李建英 易良斌

編者按：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián). 但從教師的理性自省和實(shí)踐自覺上看，能把握好從單元到課時(shí)的關(guān)系，并真正將單元整體教學(xué)有效落在實(shí)處，仍然不盡如人意. 由本刊推出的“單元整體視角下的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容研究”專題征稿活動，意在倡導(dǎo)廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師提高教學(xué)立意，聚焦數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，增強(qiáng)教師從單元到課時(shí)的設(shè)計(jì)意識，落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體觀、聯(lián)系觀，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

為了推動單元整體教學(xué)研究，本期集中刊出3篇“單元整體視角下的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容研究”專題文章. 希望這些案例能對廣大讀者有所啟發(fā)，引發(fā)對有關(guān)內(nèi)容更廣泛而深刻的討論，產(chǎn)生更多的研究成果.

歡迎廣大讀者就單元整體教學(xué)的研究踴躍投稿，本刊將擇優(yōu)繼續(xù)刊登.

摘? 要：在深度教學(xué)理念的引領(lǐng)下，教學(xué)越來越注重?cái)?shù)學(xué)知識的整體性，以及教學(xué)對象研究過程的整體性. 基于整體理解的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠有效把握教材和學(xué)生，逆向教學(xué)設(shè)計(jì)以生為本，以目標(biāo)為綱，以評價(jià)為索. 以“因式分解”單元起始課的教學(xué)為例，闡述單元整體視角下的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)有助于學(xué)生建立知識與知識之間的聯(lián)系，直至產(chǎn)生知識結(jié)構(gòu)，在課堂中逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：單元整體；逆向教學(xué)設(shè)計(jì)；核心素養(yǎng)

作者簡介：李建英（1985— ），女，一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

易良斌（1963— ），男，高級教師，浙江省特級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究.

有厚度的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中做到眼中有“木”，腦中有“林”，心中有“森”. 教師有意識地從單元整體視角設(shè)計(jì)教學(xué)，不僅有利于學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生感受知識建構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)系. 教師要改變傳統(tǒng)的淺理解、輕目標(biāo)、缺評估的教學(xué)模式，創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)流程，即優(yōu)先關(guān)注學(xué)生的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果，制訂教學(xué)目標(biāo)，以評價(jià)任務(wù)為導(dǎo)向，以目標(biāo)賦能設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動，最后檢驗(yàn)教學(xué)成效. 教學(xué)的主體也從“以教師為主體”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詫W(xué)生為主體”. 如何將單元整體教學(xué)與逆向教學(xué)設(shè)計(jì)完美融合，發(fā)揮“1 + 1 > 2”的功效？本文以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第4章“因式分解”單元起始課為例進(jìn)行闡述.

一、基于單元整體的目標(biāo)設(shè)定

教學(xué)目標(biāo)是一節(jié)課的總綱領(lǐng)，基于單元整體的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要著眼于本課時(shí)的短期目標(biāo)，更要與大單元的目標(biāo)深度結(jié)合. 本單元延續(xù)第3章學(xué)習(xí)的整式的乘除運(yùn)算的內(nèi)容，基于整式運(yùn)算的完備性討論的需要引入因式分解，讓學(xué)生體會在進(jìn)行多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式時(shí)，需要將多項(xiàng)式變形為乘積的形式才能夠解決問題，從而引出學(xué)習(xí)因式分解的必要性. 因式分解的基本方法是依據(jù)整式乘法法則和乘法公式. 其中，提取公因式是解決高次多項(xiàng)式的通法，而公式法則讓學(xué)生關(guān)注特殊情況. 本單元研究因式分解的路徑是“概念—方法—應(yīng)用”. 學(xué)生在這一章的學(xué)習(xí)中會反復(fù)經(jīng)歷整式乘法到因式分解的逆向變形，以培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的習(xí)慣. 在第1課時(shí)的教學(xué)中類比分解質(zhì)因數(shù)的概念導(dǎo)入新課，體現(xiàn)類比思想. 在方法的獲得上，學(xué)生通過觀察大量實(shí)例，能夠?qū)Χ囗?xiàng)式的結(jié)構(gòu)自主進(jìn)行歸納分析，形成文字語言和符號語言，提升觀察歸納的能力；利用因式分解進(jìn)行簡便運(yùn)算和代數(shù)式求值，需要學(xué)生運(yùn)用合理、簡潔的方法求解，能夠提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

基于以上對教材內(nèi)容的邏輯關(guān)系、知識上下位關(guān)系，以及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展需要的分析，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）能類比因數(shù)分解到因式分解，了解因式分解的概念.

（2）經(jīng)歷整式乘法到因式分解的逆向變形，了解因式分解與整式乘法互逆的關(guān)系.

（3）通過自主舉例、分類歸納，歸納因式分解的常用方法，體現(xiàn)歸納思想.

（4）構(gòu)建單元整體知識結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)知識之間的整體聯(lián)系，體會“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”的新知學(xué)習(xí)路徑.

（5）培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣，感受類比思想、歸納思想在代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要地位，發(fā)展學(xué)生觀察分析與交流表達(dá)的能力.

二、基于單元整體確定學(xué)生能達(dá)成預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果的評估內(nèi)容及標(biāo)準(zhǔn)

確定學(xué)習(xí)目標(biāo)后，教師要思考根據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來衡量、評價(jià)學(xué)生的任務(wù)完成情況，以及通過怎樣的評價(jià)活動與任務(wù)來檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成情況，即評價(jià)證據(jù).

1. 確定衡量標(biāo)準(zhǔn)

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能感受因式分解的必要性，能類比因數(shù)分解得到因式分解的概念，會根據(jù)因式分解的概念辨別等式變形是否屬于因式分解.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能將整式乘法變形為因式分解，會利用整式的乘法檢驗(yàn)因式分解的正確性.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（3）的標(biāo)志：了解公因式的概念，會確定多項(xiàng)式的公因式；掌握提取公因式法，體會整體思想在本節(jié)內(nèi)容中的應(yīng)用；快速辨別能否利用平方差公式、完全平方公式分解多項(xiàng)式，知道公式中的[a，b]既可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式；掌握分解因式的一般步驟.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（4）的標(biāo)志：能自主梳理知識體系，構(gòu)建思維導(dǎo)圖.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（5）的標(biāo)志：在后期的學(xué)習(xí)中自覺運(yùn)用類比思想、歸納思想.

2. 確定評價(jià)證據(jù)

診斷性評價(jià)：教師利用前測喚醒學(xué)生的舊知，以問題串搭建整體知識框架，引出新知；教師通過學(xué)生在自評、口答等方面的表現(xiàn)對學(xué)生的解釋能力作出評價(jià)，指向教學(xué)目標(biāo)（1）.

形成性評價(jià)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比分解質(zhì)因數(shù)，探究并歸納因式分解，通過自主探究、小組合作等學(xué)生活動發(fā)現(xiàn)因式分解的實(shí)質(zhì)并進(jìn)行方法探究，教師對學(xué)生在這些活動中的洞察、闡明、應(yīng)用等能力作出適當(dāng)評價(jià)，指向教學(xué)目標(biāo)（2）（3）.

總結(jié)性評價(jià)：教師對學(xué)生的知識遷移、應(yīng)用能力，以及積極解決問題的能力作出評價(jià). 學(xué)生通過如圖1所示的學(xué)后反思完成自評，教師根據(jù)學(xué)生在自評中表現(xiàn)出的自我認(rèn)知、自我觀察、自我反思作出評價(jià)，指向教學(xué)目標(biāo)（4）.

三、基于單元整體的目標(biāo)達(dá)成及教學(xué)實(shí)施

逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的第三階段是依據(jù)既定目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，開展教學(xué)活動，整體的教學(xué)活動安排都是為了完成第二階段的評價(jià)任務(wù)而進(jìn)行的. 也就是說，一節(jié)課結(jié)束后，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下完成評價(jià)任務(wù)并掌握相應(yīng)的知識和技能.

1. 探究觸發(fā)，知識本源

環(huán)節(jié)1：獲得概念.

通過前測鞏固整式的乘除法運(yùn)算.

（1）[a2b ? -3ab3]；

（2）[2xx-3y]；

（3）[x-1x+2]；

（4）[x-1x+1]；

（5）[y+22]；

（6）[3abc2÷-abc]；

（7）[3xy-6x2y2÷3x]；

（8）[5yy+22y-2÷yy+2].

問題1：我們學(xué)習(xí)的整式乘法有哪些類型？整式的除法呢？

追問1：我們還可能遇到哪種類型的運(yùn)算？

追問2：你能計(jì)算[x-yx+y÷x+y]嗎？[x2-y2÷][x+y]呢？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知出發(fā)解決具體問題，讓學(xué)生體會在進(jìn)行多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的運(yùn)算時(shí)需要將多項(xiàng)式變形為乘積的形式才能夠解決問題，引出因式分解的必要性. 指向教學(xué)目標(biāo)（1）的評估.

2. 概括提升，探求本質(zhì)

環(huán)節(jié)2：明確概念.

問題2：運(yùn)算中，有時(shí)要將一個(gè)多項(xiàng)式變形成幾個(gè)整式乘積的形式，類比小學(xué)階段學(xué)習(xí)的因數(shù)分解，這樣的多項(xiàng)式變形可以叫做什么呢？

追問1：類比分解質(zhì)因數(shù)的定義，嘗試用文字語言說一說什么是因式分解.

追問2：我們知道，在小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)中，整數(shù)的乘法和因數(shù)分解是互逆的運(yùn)算，那整式的乘法與因式分解有什么關(guān)系呢？

練習(xí)1：判斷下列代數(shù)式變形中哪些是因式分解.

（1）[2m2-2mn=2mm-n]；

（2）[2mm-n=2m2-2mn]；

（3）[4x2-4x+1=2x-12]；

（4）[4x2-4x+1=4xx-1+1]；

（5）[2x2-1=2x+12x-1]；

（6）[x3-5x2+6x=xx-2x-3].

追問1：練習(xí)1中，哪些是因式分解？你判斷的依據(jù)是什么？

追問2：注意第（1）（2）題的關(guān)系，說明因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？

追問3：第（4）小題雖然變形正確，但不是因式分解，說明因式分解的結(jié)構(gòu)特征是什么？其本質(zhì)是什么？

追問4：第（5）小題雖然結(jié)構(gòu)是符合的，但仍然不是因式分解，說明我們在因式分解的過程中還應(yīng)該關(guān)注什么？

追問5：第（1）（3）（6）小題的因式分解正確嗎？你是如何判斷的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比小學(xué)階段學(xué)習(xí)的因數(shù)分解的概念，獲得因式分解的概念. 通過有意識的板書（略）類比引導(dǎo)學(xué)生觀察得到整式乘法與因式分解是互逆變形的關(guān)系，形成由數(shù)到式的自然過渡，讓學(xué)生的認(rèn)知遵循從特殊到一般、從具體到抽象的規(guī)律. 通過練習(xí)1中的6道小題鞏固因式分解的定義，分別從范例、正例、反例、錯(cuò)例等方面幫助學(xué)生理解因式分解的概念. 通過教師的及時(shí)追問，講練結(jié)合，學(xué)生總結(jié)因式分解的本質(zhì)是和差化積的過程，不僅要關(guān)注等式的結(jié)構(gòu)，還要關(guān)注結(jié)果. 指向教學(xué)目標(biāo)（2）的評估.

環(huán)節(jié)3：方法探索.

問題3：根據(jù)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，試在紙上寫出一個(gè)多項(xiàng)式，并進(jìn)行因式分解.

教師引導(dǎo)學(xué)生收集組內(nèi)寫出的等式，組內(nèi)交流，判斷同學(xué)寫的等式是否符合要求. 小組討論結(jié)束后，派代表上臺展示思維過程.

追問1：你是如何想到這個(gè)例子的？

追問2：根據(jù)這個(gè)多項(xiàng)式變形的不同由來，你認(rèn)為可以對以上的因式分解進(jìn)行怎樣的分類？分類的依據(jù)是什么？

追問3：猜想因式分解的方法有哪些？

練習(xí)2：將下列多項(xiàng)式因式分解.

（1）[x2-3x]；（2）[y2-9]；（3）[m2-6m+9].

【設(shè)計(jì)意圖】通過舉例、組內(nèi)互評、小組匯報(bào)體現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，利用課堂生成讓學(xué)生充分感受整式乘法與因式分解是互逆運(yùn)算，利用追問讓學(xué)生的思維可視化. 通過對因式分解方法類型的歸納，培養(yǎng)學(xué)生自主舉例、分類歸納的能力. 利用練習(xí)2讓學(xué)生初步感受因式分解的兩類方法——提取公因式和公式法. 指向教學(xué)目標(biāo)（3）的評估.

3. 強(qiáng)化應(yīng)用，優(yōu)化體系

環(huán)節(jié)4：新知應(yīng)用.

問題4：嘗試用因式分解的方法解下列題目.

環(huán)節(jié)5：拓展提升.

練習(xí)3：已知二次三項(xiàng)式[2x2+3x-k]分解因式的結(jié)果中有因式[x+3]，求另一個(gè)因式和[k]的值.

【設(shè)計(jì)意圖】環(huán)節(jié)4中的三道應(yīng)用題分別指向簡便運(yùn)算、解高次方程和用整體思想求代數(shù)式的值，讓學(xué)生體會因式分解有利于解決某些新的數(shù)學(xué)問題，體會學(xué)習(xí)因式分解的必要性和重要性. 環(huán)節(jié)5旨在提升優(yōu)等生的能力，既鞏固了因式分解的定義，也培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力. 指向教學(xué)目標(biāo)（5）的評估.

4. 整體助推，清晰結(jié)構(gòu)

環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié).

學(xué)生獨(dú)立完成如圖1所示的學(xué)后反思.

【設(shè)計(jì)意圖】師生共同回憶新知學(xué)習(xí)的路徑，即“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”，體會研究新問題的一般路徑，同時(shí)也基于單元整體視角構(gòu)建了邏輯連貫的知識框架（如圖2），促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化. 指向教學(xué)目標(biāo)（4）的評估.

四、思考與感悟

1. 以建立良好的知識結(jié)構(gòu)為根本

實(shí)施單元整體教學(xué)，需要教師根據(jù)教材內(nèi)容靈活處理好知識橫向擴(kuò)面與縱向拓展間的關(guān)系. 橫向擴(kuò)面是為了從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上整體把握教學(xué)內(nèi)容；縱向拓展是為了從知識節(jié)點(diǎn)上達(dá)到一以貫之的效果. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要基于聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.“聯(lián)系”反映的是數(shù)學(xué)知識的整體性，“提出問題”是指要找準(zhǔn)學(xué)生的生長點(diǎn). 本節(jié)課中，教師通過前測、類比、辨析、運(yùn)用、小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生把握各知識間本質(zhì)的、內(nèi)在的邏輯體系，以及數(shù)學(xué)對象研究過程的整體性. 學(xué)生的認(rèn)知從前一章學(xué)習(xí)的整式的乘除出發(fā)，類比小學(xué)階段分解質(zhì)因數(shù)的學(xué)習(xí)，主動探索，直觀感受新、舊知識之間的聯(lián)系. 顯然，這樣的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生建立系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

2. 以達(dá)成核心目標(biāo)為關(guān)鍵

對教師而言，逆向的教學(xué)模式要求教師提前做好整個(gè)單元的規(guī)劃，完成學(xué)生將面對的所有評價(jià)任務(wù)，并對學(xué)生的作業(yè)布置有一定的增減規(guī)劃. 因此，教師可以根據(jù)核心目標(biāo)，在各環(huán)節(jié)確立生生互評、師生評價(jià)、學(xué)生自評等多元的評價(jià)方式，組織有效的課堂活動，清晰地把握學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)及教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn). 對學(xué)生而言，逆向的教學(xué)模式要先明確和理解自身需要達(dá)成的目標(biāo)，進(jìn)而有針對性地掌握和理解學(xué)習(xí)內(nèi)容. 本節(jié)課中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下不斷體驗(yàn)完成各項(xiàng)評價(jià)任務(wù)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了生生之間的合作交流與互動，不僅有助于學(xué)生更輕松地解決課后的其他評價(jià)任務(wù)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上的自信與動力.

參考文獻(xiàn)：

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