?山東省平邑縣白彥鎮(zhèn)第二初級中學 李 偉

二次函數是初中數學綜合題的重要載體,是知識、方法與思想的結合體.在復習中,要善于抓住典型例題,突出“一題一課”復習模式,通過一題多解,培養(yǎng)學生發(fā)散思維,達到解一題通一類,即觸類旁通的學習境界,跳出問題學數學,讓學生站在更高的角度去深層探究,在探究中獲得愉悅的數學體驗,從而提升數學核心素養(yǎng),生成數學解題智慧[1].

1 原題呈現

如圖1,拋物線y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,直線l與拋物線交于點B,交y軸于點D(0,3).

備用圖

圖1

(1)求該拋物線的函數表達式;

(2)點P(m,0)為線段OB上一動點,過點P作x軸的垂線EF,分別交拋物線與直線l于點E,F,連接CE,CF,BE,求四邊形CEBF面積的最大值及此時m的值;

(3)點M為y軸右側拋物線上一動點,過點M作直線MN∥AC交直線l于點N,是否存在點M,使以A,C,M,N四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

2 透過解題,積累策略

2.1挖潛待定系數法的內涵

第(1)問的解答如下.

2.1.1 一般式

所以,該拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3.

2.1.2 交點式

根據題意,設函數解析式為y=a(x+1)(x-3),所以-3a=-3,解得a=1.所以,該拋物線的函數表達式為y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.

2.1.3 頂點式

2.1.4 韋達定理式

2.2 學會一種方法,鞏固配方法求最值

2.3 學會探索二次函數存在性問題

第(3)問的解答如下.

解法1：存在.理由如下.

①當點M在直線BD的下方時,如圖2,由題意得OC=3,OA=1.過點M作y軸的垂線,垂足為E,過點N作NF⊥ME于點F,交x軸于點G.假設四邊形ACMN為平行四邊形,則AC∥MN,AC=MN.因為NF⊥ME,ME⊥OE,所以NF∥OE,∠ACO=∠MNF.

圖2

圖3

解法2：存在.理由如下.

點評：存在性問題是二次函數中創(chuàng)新題型的特征之一,解答時,先回答存在還是不存在,后根據條件解答.對于平行四邊形的存在性問題,解答時,要把握好幾個關鍵點.

(1)平行四邊形的對邊平行,轉化為代數式語言就是對邊直線的“k”值相等.

(3)合理進行圖形的分割,靈活選用三角形全等作為解題工具也是一種很有效的解題方法.

3 結束語

二次函數的重要性已經不言而喻,三段式問題模式已經趨于穩(wěn)定,開放的是知識點,是問題提出的視角、探索結論的途徑,以及生成不同的新結論.面對成熟的問題結構,如何提高復習效率,確保學生遇到此類問題至少能順利破解前二問,努力爭取第三問,還需要多思考,多探索,多嘗試.只有教師站在深刻解題的新高度,才能給學生帶來全面解題的新體驗,才能更好地激勵、引導學生學好數學,克服畏難情緒,增加數學學習的自信心,提高數學解題智慧,提升數學核心素養(yǎng).