張晨

摘要：本文以《冪函數(shù)》為例，探討提高課堂有效性的實踐與思考.在課前教學設(shè)計時，教師可以尋找數(shù)學知識、信息技術(shù)和學生思維方式三者之間的契合點，通過信息技術(shù)的應(yīng)用為學生創(chuàng)造一個良好的思考環(huán)境.在課堂教學展開時，要在重點處、關(guān)鍵處、疑難處進行提問，關(guān)注學生思維背后的東西.讓學生主動參與到教學過程中，實現(xiàn)教學效果的最大化.

關(guān)鍵詞：高效課堂；有效性；冪函數(shù)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中指出：“豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數(shù)學新課程追求的基本理念.提倡獨立思考、自主探索、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學習數(shù)學的興趣.”課程改革的核心問題就是課堂改革，教師教育思想的引導(dǎo)滲透、教學目標的圓滿達成、教學過程的科學展開，大多是在課堂教學這個特定的時空中實現(xiàn)的.因此引導(dǎo)學生高效學習，打造高效課堂模式，是每一個數(shù)學教師應(yīng)該深入探討的問題.現(xiàn)以一節(jié)公開課——蘇教版高中課本必修一《§6.1冪函數(shù)》為例，探究如何提升高中數(shù)學概念教學的有效性.

1問題情境

以生活情境為背景，可提出以下數(shù)學問題，如：

情境1：正方形的邊長為a，則正方形的面積是S=a2；

情境2：正方形的邊長為a，則正方形的體積是V=a3；

情境3：一個正方形場地的面積為S，則這個正方形的邊長a=S0.5；

情境4：張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，則她需要付費p=w元；

情境5：某人t秒內(nèi)騎車行進了1千米，那么他騎車的平均速度v=t-1km/s.

師：假設(shè)將以上數(shù)學模型中的自變量統(tǒng)一用x表示，函數(shù)值用y表示，則相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x2，y=x3，y＝x0.5，y＝x，y＝x-1.

設(shè)計意圖：此處的函數(shù)變形便于尋找解析式的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)在解析式上滿足的要求，給后面冪函數(shù)概念的析出做好鋪墊.在解析式的轉(zhuǎn)換過程中，學生共同回答，課堂氣氛濃烈.

問題1：你能發(fā)現(xiàn)以上函數(shù)解析式的共同點嗎？

生1：解析式右邊都是以自變量為底的指數(shù)式，且指數(shù)均為常數(shù).

生2：自變量前的系數(shù)都為1.

生3：無常數(shù)項.

師：我們將具有以上這些特征的函數(shù)歸為一類，因為它們都是冪的形式，所以叫冪函數(shù)，這也就是我們在高中階段要研究的第一類重要函數(shù).

2建構(gòu)教學

2.1冪函數(shù)的概念

師：到底什么是冪函數(shù)？你能給冪函數(shù)下定義嗎？

生4：形如y＝xa的函數(shù)稱為冪函數(shù).

設(shè)計意圖：由特殊到一般，是學生常用的歸納探索的方法，此時教師不必重復(fù).精簡概念教學中指向性明確的問題，這里只要把概念中的x是自變量和α是常數(shù)提一下即可.

辨析：判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).

（1）y＝x-2?（2）y＝x0.5?（3）y＝－x2

（4）y＝x3＋2?（5）y＝x4?（6）y＝3x

（此處判斷理由無需強調(diào)，只需學生直觀感知冪函數(shù)解析式需要滿足的形式即可.）

問題2：任何函數(shù)都是由三要素決定的，為什么冪函數(shù)的概念中只給對應(yīng)法則，而沒有給定義域？

師：冪函數(shù)的定義域并不固定，與解析式中指數(shù)α的取值有關(guān).而α取值的不同除了會影響冪函數(shù)的定義域之外，還會直接影響到冪函數(shù)奇偶性的不同.

設(shè)計意圖：讓學生直觀感受到冪函數(shù)定義域會隨指數(shù)α取值的不同而發(fā)生改變，理解在冪函數(shù)概念中沒有限制定義域的本質(zhì)原因.此處對于冪函數(shù)奇偶性的判別也為下面要研究函數(shù)的圖象性質(zhì)做鋪墊.

問題3：當你接下來準備對冪函數(shù)的概念進行深入認識時，你覺得應(yīng)該研究什么？

生（齊聲）：研究冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).

設(shè)計意圖：根據(jù)學習一般函數(shù)的經(jīng)驗，學生很容易想到接下來所要進行的任務(wù).這種也是研究一切函數(shù)的基本思路，類比學習歸納學習的思想方法得以體現(xiàn)，可引導(dǎo)學生遷移并掌握.

2.2冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

師：你曾經(jīng)是否見過冪函數(shù)？在初中是否研究過特殊的冪函數(shù)？

生5：研究過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù).

師：請同學們在同一坐標系中畫出這三個冪函數(shù)的圖象.

師：你能在同一坐標系內(nèi)再畫出函數(shù)y＝x3，y＝x0.5的圖象嗎？

（教師在黑板上板演描點作圖，如圖1，讓學生現(xiàn)場感受作圖的整個過程，隨后再展示出以上五個函數(shù)的精確圖象.讓學生一起經(jīng)歷從猜測到驗證的學習過程，對于學生今后的數(shù)學發(fā)展十分重要.）

師：若想通過圖象歸納冪函數(shù)的性質(zhì)，僅僅通過五個特殊情況顯然是不夠的.下面利用幾何畫板把α隨意變化，觀察冪函數(shù)y＝xα圖象的變化情況.請大家觀察當α隨意變化時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象變化規(guī)律.

設(shè)計意圖：如圖2，在幾何畫板中拖動點A使指數(shù)α的取值發(fā)生變化，學生自然會發(fā)現(xiàn)不同函數(shù)的圖象發(fā)生了變化，直觀又簡單的幫助學生體會函數(shù)學習，從抽象到具象.隨后使用“跟蹤圖象軌跡”功能，如圖3，使學生在比較變化時有足夠的參照物，在直觀感受冪函數(shù)圖象多樣性的同時，發(fā)現(xiàn)變化中的不變特征，從而歸納出冪函數(shù)的性質(zhì).此處歸納出的性質(zhì)應(yīng)在演示的同時由教師板書，呈現(xiàn)在黑板上，使圖象與性質(zhì)相對照，既突出本節(jié)課教學重點，也易突破本節(jié)課教學難點.

師：通過觀察大量的函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，任意冪函數(shù)都經(jīng)過一個特殊點（1，1）.其次，在單調(diào)性上也存在一定的規(guī)律：當α＞0時，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當α＜0時，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.

問題4：我們不難發(fā)現(xiàn)在整個變化過程中不論α取何值，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)始終有圖象，這是為什么？

生6：對于任意冪函數(shù)，當x＞0時總有y＞0，所以冪函數(shù)圖象一定過第一象限.

問題5：除了第一象限之外，在其它象限內(nèi)冪函數(shù)是否也有圖象？如果有，如何得到圖象？

生7：一定有.y＝x2在第二象限內(nèi)有圖象，y＝x和y＝x-1在第三象限內(nèi)有圖象.

生8：不一定有.像y＝x0.5就只在第一象限有圖象.

生9：到底是否有圖象，與冪函數(shù)的奇偶性有關(guān).如果冪函數(shù)是偶函數(shù)，則在一、二象限內(nèi)有圖象；如果冪函數(shù)是奇函數(shù)，則在一、三象限內(nèi)有圖象.

生10：如果冪函數(shù)非奇非偶，則只在第一象限內(nèi)有圖象.

設(shè)計意圖：此處一方面讓學生了解選擇研究第一象限圖象變化的原因，另一方面引導(dǎo)學生主動回憶起函數(shù)奇偶性的內(nèi)容，體會函數(shù)奇偶性的本質(zhì)作用.由此，根據(jù)函數(shù)奇偶性的不同，冪函數(shù)的圖象形狀共有以下2+3×3=11種可能性，如圖4.

師：至此，按照一般函數(shù)的研究思路，我們學習了冪函數(shù)這種新的函數(shù)模型，了解并掌握冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).而冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)需要討論的情形更多，需要引起足夠的重視.

3應(yīng)用新知

例1比較下列各組數(shù)中兩個值的大小.

（1）1.50.5和1.70.5；（2）0.71.5和0.61.5；

（3）0.21-3和0.23-3；（4）30.8和30.7；

（5）31.4和51.5；（6）20.5和1.80.6.

（在學生板演過程中，引導(dǎo)學生找出不夠規(guī)范的地方，并互相進行矯正改錯，以在潤物細無聲中培養(yǎng)學生的良好習慣，規(guī)范解題步驟.）

例2：已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（2，20.5），試求出這個函數(shù)的解析式.

（該道題目學生的思路十分清晰，解答也很完整，充分說明學生已經(jīng)認清此類問題的本質(zhì)，找到應(yīng)對此類問題的方法，并已經(jīng)將剛學習的冪函數(shù)融入到已有的認知結(jié)構(gòu)中去，達到本節(jié)課的教學目標.）

4教后反思

4.1信息技術(shù)是實現(xiàn)高效課堂的突破口

現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展，為教育創(chuàng)造了很多創(chuàng)新性的教學手段，也給教學創(chuàng)造了更多的可能性.

針對數(shù)學教學時出現(xiàn)的一些重點或難點，教師可以嘗試尋找數(shù)學知識、信息技術(shù)和學生思維方式三者之間的契合點，通過信息技術(shù)的應(yīng)用為學生創(chuàng)造一個良好的思考環(huán)境.例如，在本節(jié)課中，比較抽象的冪函數(shù)的圖象變化規(guī)律，經(jīng)過幾何畫板的演示（如圖2，圖3）變得生動、形象，使學生通過仔細觀察即可發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)圖象隨指數(shù)α變化而變化的規(guī)律特點.這樣的教學方式不但可以輕而易舉地化解教學重難點，讓學生更深刻的理解數(shù)學知識和方法，還拓展了學生的數(shù)學知識想象空間，培養(yǎng)了學生的數(shù)學想象素養(yǎng)，從而高中數(shù)學課堂教學的效果和質(zhì)量得到有效提升.

4.2問題設(shè)計是實現(xiàn)高效課堂的著力點

問題，是數(shù)學教學的靈魂.恰到好處的提問，不僅能調(diào)動學生學習的欲望，還能提升學生知識學習的內(nèi)驅(qū)力.教師在課前應(yīng)當充分預(yù)設(shè)每一個教學環(huán)節(jié)的引領(lǐng)性問題，并根據(jù)學生在課堂上的表現(xiàn)將問題不斷地進行調(diào)整、重組，靈活機動地組織教學.在數(shù)學課堂上到底應(yīng)該問什么？應(yīng)該怎么問？教師要在重點處、關(guān)鍵處、疑難處進行提問，切忌華而不實的提問，如“是不是”“有沒有”，聽起來熱鬧，實際上學生并沒有深入思考，達不到學習數(shù)學的真正目的.提出問題后，還應(yīng)注意適當留白，不要急于講解，要留給學生充分思考的時間，往往課堂的隨機生成更可以引出精彩之處.讓學生主動參與到教與學的互動過程中，讓學生變成課堂的主體，在這過程中實現(xiàn)知識和能力的雙豐收.

本文系福建省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度立項課題“信息技術(shù)背景下的‘智教'課堂模式研究”（Fjjgzx21-078）的研究成果.