摘 要：分析2023年新高考適應性考試中的解析幾何試題，探究了常見解題思路與解法，做出相應的方法歸納與總結，針對后期復習備考提出教學建議.

關鍵詞：四省聯考；解析幾何；復習備考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0030-04

2023年2月，為加強教考銜接，實現平穩(wěn)過渡，針對2023年云南、吉林、黑龍江、安徽四個省的高考考生使用新課標老高考的情況，教育部教育考試院命制了適應性測試卷，供2023年考生進行適應性考試（下文稱“四省聯考”）.這是數學新高考模式在云南省的首次大規(guī)模亮相，意義非凡.本次試題以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》為依據，考查了學生的關鍵能力，突出思維品質與創(chuàng)新精神；注重學用結合，創(chuàng)設真實靈活情境；命題設問更具開放性與探究性.整份試卷充分發(fā)揮高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能，對后期的復習備考將起到積極而深遠的引導作用.

1 試題結構分析

解析幾何類試題在四省聯考試卷中一共有4道，其中單選題、多選題、填空題和解答題各有一道，合計27分，占整張試卷的分值比例為18%.這幾道試題涉及的知識點主要有圓的參數方程、橢圓的幾何性質、雙曲線的標準方程、圓與拋物線的位置關系、直線與雙曲線的位置關系，以及解析幾何與三次函數、三角函數的融合.試題結構明了，重在檢測考生的四基、四能的發(fā)展水平.具體分布見表1.

解析 以焦點在x軸上的橢圓為例（焦點在y軸時的情形與此時一致）.如圖1，若A，C為橢圓D的長軸端點，此時△ABC必是鈍角三角形，這是由于a>b，∠OBC>45°，可知∠ABC>90°，不符合題意.如圖2，由于A，B，C為橢圓D的三個頂點，且△ABC是正三角形，因為2b=a2+b2，所以a2=3b2，即b2a2=13，故而e=ca=1-b2a2=63，故選C.

評析 本題是一個橢圓離心率求解的問題，可視為人教A版選修一139頁第10題的一個變式，試題如下：已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px（p>0）上，求這個等邊三角形的邊長.

對于四省聯考的這道試題，題目給出的條件是需要我們分類討論研究問題的，題干給出了三個頂點，但沒有明確是哪些頂點，這里就可以分為“有兩個長軸頂點”和“有兩個短軸頂點”這兩種情況進行分析.除去考慮分類討論這點之外，本題難度不大，因為給出的是頂點的關系，自然可以很容易找到橢圓中a和b的關系.

對于四省聯考的這道試題，首先P，Q兩點是不相關的兩個變量，處理的思路必然是“固定一個，變化一個”.這里可先認為點P是定點，那么|PQ|的最小值就變成了“圓上動點到定點的距離最值”，這種問題就可以利用三角不等式轉化為點P到圓心的距離求解，該距離減去半徑就是距離最小值了.接下來問題就轉化為點P到圓心的距離最小值，此時問題就轉化為“拋物線上動點P到定點的距離最值”.

本文提供了兩種解題方法，一種比較直接，就是純代數方式處理，即設出點P的坐標，之后表達線段的長度并求解最值.線段長度表達式的核心部分是一個四次函數，求導后為三次函數，考生需要進行因式分解來判斷導函數正負進而求解最值.而如何因式分解是本題的一個難點，可以教學生如下思考：由2x3+x-3的系數和為零，可知該三次多項式必然存在因式x-1，從而可將-3拆成-1和-2，即2x3-2+x-1，再根據試卷第22題給出的立方差公式得2（x-1）（x2+x+1）+（x-1），到此便可實現因式分解.對于系數和不為零的整系數多項式因式分解，讀者可參考以下定理.

評析 本題可視為2008年安徽高考卷第22題的一個變式.解題的核心思想是將線段比轉化為共線向量處理，類似的思路出現于2021年全國Ⅰ卷的解析幾何題，蘊含了命題人對命制試題的理解，具有很強的指導性.用向量的數量積運算，能很快剝離出運算式的韋達定理的結構，整合分類討論.不足之處是計算量較大.

3 高考復習啟示

3.1 夯實基礎，提升思維

從本次四省聯考的解析幾何試題來看，試題傾向于考查考生的邏輯推理能力，有著“送分題少、中檔題目占比大、難題梯度明顯”的特點，而且在中檔題目上強調更加靈活地應用所學知識和相應的數學技能.在復習備考時，首先讓學生牢固掌握直線、圓和圓錐曲線的相關概念，熟悉基本圖形和幾何性質，建構知識體系；其次，讓學生深化理解通性通法，教學時不宜過度追求一題多解，應重點關注如何審題，怎樣應用所學知識處理新問題；最后，以解析幾何為例，這份試卷的計算量較大，并且邏輯推理的要求也較高，因此我們在平常教學時，要同時抓學生的計算能力和數學思維.

3.2 回歸課本，研究真題

有很多高考試題來自于教材例題或習題的改編，教材是最好的備考素材.教學時立足習題，尤其讓學生把那些“看上去沒有思路”的題多做幾遍，爭取能獨立解決.此外，教材上的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現”等欄目也非常重要，讓學生認真閱讀并思考這些內容，培養(yǎng)他們閱讀習慣的同時提升學習能力.高考真題凝結著命題專家的智慧，是考查基礎知識、基本技能和基本思想方法的載體［1］，既有示范性，又有權威性.從本文的分析看，高考試題具有很強的傳承性，研究往年真題，挖掘背后的命題規(guī)律，對于復習備考具有重要的指導意義.

參考文獻：

［1］張青松.2021年全國甲卷理科第20題解法分析與思考[J].課程教材教學研究（中教研究），2021（Z5）：67-68.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：張青松（1984.5-），男，云南省昆明人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.