田立剛 盧江紅

摘要：從啟蒙開始，在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂中融入“數(shù)學(xué)史”的種子，教師引導(dǎo)學(xué)生面對未知的真實(shí)世界，去觀察、去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提出數(shù)學(xué)問題，讓孩子重演古人的思考、重走知識探索之路、重建理性思考之路.一切從尊重學(xué)生的個(gè)體出發(fā)，扎根于學(xué)生個(gè)性化的自我成長，讓學(xué)生犯錯(cuò)、知錯(cuò)、改錯(cuò)，追求讓學(xué)生自主尋找、自主學(xué)習(xí)、自主質(zhì)疑、自主修正、自我成長.還原學(xué)習(xí)的本色，打破現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的死記多練，真正走出高分低能，將“雙減”落到課堂，將素質(zhì)教育落到實(shí)處.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；雙減；深度學(xué)習(xí)

德國數(shù)學(xué)家克萊因指出：“生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)基本定律指出，個(gè)體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短”，在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂中融入數(shù)學(xué)史，播下數(shù)學(xué)史的種子，以此為契機(jī)，為萌芽，引領(lǐng)孩子走進(jìn)歷史，放眼中外，聯(lián)系古今，不局限于課本，不局限于年齡的認(rèn)知層次，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容上的深度了解.同時(shí)以數(shù)學(xué)史為線，讓學(xué)生探索真實(shí)的生活數(shù)學(xué)情境，以深度問題引領(lǐng)深度探究，從而將一個(gè)個(gè)知識點(diǎn)連成線，串成網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)過程與結(jié)果的一體化，最終達(dá)到深度學(xué)習(xí).

1順“史”為基，探尋知識的整體性，以一致性引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

數(shù)是什么？從哪里來，到哪里去？《數(shù)學(xué)史概論》：“數(shù)的概念的形成可能與火的使用一樣古老，大約在30萬年以前”，“原始人在采集狩獵等生產(chǎn)活動(dòng)中首先注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數(shù)量上的差異.通過一只羊與許多羊、一頭狼與整群的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚、一棵樹……之間存在著某種共通的東西，即它們的單位性……這種為一定物群所共有的抽象性質(zhì)就是數(shù)”.“0”的誕生，“10”的創(chuàng)造，畢達(dá)哥拉斯的“形數(shù)”……在數(shù)學(xué)史的長河里不乏有趣的故事，瑰麗的傳奇，教師通過附加它們，對數(shù)學(xué)內(nèi)容再加工，可以豐富教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想的萌芽、發(fā)生和發(fā)展——從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從分?jǐn)?shù)到小數(shù)以及初中的有理數(shù)、無理數(shù)，通過“數(shù)學(xué)史”建立數(shù)的知識網(wǎng)，讓學(xué)生認(rèn)識計(jì)數(shù)單位以“1”為基礎(chǔ)的一致性的累加，體會數(shù)對現(xiàn)實(shí)數(shù)量的抽象，形成數(shù)感和符號意識.

例如，《萬以內(nèi)數(shù)》的教學(xué)：

小學(xué)生對數(shù)的認(rèn)知是從“1根”小棒數(shù)起，滿十進(jìn)一，進(jìn)成“1捆”小棒；繼而十個(gè)十是一百，進(jìn)成“1層”即100個(gè)方塊；十個(gè)一百是一千，再由“1層”小方塊累加成“1個(gè)立方”即1000個(gè)方塊……“1根”“1捆”“1層”“1個(gè)立方”……并以此為單位認(rèn)識幾個(gè)，幾十，幾百，幾千……“1根”“1捆”“1層”“1個(gè)立方”有著本質(zhì)的不同，又有著“1”上的相同.進(jìn)位的發(fā)明，是一次飛躍！進(jìn)位從哪里來？怎么想起？為什么滿十進(jìn)一？讓我們走進(jìn)歷史，走進(jìn)指頭數(shù)數(shù)，石子記數(shù)，結(jié)繩記數(shù)，《數(shù)學(xué)史概論》中說：“讓學(xué)生感受從這種原始的‘?dāng)?shù)覺'到抽象的‘?dāng)?shù)'的概念形成，是一個(gè)緩慢的漸進(jìn)的過程，并進(jìn)一步在對數(shù)的認(rèn)識變得越來越明確時(shí)，人們感到有必要以某種方式來表達(dá)事物的這一屬性，于是導(dǎo)致了記數(shù)……”繼續(xù)走進(jìn)印度數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)“10”的價(jià)值，了解阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生和衍變.數(shù)學(xué)史的發(fā)展，順應(yīng)小學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的特點(diǎn)，以“1”為基，逐一累加，認(rèn)識數(shù)的大小，認(rèn)識數(shù)位，建立位值概念，構(gòu)建學(xué)生對數(shù)的核心概念十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位、數(shù)位、位值為線的知識的主脈絡(luò).學(xué)生很自然地學(xué)會四位一級，按數(shù)位讀寫數(shù)，從不同數(shù)中找到數(shù)本質(zhì)的意義，體會數(shù)的一致性.通過“數(shù)的演變史”讓學(xué)生建立數(shù)是對數(shù)量的抽象和數(shù)對計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)的認(rèn)知，為數(shù)的加減乘除的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，讓數(shù)的認(rèn)識和數(shù)運(yùn)算的深入聯(lián)系成一個(gè)整體.讓學(xué)生建立起相關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生所學(xué)的知識從零碎、雜亂的信息，到有順序、有聯(lián)系、有脈絡(luò)的知識網(wǎng)，讓學(xué)生從這個(gè)知識網(wǎng)中隨時(shí)隨地調(diào)用有關(guān)信息，產(chǎn)生聯(lián)想，從而引發(fā)學(xué)生持之以恒地追問和不斷的深入思考，并不斷壯大完善這個(gè)知識網(wǎng).

2附“史”為輔，構(gòu)建教學(xué)的單元性，以深度問題引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

站在數(shù)學(xué)史的高度追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成果所經(jīng)歷的過程，充分感受數(shù)學(xué)家在這個(gè)過程中經(jīng)歷的艱難險(xiǎn)阻和火熱思考；感受他們數(shù)學(xué)思想的萌芽，發(fā)生發(fā)展，在歷經(jīng)猜想、論證、類比、歸納甚至失敗的真實(shí)的知識創(chuàng)造經(jīng)歷，雖然當(dāng)中的許多事實(shí)與細(xì)節(jié)都已流逝于歷史的長河，但通過附加數(shù)學(xué)史料，經(jīng)過教師的教育加工變?yōu)榻逃龜?shù)學(xué)，變?yōu)閷W(xué)生的數(shù)學(xué).這種經(jīng)過再生成的教育形態(tài)中也有著學(xué)生稚嫩的發(fā)現(xiàn)，粗淺的探索，需要進(jìn)一步驗(yàn)證的合情推理，這種初步的自主建構(gòu)也如數(shù)學(xué)家一樣充滿著火熱的思考.這才是引領(lǐng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，鉆研數(shù)學(xué)，才是實(shí)現(xiàn)史寧中教授提倡的讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的目光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)”.

例如，《分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》教學(xué)：

今天的孩子在測量長度時(shí)因?yàn)檎J(rèn)知的局限，達(dá)不到整數(shù)單位時(shí)產(chǎn)生了認(rèn)識分?jǐn)?shù)的需求.同樣的從數(shù)學(xué)史的角度看，古代人在生活中分東西時(shí)出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的情況于是漸漸產(chǎn)生了分?jǐn)?shù).“……隨著更先進(jìn)的青銅文化的崛起，分?jǐn)?shù)概念與分?jǐn)?shù)記號也應(yīng)運(yùn)而生.埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分?jǐn)?shù)……單位分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用成為埃及數(shù)學(xué)一個(gè)重要而有趣的特色.”

借鑒歷史，將相關(guān)的分?jǐn)?shù)知識串聯(lián).首先認(rèn)識分?jǐn)?shù)：順著創(chuàng)設(shè)生活情境——分1個(gè)東西，達(dá)不到一個(gè)整體，怎樣表達(dá)“新”數(shù)？為什么這樣表達(dá)？它有什么用？以問題為引領(lǐng)，走進(jìn)數(shù)學(xué)史，走近古印度數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)，走近古中國中的算籌分?jǐn)?shù).讓學(xué)生在問題中追尋，在追尋中發(fā)現(xiàn)從“1個(gè)”到“1個(gè)整體”到“1個(gè)單位”不斷完善的分?jǐn)?shù)意義.分?jǐn)?shù)產(chǎn)生了，怎樣用？怎么比較？怎么計(jì)算？繼續(xù)以問題探索：從萊茵德紙草書中看印度人對單位分?jǐn)?shù)情有獨(dú)鐘，古埃及人用加倍程序和單位分?jǐn)?shù)概念熟練的展開分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算……附史以引，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算原來仍然是由一個(gè)個(gè)分?jǐn)?shù)單位來進(jìn)行加減乘除.這種由分?jǐn)?shù)單位數(shù)建立起來的四則運(yùn)算歸根到底還是數(shù)數(shù).整數(shù)與分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系？可以互相轉(zhuǎn)化嗎？怎樣混合運(yùn)用？以深度問題引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)，生衍知識脈絡(luò)——“從1而數(shù)”.這些不同的單位“1”建立起了小學(xué)階段數(shù)的四則計(jì)算的根基.整數(shù)與分?jǐn)?shù)，整數(shù)與小數(shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)，通過單位，位值和四則運(yùn)算法則（加倍程序的演變）聯(lián)系到一起，形成一個(gè)“數(shù)”的知識樹.這種個(gè)性化的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)以一環(huán)套一環(huán)，一環(huán)更比一環(huán)深入的追問將零碎的知識變得有序，將雜亂的信息進(jìn)行聯(lián)系，形成單元脈絡(luò)，讓學(xué)生需要時(shí)隨時(shí)調(diào)用，達(dá)到學(xué)習(xí)過程與結(jié)果融通共生.

3化“史”重構(gòu)，生長主體意識，以思維上升引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

費(fèi)賴登塔爾曾描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表出來，一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，因此他說：教材是“教學(xué)法的顛倒”.因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須化“結(jié)果”為“過程”，追求一個(gè)為什么——是什么——怎么樣的過程.在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探索、經(jīng)歷曲折的“歷史”思維過程，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

例如，《三角形面積》的教學(xué)：

學(xué)生在幼兒園就已經(jīng)熟悉三角形，一年級下冊，圍，拼三角形，將多邊形分成三角形；四年級下冊認(rèn)識三角形的穩(wěn)定性，組成和分類；一直到五年級上冊《多邊形的面積》第三課時(shí)學(xué)會計(jì)算三角形的面積.

三角形是平面幾何中最基本、最重要的圖形之一，從五年級上冊《多邊形的面積》這一單元看，計(jì)算任何多邊形的面積都可以先把它們轉(zhuǎn)化成三角形之后再進(jìn)行.教師是否可以打破教材安排體系，先教學(xué)三角形的面積，在此基礎(chǔ)上將簡單的平行四邊形，梯形，各種組合圖形很自然的分成三角形進(jìn)行計(jì)算.如果我們化數(shù)學(xué)史上的求土地面積為今用，讓學(xué)生直接猜想三角形的面積和三角形的什么因素有關(guān)，邊？角？底？還是高？讓學(xué)生在釘子板上圍或用同樣長的小棒拼，根據(jù)其中的變化，觀察，猜想，三角形面積和誰有關(guān)？進(jìn)一步找到我們最容易測量的底和高的變化研究，讓學(xué)生自主剪拼三角形，通過轉(zhuǎn)化的策略；從長的一半平行截取和從底截一半平行截取讓三角形等積變形拼成長方形重演歷史的相似——著名數(shù)學(xué)家劉徽的“以盈補(bǔ)虛”.

三角形的面積公式有10多種，包含用底和高的關(guān)系求面積，用三邊的長求面積，還有根據(jù)三角函數(shù)、向量等求面積.從數(shù)學(xué)史的記載看：“埃及人是否知道任何三角形的面積均為底乘高的一半，這一點(diǎn)尚不能完全確定，因?yàn)樗麄兊娜切蚊娣e的算法總是涉及一數(shù)與另一數(shù)的一半相乘……”但海倫-秦九韶公式以古希臘數(shù)學(xué)家海倫和南宋數(shù)學(xué)家秦九韶命名，它以歷史的驚人相似，科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)和縝密，觸發(fā)學(xué)生深度研究的熱情，點(diǎn)燃學(xué)生的興趣，生發(fā)學(xué)生的主體意識.在這一再生成的教育形態(tài)過程中學(xué)生交流與互動(dòng)——從局部到整體，從紛繁到簡單，從多樣到一般.學(xué)生的問題很稚嫩的，發(fā)現(xiàn)很淺顯，研究的策略很簡單，探索的過程不嚴(yán)謹(jǐn)……但也如數(shù)學(xué)家一樣充滿著火熱的思考，思維不斷螺旋式上升，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果.

4“史”今結(jié)合，創(chuàng)生新我，以理性建模引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

與希臘數(shù)學(xué)相比，中國數(shù)學(xué)的發(fā)展史著重于算法的概括，不講究命題形式的推導(dǎo).《孫子算經(jīng)》下卷中著名的“物不知數(shù)”題，亦稱“孫子問題”.卷下第31題是后世“雞兔同籠”問題始祖，傳到日本變成“鶴龜算”，這也是六年級下冊《解決問題策略》中的練習(xí)題.讓學(xué)生繼續(xù)徜徉在《孫子算經(jīng)》《數(shù)書九章》的中國數(shù)學(xué)史世界，讓學(xué)生收集資料，用手抄報(bào)，小演講向同學(xué)介紹“孫子問題”，介紹“中國剩余定理”，介紹“鶴龜算”.教師還可以播放趙本山的小品，讓孩子看看今人與古人比智慧，用“抬腳法”算雞兔同籠，古今結(jié)合，激發(fā)孩子去挑戰(zhàn)，想象出方程甚至方程組的模式解決問題.借助數(shù)學(xué)史，還原數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生時(shí)被壓縮、被省略、被淡化的細(xì)節(jié)，還原數(shù)學(xué)厚實(shí)的歷史背景，讓學(xué)生感受文化的積淀，感受數(shù)學(xué)歷史的滾滾前進(jìn)洪流，像數(shù)學(xué)家那樣積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步揭示數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界或人類其他知識領(lǐng)域之間的密切聯(lián)系，欣賞數(shù)學(xué)之美，了解數(shù)學(xué)文化的多元性.以史為鑒而不停留于歷史，站在前人的肩膀，將學(xué)生的自我經(jīng)驗(yàn)和古人智慧相結(jié)合，漸漸融通，幫助學(xué)生更好的構(gòu)建自我，創(chuàng)生出一個(gè)新我！

借鑒數(shù)學(xué)史，引用數(shù)學(xué)史，演繹數(shù)學(xué)史，變數(shù)學(xué)史為現(xiàn)實(shí)情境，讓數(shù)學(xué)問題的情境在課堂上自然發(fā)生，讓學(xué)生在活動(dòng)中深入探尋，在深度探尋中體驗(yàn)，在古今不同方法的比較中，體會數(shù)學(xué)的繼承和創(chuàng)新，經(jīng)歷挫折，自我調(diào)適，學(xué)會合作，感受成功，建立自信，讓學(xué)生“雙減”的形勢下，減負(fù)不降質(zhì)，從而養(yǎng)成學(xué)生自覺而理性的精神與正確的價(jià)值觀.