肖艷平，王 越，黃 波

（中國民用航空飛行學(xué)院，四川廣漢 618307）

1 引言

現(xiàn)代飛機(jī)在進(jìn)行顫振分析時(shí)，由于計(jì)入非線性項(xiàng)的影響，機(jī)翼顫振特性呈現(xiàn)復(fù)雜的變化，對于后掠翼外掛系統(tǒng)這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，簡單的顫振分析是無法滿足后掠翼外掛系統(tǒng)顫振特性研究的。因此，對后掠翼外掛系統(tǒng)進(jìn)行非線性響應(yīng)分析具有十分重要的工程價(jià)值。文獻(xiàn)［1?5］建立了機(jī)翼/外掛系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性力學(xué)模型，通過數(shù)值模擬研究了幾何非線性、結(jié)構(gòu)非線性以及間隙非線性等對大展弦比機(jī)翼外掛系統(tǒng)氣動(dòng)彈性和穩(wěn)定性的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在非線性項(xiàng)影響下，系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的響應(yīng)。文獻(xiàn)［6?7］以大展弦比柔性機(jī)翼為模型，采用牛頓力學(xué)法建立了機(jī)翼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，通過松耦合法耦合結(jié)構(gòu)非線性氣動(dòng)力和非定常氣動(dòng)力建立了非線性氣動(dòng)彈性模型，通過算例分析研究了結(jié)構(gòu)幾何非線性效應(yīng)影響下，來流迎角和機(jī)翼展長對顫振特性的影響。文獻(xiàn)［8］定量分析參數(shù)不確定性對二元機(jī)翼顫振可靠度的影響。文獻(xiàn)［9］從不同方面介紹了主動(dòng)控制技術(shù)在機(jī)翼氣動(dòng)彈性分析中的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)［10?11］建立了非線性二元機(jī)翼動(dòng)力學(xué)模型，對比分析理論計(jì)算和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，研究了超高速飛行條件下，機(jī)翼的非線性響應(yīng)。文獻(xiàn)［12］以二元機(jī)翼為模型，推導(dǎo)了在突風(fēng)作用下二元機(jī)翼的增廣狀態(tài)空間運(yùn)動(dòng)方程，通過仿真分析研究了突風(fēng)對線性剛度系統(tǒng)和非線性剛度系統(tǒng)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［13］研究了二元機(jī)翼?操縱面立方非線性系統(tǒng)的混沌響應(yīng)，基于能量原理和活塞理論推導(dǎo)了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，在研究過程中將操縱面運(yùn)動(dòng)孤立為單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)問題，利用數(shù)值積分法研究了系統(tǒng)的復(fù)雜響應(yīng)問題。文獻(xiàn)［14?15］建立了二元機(jī)翼模型，推導(dǎo)了氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程，綜合Runge?Kutta數(shù)值方法與Henon方法研究了控制面間隙非線性對二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性響應(yīng)問題。綜上所述，目前對機(jī)翼外掛系統(tǒng)的非線性響應(yīng)研究較少，且大多以平直翼為模型，沒有對后掠翼外掛系統(tǒng)的非線性響應(yīng)進(jìn)行研究，但是現(xiàn)代大型運(yùn)輸機(jī)普遍采用后掠機(jī)翼。因此，對后掠翼外掛系統(tǒng)的非線性響應(yīng)研究具有重要價(jià)值。這里以后掠機(jī)翼為模型，推導(dǎo)了后掠翼外掛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，通過后掠翼翼尖扭轉(zhuǎn)分叉圖、典型速度下的相圖以及龐加萊截面圖研究了后掠翼外掛系統(tǒng)的非線性響應(yīng)。

2 力學(xué)模型

后掠翼上外掛物懸掛點(diǎn)處的截面圖，如圖1所示。

圖1 懸掛點(diǎn)處的機(jī)翼截面圖Fig.1 The Wing Section of Hanging Point

設(shè)外掛的質(zhì)量為ms，用Is表示外掛對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Iβ表示外掛對圖中所示的B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Sβ是外掛物對機(jī)翼上B點(diǎn)的質(zhì)量靜矩，xsb為外掛物的質(zhì)心到機(jī)翼彈性軸的距離。后掠翼各參數(shù)之間的關(guān)系為：

根據(jù)文獻(xiàn)［13］中平直翼運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)思路，考慮機(jī)翼幾何非線性影響，可得后掠翼外掛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：Lw—單位展長后掠機(jī)翼所受的氣動(dòng)力；

Mθ—?dú)鈩?dòng)力對后掠機(jī)翼彈性軸的俯仰力矩。

通過修正經(jīng)典的Theodorsen非定常氣動(dòng)力可建立后掠翼氣動(dòng)力模型，根據(jù)文獻(xiàn)［16］，具體修正方法如下：

得到后掠翼氣動(dòng)力后，代入（1）式可以得到后掠翼系統(tǒng)微分方程。設(shè)如下所示無量綱參數(shù)：

可以得到：

將上述無量綱參數(shù)式（3）代入式（2）和式（3）、式( )2 可得后掠翼外掛系統(tǒng)無量綱方程如下所示：

通過振型函數(shù)正交性條件，在式（1）第一式左乘fj，第二式左乘Tj，并將兩式在（0~1）之間積分，化簡整理后可以得到簡化后的系統(tǒng)方程的矩陣形式：

表示狀態(tài)向量，并滿足下列條件：

3 算例分析

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，選用的機(jī)翼模型參數(shù)數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 機(jī)翼模型參數(shù)Tab.1 The Wing Model Parameters

通過不同速度范圍內(nèi)的后掠翼翼尖扭轉(zhuǎn)分叉圖，并結(jié)合典型速度下的相圖和龐加萊截面圖，可以判斷隨著速度增加，后掠翼外掛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，從而研究后掠翼外掛系統(tǒng)的非線性響應(yīng)。將上述模型數(shù)據(jù)代入方程，取EI2= 199EI1，設(shè)外掛模型的參數(shù)為：Kβ= 108，μ1= 0.5，xs= 1，ys= 0.3。通過V?g法計(jì)算得知，該模型顫振臨界速度為96.6m/s。取速度范圍為（96~112.2）m/s，后掠翼翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖，如圖2所示。從圖中可以看出當(dāng)速度大于顫振臨界速度96.6m/s時(shí)，系統(tǒng)從收斂的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入單個(gè)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。速度為112m/s時(shí)后掠翼外掛系統(tǒng)的相圖和龐加萊截面圖，如圖3、圖4所示。由圖3、圖4可知在該速度下后掠翼外掛系統(tǒng)在相圖上所示為一個(gè)閉合的圓環(huán)，而在龐加萊截面圖上該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)速度范圍在（112.2~125）m/s時(shí)，后掠機(jī)翼系統(tǒng)的翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖，如圖5所示。由圖5可知當(dāng)速度大于120.8m/s時(shí)，系統(tǒng)由單個(gè)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入周期性雙極限環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。速度為125m/s時(shí)后掠翼外掛系統(tǒng)翼尖扭轉(zhuǎn)角的相圖和龐加萊截面圖，如圖6、圖7所示。從分叉圖可知在該速度下系統(tǒng)正在做周期性雙極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，在相圖中應(yīng)該出現(xiàn)兩個(gè)環(huán)。但如圖6所示，此時(shí)的相圖并不是兩個(gè)閉合的環(huán)，因此需要借助龐加萊截面圖來判斷后掠翼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如圖7所示，速度為125m/s時(shí)后掠翼系統(tǒng)翼尖扭轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在龐加萊截面圖上表現(xiàn)為兩個(gè)點(diǎn)。結(jié)合龐加萊截面圖、機(jī)翼翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖和相圖綜合判斷，可得后掠翼外掛系統(tǒng)此時(shí)在做周期性的雙極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。

圖2 后掠翼外掛系統(tǒng)在（96~112.1）m/s翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.2 Swept?Back of the Wing with External System in the 96m/s to 112.1m/s Wing Tip Torsional Angle Bifurcation Diagram

圖3 后掠機(jī)翼在115m/s時(shí)的相圖Fig.3 Phase Diagram of Swept?Back Wing at 115m/s

圖4 后掠機(jī)翼在115m/s時(shí)龐加萊截面圖Fig.4 Poincare Section of Swept?Back Wing at 115m/s

圖5 具有外掛系統(tǒng)的后掠機(jī)翼在（112.1~125）m/s翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.5 Swept?Back of the Wing with a Plugin System in the（112.1~125）m/s Wing Tip Torsional Angle of Bifurcation Diagram

圖6 后掠機(jī)翼在125m/s時(shí)的相圖Fig.6 Phase Diagram of Swept?Back Wing at 125m/s

圖7 后掠機(jī)翼在125m/s時(shí)的龐加萊截面圖Fig.7 Poincare Section of Swept?Back Wing at 125m/s

當(dāng)速度范圍在（125~142）m/s時(shí)后掠機(jī)翼系統(tǒng)翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖，如圖8所示。由圖可知，隨著速度繼續(xù)增大，系統(tǒng)從周期性的雙極限環(huán)運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過周期倍化進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。速度為134m/s時(shí)系統(tǒng)的相圖和龐加萊截面圖，如圖9、圖10所示。在龐加萊截面圖中由于點(diǎn)重合的原因使得龐加萊截面圖很難辨認(rèn)系統(tǒng)處于哪種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此需要結(jié)合相圖和分叉圖綜合判斷，如圖8~圖10所示。此時(shí)系統(tǒng)是處于周期倍化狀態(tài)的。由于在速度大于135.5m/s時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了新的極限環(huán)振動(dòng)，速度為135.5m/s時(shí)的相圖和龐加萊截面圖，如圖11、圖12所示。在龐加萊截面圖由于點(diǎn)非常接近很難判斷是否出現(xiàn)了新的極限環(huán)振動(dòng)，因此需要從相圖去判斷，結(jié)合分叉圖以及相圖可知，系統(tǒng)此時(shí)是出現(xiàn)了新的極限環(huán)振動(dòng)的。

圖8 后掠翼外掛系統(tǒng)在（125~142）m/s翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.8 Swept?Back of the Wing with External System in the（125~142）m/s Wing Tip Torsional Angle Bifurcation Diagram

圖9 后掠機(jī)翼在134m/s時(shí)的相圖Fig.9 Phase Diagram of Swept?Back Wing at 134m/s

圖10 后掠機(jī)翼在134m/s時(shí)的龐加萊截面圖Fig.10 Poincare Section of Swept?Back Wing at 134m/s

圖11 后掠機(jī)翼在135.5m/s時(shí)的相圖Fig.11 Phase Diagram of Swept?Back Wing at 135.5m/s

圖12 后掠機(jī)翼在135.5m/s時(shí)的龐加萊截面圖Fig.12 Poincare Section of Swept?Back Wing at 135.5m/s

當(dāng)速度大于137.4m/s時(shí)，后掠機(jī)翼開始做擬周期運(yùn)動(dòng)，速度為137.5m/s時(shí)后掠翼系統(tǒng)的相圖和龐加萊截面圖，如圖13、圖14所示。從后掠機(jī)翼在該速度下的龐加萊截面圖為封閉的曲線可知此時(shí)系統(tǒng)正在做擬周期運(yùn)動(dòng)。隨著速度繼續(xù)增加，由圖8可知后掠翼系統(tǒng)將由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。

圖13 后掠機(jī)翼在137.5m/s時(shí)的相圖Fig.13 Phase Diagram of Swept?Back Wing at 137.5m/s

圖14 后掠機(jī)翼在137.5m/s時(shí)的龐加萊截面圖Fig.14 Poincare Section of Swept?Back Wing at 137.5m/s

4 結(jié)論

結(jié)合后掠翼模型分析幾何非線性對后掠翼外掛系統(tǒng)的響應(yīng)影響，得出的結(jié)論如下：

（1）當(dāng)速度大于顫振臨界速度96.6m/s時(shí)，后掠翼系統(tǒng)并沒有立即進(jìn)入混沌狀態(tài)，而是出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)。

（2）隨著速度增加，當(dāng)速度大于125m/s時(shí)，后掠翼系統(tǒng)有單個(gè)的極限環(huán)振動(dòng)變?yōu)殡p極限環(huán)振動(dòng)。

（3）隨著速度繼續(xù)增加，結(jié)合相圖和龐加萊截面圖可知，后掠翼系統(tǒng)由雙極限環(huán)振動(dòng)進(jìn)入擬周期狀態(tài)。

綜上所述：隨著速度的增加，后掠機(jī)翼外掛系統(tǒng)經(jīng)歷了收斂、極限環(huán)振動(dòng)、周期倍化運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)等一系列復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。