葛善成 李明樹 王曉峰

摘? 要：項目式學(xué)習(xí)是通過合作探究解決真實情境中的復(fù)雜問題的一種學(xué)習(xí)方式. 文章從實踐的角度明確初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、價值、設(shè)計及實施策略，以“做數(shù)學(xué)”為基本實踐樣態(tài)，將“定寬曲線”的項目任務(wù)分解為問題驅(qū)動、持續(xù)探究、成果展示、評價引領(lǐng)四個部分，強調(diào)自我規(guī)范、展示交流、智慧分享、完善作品，注重學(xué)生的活動體驗和思維發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：項目式學(xué)習(xí)；定寬曲線；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

基金項目：2022年中國教育學(xué)會義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準研究（初中）專項課題——初中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識素養(yǎng)行為表現(xiàn)及其教學(xué)案例研究（22ZS101411ZB）．

作者簡介：葛善成（1990— ），男，一級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究；

李明樹（1977— ），男，高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究；

王曉峰（1970— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、命題和評價研究．

一、初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與價值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：“項目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實問題為主，其目標是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實問題的關(guān)鍵要素，用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)模型觀念，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.”項目式學(xué)習(xí)是一套系統(tǒng)的教學(xué)方法，它是對復(fù)雜、真實問題的探究過程，也是精心設(shè)計項目作品、規(guī)劃和實施項目任務(wù)的過程，學(xué)生在此過程中能夠掌握所需的知識和技能. 有國內(nèi)研究者將核心素養(yǎng)時代項目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵定義為一種建構(gòu)性的教與學(xué)的方式，即教師指導(dǎo)學(xué)生基于真實情境提出問題，利用相關(guān)知識和信息資料開展研究、設(shè)計和實踐操作，最終解決問題并展示和分享項目成果.

在實踐中，我們結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點，將初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)總結(jié)為基于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標，圍繞數(shù)學(xué)教育活動展開，學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)核心知識、技能、方法、思想，融合其他學(xué)科知識解決真實情境問題的實踐性學(xué)習(xí)活動，最終目標是深化學(xué)生的知識體系，發(fā)展學(xué)生的高階思維. 項目式學(xué)習(xí)將課堂教學(xué)和實踐活動有機結(jié)合，帶領(lǐng)學(xué)生深入體驗現(xiàn)實世界，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用，體現(xiàn)以問題為導(dǎo)向、以探究為核心、以共同發(fā)現(xiàn)為形式、以發(fā)展思考能力為目標的教育理念，有助于學(xué)生形成思考方法、判斷能力、批判性思維、創(chuàng)新意識和團隊協(xié)作能力.

二、初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的設(shè)計與實施策略

夏雪梅教授提出了項目式學(xué)習(xí)的設(shè)計框架，即“尋找核心知識—形成本質(zhì)問題—轉(zhuǎn)化為驅(qū)動性問題—澄清項目的高階認知策略—確認主要的學(xué)習(xí)實踐—明確學(xué)習(xí)成果及公開方式”，并設(shè)計覆蓋全程的評價標準. 結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，項目式學(xué)習(xí)的設(shè)計應(yīng)該指向核心素養(yǎng)，以解決現(xiàn)實問題為重點，通過數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識的有效整合，構(gòu)建包含本質(zhì)問題、驅(qū)動問題、核心知識、高階認知、學(xué)習(xí)實踐、項目成果、反思評價等內(nèi)容的學(xué)習(xí)體系. 我們在實踐中探索出以“做數(shù)學(xué)”為基本實踐樣態(tài)的項目式學(xué)習(xí)實施策略，如圖1所示.

“做數(shù)學(xué)”以知行合一為認識論基礎(chǔ)、以建構(gòu)知識為學(xué)習(xí)論基礎(chǔ)、以情境認知為教學(xué)論基礎(chǔ)，強調(diào)合作學(xué)習(xí)的方式，用情境支持知識理解. 從實施途徑來看，“做數(shù)學(xué)”的實踐模型包括操作體驗、數(shù)學(xué)實驗、綜合實踐三類；從目標指向來看，“做數(shù)學(xué)”的實踐模型包括驗證理解、探索發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用實踐三類. 其具體實施路徑為：問題驅(qū)動—持續(xù)探究—成果展示—評價引領(lǐng).

三、項目設(shè)計與實施

項目活動1：查閱資料，了解車輪的發(fā)展史.

學(xué)生活動：車輪作為人類的先進發(fā)明之一，是車輛前進的基本組成單元. 學(xué)生在課前查閱資料，了解車輪的起源和發(fā)展史，以及車輪在人類文明史上的重要意義，并在課堂上展示成果.

【反思與評價】學(xué)生主動了解車輪的演變歷程，從歷史發(fā)展的角度闡述“車輪是圓形的”這一事實，深刻認識車輪給人類社會發(fā)展帶來的進步. 通過為學(xué)生提供一個來源于生活的問題，促使學(xué)生思考司空見慣的現(xiàn)象背后的科學(xué)原理，產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)的意愿.

項目活動2：探究將車輪做成圓形的優(yōu)勢.

（1）操作體驗：感悟非圓形車輪滾動.

學(xué)生活動：學(xué)生通過實驗操作發(fā)現(xiàn)三角形或正方形車輪在滾動時不夠平穩(wěn)，說明將車輪做成圓形是由于其具有“定寬”的特征（必要性）.

教師進而提出問題：除了圓形以外，還有什么圖形具備“定寬”的特征？其是否可以替代圓形車輪？

學(xué)生嘗試探究將三角形、正方形、圓形做成車輪的圖形運動特征，成果展示如下.

第1組：我們組分別借助等邊三角形、正方形塑料片畫出了其頂點和中心在滾動過程中形成的軌跡；借助圓形塑料片畫出了圓上一點和圓心運動形成的軌跡.

第2組：我們組嘗試用GeoGebra或網(wǎng)絡(luò)畫板等軟件進行不同圖形滾動過程的動態(tài)演示，但在制作時發(fā)現(xiàn)圖形運動的背后蘊含了大量算理，沒有成功. 然后我們發(fā)現(xiàn)了一款趣味仿真實驗平臺——Algodoo軟件，它可以通過拖拽、傾斜等方式實現(xiàn)高精度的物理仿真實驗. 我們使用簡單的繪圖工具創(chuàng)建和編輯場景，完成了本次任務(wù)，如圖2所示.

第3組：我們組通過尺規(guī)作圖分別作出了圓形車輪滾動過程中圓上一點和圓心運動形成的軌跡，以及等邊三角形和正方形在滾動過程中頂點和中心運動形成的軌跡.

（2）數(shù)學(xué)實驗：為了保證車子平穩(wěn)前進，車輪是不是只能做成圓形？

學(xué)生活動：學(xué)生以小組為單位展開分工合作，制作萊洛三角形小車并進行演示實驗.

學(xué)生成果展示：圖3為萊洛三角形小車滾動前進演示實驗.

實物演示后，再借助Algodoo軟件直觀演示萊洛三角形滾動的畫面（如圖4），從中抽象出萊洛三角形.

（3）探索發(fā)現(xiàn)：觀察圖5，思考萊洛三角形是如何構(gòu)成的.

操作：你能借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出萊洛三角形嗎？

思考：萊洛三角形是如何維持車座平穩(wěn)的呢？

【反思與評價】首先，通過非圓形車輪滾動使學(xué)生獲得大量的感性認識，提高學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲；其次，利用萊洛三角形小車和Algodoo軟件，使學(xué)生通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程建構(gòu)萊洛三角形的概念. 在項目學(xué)習(xí)過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生動手操作與動腦思考緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑的意識和勇于探究的精神.

項目活動3：探究定寬曲線的性質(zhì).

學(xué)生活動：學(xué)生以小組為單位，先獨立思考，再與小組內(nèi)成員共同完成如下項目作業(yè).

探索發(fā)現(xiàn)：滾動萊洛三角形，在滾動過程中，萊洛三角形每時每刻都有一個最高點，其中心也在不停地移動位置，試畫出最高點和中心點的運動軌跡，并探究定寬曲線的性質(zhì).

學(xué)生活動：學(xué)生借助萊洛三角形塑料片動手操作，發(fā)現(xiàn)萊洛三角形在滾動過程中雖然中心點運動形成的軌跡上下波動，但是其最高點運動形成的軌跡卻是平穩(wěn)的，如圖6所示. 這說明萊洛三角形在任意方向上的寬度保持不變，從而引出定寬曲線的概念.

思考：除了萊洛三角形外，還有什么圖形符合定寬曲線的特征？

探索：設(shè)定寬曲線的寬度為d，試計算表1中各圖形的周長與面積.

學(xué)生成果展示如下.

（1）巴比爾定理：如果定寬曲線的寬度為d，則其周長為πd，與具體形狀無關(guān).

（2）布拉什科-勒貝格定理：在寬度相同的定寬曲線中，萊洛三角形面積最小.

（3）等周定理：在寬度相同的定寬曲線中，圓的面積最大.

【反思與評價】引導(dǎo)學(xué)生類比萊洛三角形的構(gòu)造方法，以正奇數(shù)多邊形的頂點為圓心、對角線為半徑構(gòu)造萊洛多邊形. 對于正偶數(shù)多邊形，學(xué)生嘗試用正方形構(gòu)造，構(gòu)造方法較多，教師引導(dǎo)學(xué)生計算其在不同方向上的寬度，歸納出結(jié)論，即正偶數(shù)多邊形不能構(gòu)造出萊洛多邊形. 學(xué)生經(jīng)歷操作實驗，理解了萊洛多邊形的構(gòu)成元素，便可以進一步探索寬度相同的定寬曲線的周長和面積特征，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.

項目活動4：萊洛三角形真的能做成車輪嗎？

萊洛三角形具備成為車輪的潛質(zhì)，但也有不可避免的缺陷，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生討論改進方案，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

綜合實踐：與圓形車輪相比，萊洛三角形車輪有什么優(yōu)點和缺點？

學(xué)生活動：學(xué)生通過小組合作的形式討論出萊洛三角形車輪和圓形車輪各自的優(yōu)缺點，發(fā)現(xiàn)相對于圓形車輪，萊洛三角形車輪的優(yōu)點是節(jié)省材料，缺點是對制作工藝和技術(shù)要求較高，有明顯的用力集中區(qū)域，易磨損，重心不穩(wěn).

思考：針對萊洛三角形車輪的以上缺點，你能否設(shè)計改進方案？

學(xué)生成果展示如下.

（1）重心不穩(wěn)問題的解決方案1：類比火車鐵軌，設(shè)計萊洛三角形專用車道，如圖7所示.

（2）重心不穩(wěn)問題的解決方案2：根據(jù)機械原理，加裝傳動裝置，如圖8所示.

（3）易磨損問題的解決方案：把圓繞著萊洛三角形滾動一周，得到“圓滑”的定寬曲線，如圖9所示.

【反思與評價】雖然萊洛三角形車輪因其自身固有的缺陷沒有在生活中得到廣泛應(yīng)用，但也不失為一個選擇. 在定寬的基礎(chǔ)上探究改進方案，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力. 從某種層面上來說，科學(xué)研究就是研究“無用之學(xué)”，正是由于研究“無用之學(xué)”，才不斷拓展了人類知識和認知的邊界.

項目活動5：定寬曲線的應(yīng)用價值.

美國NASA的技術(shù)人員為檢驗火箭截面是否為圓形提出了一套檢驗標準：每隔60°測量一次火箭在該方向截面內(nèi)兩點間距離的最大值，如果三次測得的結(jié)果相同，火箭的截面即為圓形.

問題：如圖10，這套檢驗方法真的科學(xué)有效嗎？

學(xué)生成果展示：學(xué)生提出該檢測方法并不科學(xué)，并給出如圖11所示的反例.

【反思與評價】定寬曲線因具有定寬的特性，在生活中有著獨特的應(yīng)用價值，如掃地機器人、幼兒專用鉛筆等. 萊洛三角形最為人所熟知的應(yīng)用是汽車發(fā)動機中的轉(zhuǎn)子引擎. 汽缸被萊洛三角形分成三個獨立的空間，進氣、壓縮、做功和排氣在三個空間內(nèi)依次完成，轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)動一周，發(fā)動機點火做功三次. 這和圓軸發(fā)動機每轉(zhuǎn)兩周才做功一次相比，效率提高了很多.

項目延伸：邁斯納四面體.

某公司專門為自動駕駛汽車量身打造了一款3D打印的球形輪胎，它可以提高自動駕駛汽車的靈活性和安全性.

綜合實踐：除了球形以外，還有什么幾何體可以作為車輪呢？

學(xué)生成果展示：圖12為學(xué)生查找的邁斯納四面體圖片.

思考：邁斯納四面體是如何構(gòu)成的？邁斯納四面體有哪些性質(zhì)？邁斯納四面體有哪些應(yīng)用價值？

【反思與評價】項目式學(xué)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中分析問題、發(fā)散思維，在解決問題的過程中進行對比思考和推理思考，體驗知識的外延世界，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)興趣. 在平面中存在定寬曲線，那么在空間中存在具有類似定寬性質(zhì)的幾何體嗎？引導(dǎo)學(xué)生將前期積累的項目活動經(jīng)驗遷移到空間中，探索邁斯納四面體的性質(zhì)和應(yīng)用價值，使學(xué)生處在“發(fā)現(xiàn)—探索—成功—再發(fā)現(xiàn)—再探索—再成功”的積極探究狀態(tài)中.

四、項目反思

1. 項目式學(xué)習(xí)的問題設(shè)計與項目評價匹配

項目式學(xué)習(xí)應(yīng)該基于真實情境下的問題解決進行推進. 所謂真實情境并非指現(xiàn)實生活中真實發(fā)生的事件，而是指能夠讓學(xué)生通過思考運用所學(xué)知識和能力真實解決問題的情境. 現(xiàn)實問題的給定條件和解決路徑通常不完善，需要教師調(diào)動學(xué)生思維中的元認知，設(shè)置基于生活經(jīng)驗的、真實的、有趣的，包含核心知識與概念且具有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動問題，創(chuàng)造條件讓學(xué)生不斷迸發(fā)思維火花，生成精彩觀點. 例如，本案例中圍繞“車輪為什么是圓形”設(shè)計驅(qū)動性問題，并把它拆解成有邏輯的序列子問題，包括將車輪做成圓形的優(yōu)勢，車輪是不是只能做成圓形等. 學(xué)生在探究過程中會產(chǎn)生對定寬曲線的深層次理解并實現(xiàn)知識遷移，體現(xiàn)驅(qū)動問題高階化的特征.

項目評價伴隨問題而設(shè)計，并涵蓋整個項目式學(xué)習(xí)過程，教師要確保項目評價與項目目標、項目活動、項目成果相一致. 評價的方式可以多元化，如量化評價、判斷性評價、選擇性評價等. 例如，以項目式學(xué)習(xí)評價量表為標準，在項目推進的過程中讓學(xué)生審視自己的學(xué)習(xí)行為，進行量化評價；根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，在分工協(xié)作、溝通交流、自我調(diào)整等方面進行判斷性評價；選出立足于對核心知識的理解，包含個人和集體智慧的項目成果，以展示與匯報、質(zhì)疑與答辯等形式進行選擇性評價.

2. 項目式學(xué)習(xí)的活動體驗與思維發(fā)展并重

以“做數(shù)學(xué)”為基本實踐樣態(tài)的項目式學(xué)習(xí)從具身體驗性出發(fā)，通過學(xué)生的感官突出并延長活動體驗. 在項目實踐過程中，學(xué)生可以在教師的有效支持下，以“做中學(xué)、學(xué)中樂”的方式開展項目探究，保持好奇心和求知欲. 學(xué)生在利用已有的知識儲備完成力所能及的作品、解決適切的問題、呈現(xiàn)團隊成果時，便會產(chǎn)生成就感. 在項目推進過程中，學(xué)生與同伴開展有效且深入的討論與交流，便會找到價值感. 良好的活動體驗有利于驅(qū)動學(xué)生持續(xù)性學(xué)習(xí)，但教師在項目活動中不僅要關(guān)注學(xué)生是否獲得了好的體驗，更要關(guān)注學(xué)生的思維能力是否得到了應(yīng)有的發(fā)展. 學(xué)生是否對驅(qū)動問題產(chǎn)生了真實的探究興趣，在持續(xù)探究的過程中是否調(diào)動了多種高階認知策略，在形成項目成果時是否實現(xiàn)了對核心知識的深度理解等，這些隱性而深層的思維活動也是項目式學(xué)習(xí)的價值所在.

參考文獻：

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