張海燕

摘要：單元教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)以單元作為教學(xué)設(shè)計(jì)的主體，在設(shè)計(jì)中教師要整體化地把握單元的目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容與作業(yè)等.本文將數(shù)學(xué)史融入單元教學(xué)，以《弧長》與《扇形的面積》為例，聚焦內(nèi)容本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系規(guī)劃單元，融入數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生理解公式本質(zhì)，運(yùn)用一貫的情景引入與課堂活動突顯單元整體.

關(guān)鍵詞：單元教學(xué)；數(shù)學(xué)史；弧長；扇形的面積；核心素養(yǎng)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教師整體化地把握整個(gè)單元的內(nèi)容，結(jié)合多種教學(xué)形式和教學(xué)策略，在一個(gè)單元周期內(nèi)幫助學(xué)生完成對一個(gè)知識單元的相對完整的學(xué)習(xí).單元教學(xué)與常規(guī)教學(xué)相比較，單元教學(xué)在結(jié)構(gòu)上更具連貫性與完整性，以單元為教學(xué)設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)，基于學(xué)生學(xué)情，構(gòu)建關(guān)注知識結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)方式，有利于學(xué)生整體性地建構(gòu)知識內(nèi)容，且能在一定程度上提高課堂教學(xué)效率.將數(shù)學(xué)史融入單元教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，呈現(xiàn)貫穿整個(gè)單元的核心與本質(zhì)，學(xué)生可以跟隨著前人的足跡感受數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力.本文以滬教版初中數(shù)學(xué)六年級上冊第四章《圓與扇形》第2節(jié)《弧長》與第4節(jié)《扇形的面積》的教學(xué)為例，探討如何在單元教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行單元規(guī)劃、融入數(shù)學(xué)史料、設(shè)計(jì)整體的教學(xué)環(huán)節(jié)與活動.

1聚焦內(nèi)容本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系規(guī)劃單元

本單元是滬教版《數(shù)學(xué)》六年級第一學(xué)期第四章《圓和扇形》.教材中的課序?yàn)椋?.1 圓的周長（1課時(shí)），4.2弧長（1課時(shí)），4.3圓的面積（2課時(shí)），4.4扇形的面積（2課時(shí)）.本單元在第1節(jié)第1課時(shí)《圓的周長》與第3節(jié)第1課時(shí)《圓的面積》的研究中，運(yùn)用化曲為直、無限逼近的極限思想得到圓的周長、面積公式.第2節(jié)第1課時(shí)《弧長》與第3節(jié)第1課時(shí)《扇形的面積》運(yùn)用弧與圓周、扇形面積與圓的面積間部分與整體之比轉(zhuǎn)化為圓心角與周角之比推出弧長與扇形面積的公式.弧長是圓周長的一部分，扇形的面積是圓面積的一部分.基于這種部分與整體的關(guān)系（如圖1所示），本單元將分為兩個(gè)專題，專題一《圓的周長與面積》，通過化曲為直、無限逼近的極限思想學(xué)習(xí)圓周長與面積的公式.專題二《弧長與扇形的面積》，運(yùn)用弧長與周長之比、扇形的面積與圓面積之比均等于圓心角與周角之比推導(dǎo)弧長與扇形面積公式，感受部分與整體之間的關(guān)系.

2本單元相關(guān)的史料素材

弧長與扇形的面積公式由圓的周長與面積公式推導(dǎo)得到，在歷史上證明圓的周長與面積公式的方法豐富多樣，核心都是圍繞著微積分方法與極限思想.

古希臘思想家阿基米德（公元前287年—公元前212年）運(yùn)用無限逼近的極限思想來得到圓的面積公式.我國漢代的《九章算術(shù)》中記載了圓的面積公式“半周半徑相乘，得積步”，也就是半周乘以半徑得到圓面積.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）在《九章算術(shù)注》中提出了“割圓術(shù)”的方法，德國數(shù)學(xué)家開普勒（公元1571年—公元1630年）在思考酒桶體積算法時(shí)，想出了圓的面積的計(jì)算方法.本次單元教學(xué)選擇了開普勒求圓的面積的方法，這個(gè)方法可以更好地體現(xiàn)扇形的面積是圓的面積的一部分，也可以從幾何的角度更直觀地闡釋教材中的方法，即由公式恒等變形得到圓的面積公式1/2Cr以及扇形面積公式1/2lr.

3教學(xué)過程設(shè)計(jì)與解析

3.1實(shí)際情境貫穿單元，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

《弧長》一課的引入環(huán)節(jié)，以學(xué)生準(zhǔn)備迎新年活動中需要為道具扇子準(zhǔn)備亮晶晶的毛條彩帶裝飾扇子邊沿的實(shí)際情景引出求扇形弧長的問題，從學(xué)生的親身經(jīng)歷創(chuàng)設(shè)“情境”，讓他們能夠“觸景生情”.用問題“把扇子抽象成為一個(gè)圖形并試著畫出這個(gè)圖形”幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，將實(shí)物“扇子”抽象為一個(gè)扇形，讓學(xué)生學(xué)會用建模的方法解決生活中的問題.在畫扇形的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生體會到弧是圓的一部分，感受弧與圓之間部分與整體的關(guān)系，為弧長公式的推導(dǎo)做鋪墊.

在《扇形的面積》一課的最后學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，回歸到《弧長》引入環(huán)節(jié)的情境中，提出問題“如果我們想為上節(jié)課中迎新年活動的這把扇子制作一幅美麗的扇面，那么我們能求出這個(gè)扇面的面積嗎？”繼續(xù)解決精美扇面的面積問題，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又回歸到生活的應(yīng)用價(jià)值.學(xué)生可以運(yùn)用在《扇形的面積》中學(xué)到的圓心角、半徑、弧長及扇形的面積四個(gè)量的關(guān)系解決相同實(shí)際情景下的問題.這樣，學(xué)生對四個(gè)量之間的依賴關(guān)系的本質(zhì)才會有更深刻的理解.

以學(xué)生身邊的實(shí)際情景作為引入本專題的問題，同時(shí)也是本單元結(jié)束的最后一個(gè)問題，可以充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了首尾呼應(yīng)，體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的整體感.

3.2公式推導(dǎo)深化理解，感悟內(nèi)容本質(zhì)

學(xué)生經(jīng)過第二章分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)后已經(jīng)知道部分與整體的關(guān)系可以用分?jǐn)?shù)，也就是幾分之幾表示.在《弧長》的教學(xué)中通過問題鏈，能激勵(lì)學(xué)生自主思考，幫助學(xué)生認(rèn)識到弧是圓的一部分，弧的大小與圓心角的大小有關(guān).學(xué)生自然地結(jié)合本單元學(xué)習(xí)圓的面積公式的經(jīng)驗(yàn)說出“沿半徑將圓360等分，每一份弧所對應(yīng)的圓心角是1°，弧長占圓周長的幾分之幾就等于它所對圓心角占圓周角（360°）的幾分之幾”.教師再追問“這樣等分的依據(jù)是什么？橢圓可以這樣等分嗎？”讓學(xué)生意識到等分的依據(jù)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性.在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生對弧與圓之間的部分與整體關(guān)系的深刻理解是學(xué)習(xí)扇形的面積的基礎(chǔ).

在《扇形的面積》的教學(xué)中，復(fù)習(xí)回顧推導(dǎo)弧長公式的方法，類比弧長公式的推導(dǎo)過程，運(yùn)用扇形的面積與圓的面積之間的關(guān)系（部分與整體），學(xué)生可以自然地說出“扇形面積占圓面積的幾分之幾等于扇形所對的圓心角占圓周角的幾分之幾”.課堂中扇形的面積公式的自然生成正是對單元教學(xué)意義與價(jià)值的反饋與印證.

3.3融入數(shù)學(xué)史，理解公式本質(zhì)

利用部分與整體的關(guān)系，學(xué)生在弧長公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上可以直接類比得到扇形的面積公式，推導(dǎo)出扇形的面積公式后再運(yùn)用弧長與扇形的面積公式變形，學(xué)生可以自主推導(dǎo)出扇形的面積還可以等于扇形的弧長與半徑乘積的一半，即S_扇=1/2l_弧r.

歷史上開普勒通過無窮分割法求扇形的面積，可以幫助學(xué)生從幾何直觀的角度對代數(shù)式恒等變形得到的公式S_扇=1/2l_弧r給予形象的解讀，而這種求扇形的面積的方法正是對本單元第二節(jié)無窮分割法求圓的面積的呼應(yīng)，在課堂中引入這部分?jǐn)?shù)學(xué)史，可以更好地闡釋了運(yùn)用化曲為直、無限逼近思想方法推導(dǎo)扇形面積與圓面積公式的一致性，也再一次讓學(xué)生深刻地感受到扇形的面積與圓的面積之間部分與整體關(guān)系的本質(zhì)，更為由公式變形得到扇形的面積公式S_扇=1/2l_弧r提供了直觀的幾何視角.在推導(dǎo)出扇形的面積公式后，一位學(xué)生主動舉手分享了他的想法.

教學(xué)片段：

生：其實(shí)也可以把扇形的面積用S_扇=1/2l_弧r表示，因?yàn)樵趧倓偽覀兺茖?dǎo)出的公式S_扇=n/360πr²中，360是180的2倍，而l弧＝n180πr，所以可以把扇形的面積公式變形為S_扇=1/2·n/180πr·r也就是S扇=12l弧r.

師：這位同學(xué)用公式變形的方式得到了用弧長與半徑求扇形面積的公式.像他一樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的同學(xué)請舉手.大多數(shù)同學(xué)通過公式變形已經(jīng)得到了求扇形的面積的另一個(gè)公式，這就是教材第115頁給出的第二個(gè)扇形的面積公式.

問題：我們知道第一個(gè)公式S_扇=n/360πr²表示扇形的面積與圓的面積的比等于扇形的圓心角與圓周角之比.那么S_扇=1/2l_弧r表示什么呢？

師：17世紀(jì)譽(yù)滿歐洲的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家開普勒通過幾何的方法得出這個(gè)扇形面積公式.當(dāng)時(shí)開普勒正在他自己的婚禮上思考酒桶體積算法，但他卻首先想出了計(jì)算圓和扇形的面積的方法，我們來看看他是怎么想的.

將圓從半徑出發(fā)，分割成若干等份，在學(xué)習(xí)圓的面積推導(dǎo)公式過程中，我們知道分割的份數(shù)越多，每個(gè)小扇形就越接近于一個(gè)小三角形.

現(xiàn)在將其展開，如圖2所示，讓圓周拉直接近于一條線段，每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)到對邊的距離都是圓的半徑，它們的面積和就是圓的面積，陰影部分的面積和就是扇形AOB的面積.

現(xiàn)在讓所有小三角形的頂點(diǎn)與圓心重合，那么這些三角形將轉(zhuǎn)化為與原三角形等底等高的三角形，它們的面積不改變.圓的面積就等于△OCD的面積，扇形AOB面積等于三角形OA′B′的面積，所以S_扇=1/2l_弧r.

圖2

3.4課堂活動巧銜接，突顯關(guān)系本質(zhì)兩節(jié)課的課堂活動互相銜接（如表1），《扇形的面積》中的第1題正是《弧長》中的第1題，這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生感受弧長與扇形的面積之間的關(guān)聯(lián)，體會在已知半徑與圓心角的條件下扇形的大小已經(jīng)被確定，即可以求出弧長也可以求扇形的面積.通過變換已知量、未知量、已知數(shù)據(jù)的形式，結(jié)合學(xué)生計(jì)算方法的對比及教師的不斷追問，幫助學(xué)生體會到圓心角、半徑、弧長和扇形的面積四個(gè)量關(guān)系的本質(zhì)，即已知兩個(gè)量可求出另外兩個(gè)量.在《扇形的面積》課堂活動環(huán)節(jié)結(jié)束時(shí)，請一位學(xué)生談?wù)動心男w會？學(xué)生很自然地說出這四個(gè)量里只要知道兩個(gè)就可以求出另外兩個(gè).

4教后感悟與反思

4.1感悟部分與整體的相對關(guān)系

滬教版《數(shù)學(xué)》六年級第一學(xué)期除第一章《數(shù)的整除》為約分、通分及化簡運(yùn)算這些奠定知識基礎(chǔ)外，從第二章《分?jǐn)?shù)》、第三章《比和比例》到第四章《圓和扇形》三個(gè)章節(jié)的核心思想都是在幫助學(xué)生建立相對量的概念，也就是部分與整體之間的關(guān)系.

雖然學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)了倍數(shù)，但只僅限于兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，在小學(xué)學(xué)習(xí)了總體與部分的概念，但仍需借助把總體看作單位“1”來理解整體，學(xué)生在六年級通過《分?jǐn)?shù)》與《比和比例》兩個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)，基本能夠理解部分與部分、部分與整體之間的關(guān)系，會求一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾，并可以將部分與部分、部分與整體的關(guān)系用比來表達(dá).以此為基礎(chǔ)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)弧長公式推導(dǎo)以及通過類比得到扇形的面積公式推導(dǎo)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，著重幫助學(xué)生理解并運(yùn)用相對量的概念將弧長與圓周長之比或扇形的面積與圓的面積之比轉(zhuǎn)化為圓心角與周角之比，這也是弧長與扇形的面積公式的核心，同時(shí)也是貫穿本單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主線.

4.2恒等變形與方程思想的運(yùn)用

代數(shù)式及方程的恒等變形是初等數(shù)學(xué)重要的知識與技能之一，也是解決函數(shù)及方程問題的重要前提和手段，還蘊(yùn)含著代數(shù)的思想方法.掌握并靈活運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，能提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力.在弧長公式以及扇形的面積公式的課堂活動環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個(gè)量之間的關(guān)系時(shí)，可以運(yùn)用恒等變形將未知量用兩個(gè)已知量表示，得到“知二求二”的結(jié)論，這為未來的方程以及代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

4.3從直觀感知到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)化

本單元建立在學(xué)生小學(xué)時(shí)已經(jīng)直觀認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上，學(xué)生在小學(xué)知道圓心、半徑等相關(guān)概念，知道圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，對圓有較強(qiáng)的直觀感受與豐富的生活體驗(yàn).本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)著重幫助學(xué)生逐步地從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、分析、計(jì)算與應(yīng)用的方式掌握圓的周長、圓的面積、弧長及扇形的面積的計(jì)算公式，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形與幾何的相關(guān)內(nèi)容打下基礎(chǔ).

4.4古今相融、首尾呼應(yīng)的育人價(jià)值

在本單元主題二《弧長與扇形的面積》部分的教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，《4.2弧長》從班級身邊正在發(fā)生的實(shí)際情景出發(fā)，激發(fā)學(xué)生解決問題的求知欲.《4.4扇形的面積》再次回到相同情景解決藝術(shù)節(jié)道具扇子的制作問題，此環(huán)節(jié)既檢驗(yàn)了教學(xué)目標(biāo)“體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系”的落實(shí)情況，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從實(shí)際問題中來到生活中去的育人價(jià)值.

在扇形的面積的教學(xué)中引入開普勒分割酒桶得到扇形的面積的方法，幫助學(xué)生體會公式S_扇=1/2l_弧r的幾何含義，再一次引導(dǎo)學(xué)生感受在學(xué)習(xí)本單元上一個(gè)主題《圓的周長與面積》中運(yùn)用的化曲為直、無限逼近的思想方法，體現(xiàn)了本單元的整體性與連貫性.

5結(jié)語

單元教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，在《圓與扇形》的單元設(shè)計(jì)中，筆者將《弧長》與《扇形的面積》整合為一個(gè)模塊組織教學(xué)，更好地讓學(xué)生感受本單元中弧長與圓的周長，扇形的面積與圓的面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會圓心角、半徑、弧長、扇形的面積四個(gè)量之間的關(guān)系，感悟單元知識結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，為學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).將數(shù)學(xué)史融入到本單元的教學(xué)，可以在教學(xué)中讓學(xué)生對化曲為直的思想有初步的感知與理解，也可以從幾何角度更直觀地闡釋公式本質(zhì)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活又高于生活，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，體現(xiàn)“立德樹人”的生命體驗(yàn)和教育價(jià)值.參考文獻(xiàn)：

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