坐標系、方程、三角函數(shù)等知識整合在一起，經(jīng)過如下2個靈活變式、類比教學，引導學生歸納提煉模型，有助于發(fā)展學生的幾何素養(yǎng)．

變式1：正方形ABCD中，E在線段AB上，將△BCE繞點C順時針旋轉90°（或作等腰直角△ECF），則A，D，F(xiàn)三點共線嗎？

變式2：長方形ABCD中，E在線段AB上，作CE⊥CF，且CECF=CBCD，則A，D，F(xiàn)三點共線嗎？

模型提煉：如圖6，OA=OB，C為AB上一點，OC=OD，且∠AOB=∠COD，則有如下結論：① △OAC≌△OBD，② 點D的運動軌跡為一條直線；③ O，C，B，D四點共圓．再將C推廣到在直線AB上運動，上述結論依然成立．如圖7、圖8，C為直線AB上一點，OAOB=OCOD，

∠AOB=∠COD，則有如下結論：① △OAC∽△OBD，② 點D的運動軌跡為一條直線；③ O，C，B，D四點共圓．

深挖教材：通過變換條件與結論有助于幫助學生抓住幾何本質，以教材和變式1作為低起點進行變式2，將全等三角形推廣為相似三角形的情況，一方面體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想方法，另一方面符合學生的認知規(guī)律．提煉基本圖形有助于學生理解圖形的內涵，形成解題的通法進行拓展應用．應用1是對模型的拓展運用，應用2是將C為線上的一點推廣為平面內一點，進行進一步的推廣．

應用1如圖9，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O．將△OBC繞點B逆時針旋轉得到△O′BC′，當O′，C′，D′三點共線時，O′A的長為．

應用2如圖10，已知等邊三角形ABC的邊長為5，點D為平面內一動點，且DA＝1，將點D繞點C按逆時針方向轉轉60°，得到點E，連接AE，則AE的最大值是．

全面把握知識體系，整合“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題的教學．在教學中，適當?shù)淖兪接柧毑粌H能激發(fā)學生的興趣，還能為學生的思維搭建臺階，幫助學生建構完整的知識體系．變式訓練是提升學生思維靈活性的重要手段之一，亦是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基本手段．這種采用低切入、緩坡度、成系統(tǒng)的教學策略能夠全面提升學生的數(shù)學“四能”．

4.3訓練思維，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

初中“圖形與幾何”的教學既是立德樹人的好素材，也是訓練幾何思維的好素材、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．數(shù)學思維訓練是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要策略，數(shù)學思維的訓練包括對數(shù)學語言、數(shù)學思維方法以及思維品質的訓練．“圖形與幾何”的學習可以通過通常所說的“看圖”“想圖”“構圖（即畫圖）”“探圖（即探究圖形性質）”“用圖（即應用圖形的性質）”等幾何思維方法來發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．關于“看圖”，起始階段通過信息技術的演示或者實物的操作，讓學生感受基本特征，知道基本性質，感悟圖形有規(guī)律變化產(chǎn)生的美．關于“想圖”“構圖”，要注重學生構圖能力的培養(yǎng)，探究用幾何知識表達物體簡單的運動規(guī)律，有助于培養(yǎng)學生幾何直觀．關于“探圖”，在圖形的性質教學方面，探究思路和方法應具有層次性，讓學生感悟幾何體系的基本框架，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界．關于“用圖”，通過提煉基本圖形、總結推廣模型形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念，有助于發(fā)展學生理解幾何知識的本質．學生在經(jīng)歷上述思維過程后，提升思維廣闊性、靈活性、深刻性、批判性、獨創(chuàng)性．從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 章建躍.章建躍數(shù)學教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017：6.

［3］ 徐娟.2020年成都市中考第27題閱卷分析及啟示［J］.中學數(shù)學，2021（4）：49-50.

［4］ 張彬政.學科核心素養(yǎng)理念下提升高中學生數(shù)學思維品質的教學策略［J］.數(shù)學教學通訊，2022（4）：38-39.

［5］ 趙思林.數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略［J］.數(shù)學通報，2019，58（5）：28-32.