曾廣尚

摘要：彈性力學(xué)是土木工程專業(yè)一門非常重要的課程，也是固體力學(xué)的一個重要分支。根據(jù)彈性力學(xué)的課程特點，文章從彈性力學(xué)與Schwartz交替法相結(jié)合處理多連通域孔洞問題以及類似案例解析等方面，探討教學(xué)方法，并在理論公式推導(dǎo)和應(yīng)用分析過程中，深入挖掘相關(guān)知識點蘊含的課程思政元素，以期優(yōu)化彈性力學(xué)基礎(chǔ)課與課程思政的協(xié)同育人效果。

關(guān)鍵詞：土木工程專業(yè)；彈性力學(xué)；Schwartz交替法；課程思政

彈性力學(xué)是力學(xué)、土木、機械、材料等理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它研究彈性物體在外力和其他外界因素作用下產(chǎn)生的變形與內(nèi)力，也稱為彈性理論，是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)。彈性力學(xué)課程的理論性強、概念抽象、公式復(fù)雜，且與數(shù)學(xué)理論聯(lián)系密切，是學(xué)生比較頭疼的課程。彈性力學(xué)課程中關(guān)于多連通域孔洞問題的理論在工程中應(yīng)用非常廣泛，但在教學(xué)中比較難講透，是一個教學(xué)難點。因此，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會感到難以理解，在面對類似的力學(xué)問題時無從下手。筆者已經(jīng)從事多年彈性力學(xué)研究，主要從幾個方面探討彈性力學(xué)結(jié)合Schwartz交替法求解多連通域力學(xué)問題的教學(xué)方法，并根據(jù)課程的特點，探索相關(guān)知識點的課程思政融合。

一、多連通域孔洞問題的處理方法——Schwartz交替法

如圖1所示，為了加深學(xué)生對Schwartz交替法的理解，在教學(xué)中，教師可以將理論公式與更加直觀的模型圖相結(jié)合。

如圖1（a）所示，考慮一個無窮大的平面，里面包含兩個孔洞，即孔洞1和孔洞2，在無窮遠(yuǎn)處有作用力的力學(xué)模型。由于這個力學(xué)模型存在兩個孔洞邊界，所以在數(shù)學(xué)上是一個雙連通域問題。對雙連通域問題，采用直接的求解方法來處理一般非常困難，甚至有些多連通域問題無法直接求解。為了使該復(fù)雜的力學(xué)問題變得更簡單，教師可以通過Schwartz交替法，把雙連通域問題拆分為兩個單連通域的問題分別處理，這兩個單連通域問題是分別考慮這兩個孔洞。具體的求解步驟如下。

第一步，只考慮孔洞1，如圖1（b）所示，是一個單孔問題。由于該力學(xué)模型只存在孔洞1一個邊界，所以這是一個單連通域問題。對單孔問題，教師可以利用彈性力學(xué)的方法求解出理論解答，接著根據(jù)理論解答可以求解出孔洞2虛擬邊界上的多余面力1。

第二步，只考慮孔洞2，將多余面力1反作用于孔洞2邊界上。如圖1（c）所示，該力學(xué)模型與圖1（b）的力學(xué)模型類似，也是一個單孔問題。由于該力學(xué)模型只存在孔洞2一個邊界，所以是一個單連通域問題。教師可以再利用彈性力學(xué)的方法求解出理論解答，接著根據(jù)理論解答求解出孔洞1虛擬邊界上的多余面力2。

第三步，只考慮孔洞1，將多余面力2反作用于孔洞1邊界上。如圖1（d）所示，該力學(xué)模型與圖1（b）的力學(xué)模型一樣，只是孔洞1邊界上的作用力與圖1（b）的不一樣，可以繼續(xù)利用彈性力學(xué)的方法求解出理論解答，接著根據(jù)理論解答求解出孔洞2虛擬邊界上的多余面力3。按照該方法一直交替迭代下去，兩個孔洞邊界上的多余面力會隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸減小。當(dāng)兩個孔洞邊界的多余面力足夠小時，即可停止迭代。

第四步，將每一步的計算結(jié)果疊加起來，即能得到無限大平面帶有雙孔力學(xué)響應(yīng)的理論解答。這就是通過Schwartz交替法處理多連通域力學(xué)問題的基本思路。從數(shù)學(xué)上可以證明，按照該方法迭代下去得到的解答收斂于精確解。在實際計算中，Schwartz交替法的收斂速度是比較快的，其迭代次數(shù)可以根據(jù)工程問題的精度要求來確定，一般迭代幾步就可以得到很好的結(jié)果。

二、Schwartz交替法的案例解析

鑒于Schwartz交替法比較抽象難懂，并且在求解多孔應(yīng)力集中問題還需要結(jié)合彈性力學(xué)知識，所以在講授過程中，教師需要結(jié)合具體的案例進(jìn)行詳細(xì)分析：一方面，可以加深學(xué)生對彈性力學(xué)和Schwartz交替法的認(rèn)識；另一方面，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在課堂教學(xué)中，筆者采用了以下方法。

第一，在介紹Schwartz交替法處理多連通域力學(xué)問題的原理之后，教師讓學(xué)生回顧曾經(jīng)學(xué)過的結(jié)構(gòu)力學(xué)中彎矩分配法的基本原理。例如，一般的連續(xù)梁結(jié)點角位移未知量的數(shù)目常有多個，彎矩分配法的基本原理也是每次計算時只考慮某一個結(jié)點角位移，其他結(jié)點角位移先用附加剛臂約束住，然后計算出其他結(jié)點由附加剛臂承受的不平衡力矩，接著依次單個釋放附加剛臂的約束，將不平衡力矩反作用，計算出其他結(jié)點由附加剛臂承受的不平衡力矩。按照該方法反復(fù)循環(huán)迭代下去，使各結(jié)點上的不平衡力矩逐漸減小，最后各結(jié)點的彎矩逐漸趨近于精確值。這可以讓學(xué)生在回顧結(jié)構(gòu)力學(xué)知識的同時，更加透徹地理解Schwartz交替法。

第二，深埋雙孔隧道問題，只有兩個隧道邊界，也是一個雙連通域力學(xué)問題。教師可以運用Schwartz交替法結(jié)合彈性力學(xué)理論求解圍巖的應(yīng)力和位移，即每次計算只考慮其中一個隧道，假定另一個隧道不存在，再通過彈性力學(xué)中的方法求解，然后反復(fù)交替迭代，使得兩個隧道邊界的多余面力足夠小，最后將每次的計算結(jié)果疊加起來所得到的最終解答趨近于精確解。

第三，淺埋單孔隧道問題，只有地表邊界和隧道邊界，也是一個雙連通域力學(xué)問題。教師可以運用Schwartz交替法結(jié)合彈性力學(xué)理論求解地層的應(yīng)力和位移，即每次計算只考慮存在其中一個邊界問題（半平面不包含孔洞問題或者無窮大平面含有孔洞問題）。教師可以通過彈性力學(xué)中的方法來求解，然后反復(fù)交替迭代，使得兩個邊界的多余面力足夠小，最后將每次的計算結(jié)果疊加起來所得到的最終解答趨近于精確解。

第四，依此類推，運用Schwartz交替法結(jié)合彈性力學(xué)理論還可以解決更加復(fù)雜的力學(xué)問題，如半平面或無窮大平面含有任意個數(shù)孔洞的應(yīng)力集中問題。因此，Schwartz交替法在處理多連通域力學(xué)問題時是非常便利的。

在講解完以上各案例之后，教師讓學(xué)生動手將每個案例的理論公式反復(fù)推導(dǎo)練習(xí)，學(xué)生對知識的理解會更加深刻。

三、彈性力學(xué)和Schwartz交替法教學(xué)中的課程思政

（一）愛國主義教育方面

彈性力學(xué)的理論知識非常重要，在課程思政教學(xué)過程中，教師可以通過展示實際工程案例，強調(diào)我國在土木工程方面不斷創(chuàng)新所取得的重大突破，培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷與國際視野。例如，目前世界上最大的水利水電大壩——三峽大壩、世界上規(guī)模最大的跨海工程——港珠澳大橋、中國第一高樓——上海中心大廈、國家標(biāo)志性建筑——國家體育場（鳥巢）等重要土建工程。教師通過典型的土木建筑工程案例，可以強化愛國主義教育，使學(xué)生充分了解我國在基礎(chǔ)建設(shè)方面取得的重大成就，并樹立專業(yè)報國的遠(yuǎn)大理想。

（二）培養(yǎng)邏輯思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維

彈性力學(xué)的公式非常多，推導(dǎo)比較復(fù)雜，是一門非常具有挑戰(zhàn)性的課程。Schwartz交替法原來是為了求解拉普拉斯方程的狄利克雷問題而提出的，該方法把雙連通域問題化為兩個單連通域問題進(jìn)行處理。后來，有學(xué)者利用彈性力學(xué)結(jié)合Schwartz交替法有效地解決了多孔應(yīng)力集中問題。如《圍巖力學(xué)分析中的解析方法》中通過彈性力學(xué)結(jié)合Schwartz交替法求解出了雙圓形孔洞問題的解答。在講解完雙圓形孔洞問題后，教師可以讓學(xué)生嘗試求解更加復(fù)雜的非圓形孔洞問題，以及多孔滲流問題，逐漸增加課程的難度。這樣的教學(xué)方式可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，活躍課堂氣氛。學(xué)生在理論的推導(dǎo)訓(xùn)練中，不僅提高了數(shù)學(xué)和力學(xué)思維交叉融合的能力，還提高了邏輯思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維。

（三）培養(yǎng)化繁為簡，逐個突破問題的能力

Schwartz交替法是將多連通域問題化為一系列單連通域問題進(jìn)行求解，也是一種逐次逼近的方法。換言之，Schwartz交替法是將一個復(fù)雜的問題拆分成一系列簡單的問題來處理，這種思想可以應(yīng)用到學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活中。在面臨復(fù)雜的問題時，一些學(xué)生會感到不知所措。其實，在很多情況下，學(xué)生可以將復(fù)雜的問題合理地轉(zhuǎn)化成若干個簡單的問題，將所有簡單的問題理清楚并解決好，這個復(fù)雜的問題也就迎刃而解了。因此，教師可以通過將Schwartz交替法原理與其他問題相聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，將問題化繁為簡。

（四）增強學(xué)生的專業(yè)責(zé)任意識、安全意識、行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范意識

教師可以引入一些典型的工程事故案例，如2003年7月1日，正在建設(shè)中的上海軌道交通4號線某通道出現(xiàn)滲水引發(fā)坍塌，造成地面一幢建筑物發(fā)生傾斜，其裙房部分倒塌；2006 年1月22日，宜萬鐵路馬鹿菁隧道的平導(dǎo)洞在施工過程中發(fā)生特大突水事故；2010年7月11日，廣西賓陽縣那適2號隧道施工現(xiàn)場發(fā)生塌方事故。教師詳細(xì)講解相關(guān)工程事故案例發(fā)生的原因，讓學(xué)生充分了解這些工程事故發(fā)生的原因，增強學(xué)生的專業(yè)責(zé)任意識。

筆者以彈性力學(xué)結(jié)合Schwartz交替法求解多連通域問題的教學(xué)為例，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生在無窮大平面含有兩個孔的應(yīng)力集中問題、半平面含有一個孔的應(yīng)力集中問題的基礎(chǔ)上，思考半平面或無窮大平面含有任意個數(shù)孔洞的應(yīng)力集中問題，從簡單的圓形孔洞問題拓展到復(fù)雜的非圓形孔洞問題。此外，筆者深入探索、挖掘與該教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的思政元素，并融入課堂教學(xué)，以思政元素開展德育工作，培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞娜瞬拧?/p>

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基金項目：上海市教委（人事處）高校青年教師培養(yǎng)資助計劃，項目編號：ZZSIT21023。

（作者單位：上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)城市建設(shè)與安全工程學(xué)院）