常成（鄭州大學）

音樂是人類的通用語言，它跨越了文化和語言的障礙，表達了人們的情感、思想和靈魂。在音樂理論中，十二平均律是最為重要的概念之一，它規(guī)定了一個八度的音程被平均分成十二個半音。明代音樂家朱栽堉在他的著作《樂律全書》中，首次提出了“十二平均律”的理論。這一理論的基本思想是將八度音程等分為十二段，使得相鄰兩段之間的頻率比值為相等或接近。然而，這一理論的實現(xiàn)并不容易。在朱載堉的時代，他的這一理論并沒有得到廣泛的接受和應(yīng)用。直到17 世紀中葉，歐洲的數(shù)學家和音樂家才開始嘗試實現(xiàn)這一理論。其中，德國音樂家巴赫在1722 年創(chuàng)作了《十二平均律鋼琴曲集》，這一作品被認為是推廣十二平均律的重要里程碑。

一、十二平均律的發(fā)展歷程

十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律”。半音是十二平均律組織中最小的音高距離。兩音間的距離等于兩個半音的叫作全音。八度內(nèi)包括有十二個半音，也就是六個全音。在音列的基本音級中間，除了E到F、B 到C 是半音外，其余相鄰兩音間的距離都是全音。在鋼琴上，相鄰的兩個琴鍵（包括黑鍵）都構(gòu)成半音，隔開一個琴鍵的兩個音則都構(gòu)成全音。

在西方，十二平均律早在古代希臘時便有人提出了，但并未加以科學的計算，對于其的使用歷史可以追溯到中世紀，但直到十五十六世紀左右才被廣泛使用。在巴洛克時期，十二平均律得到了更加完善的發(fā)展。隨著現(xiàn)代音樂體系的建立，十二平均律成為當代音樂中不可或缺的一部分。

世界上最早根據(jù)數(shù)學來制定十二平均律的是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的。朱載堉公元1536-1610年，字伯勤，號句曲山人，是明仁宗后裔、鄭恭王朱厚烷之子。他不重爵位，潛心學術(shù)研究，著述宏富。萬歷十二年公元1584 年，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論。而在十二平均律發(fā)明之前，中國自春秋時期起，一直使用三分損益法確定管或弦的長度和發(fā)音高低之間的關(guān)系。由三分損益法計算出來的十二個律，相鄰兩律間的長度差或頻率差不是都相同的，因此這種律（三分損益律）又叫十二不平均律。

據(jù)楊蔭瀏先生考證，從歷史記載看，我國在音樂實踐中開始應(yīng)用平均律，約在公元前二世紀，但平均律理論的出現(xiàn)，則是1584 年明代朱載堉《律學新說》問世之時。實踐與理論之先后出現(xiàn)，其間相去1685 年。明朝中葉，皇族世子朱載堉發(fā)明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數(shù)列，具體說來就是：用發(fā)音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1 尺，求出低八度的音高弦長為2 尺，然后將2開12 次方得頻率公比數(shù)1.059463094，該公比自乘12 次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原。用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的千古難題，他的“新法密律”（即十二平均律）已成為人類科學史上最重要的發(fā)現(xiàn)。然而，這一理論在朱載堉的時代并沒有得到廣泛的應(yīng)用，直到17 世紀，荷蘭數(shù)學家威塞爾（Christiaan Huygens）通過實驗測定證實了這一理論的正確性，十二平均律才開始在音樂界得到廣泛應(yīng)用。

十二平均律的應(yīng)用極大地改變了音樂的面貌。首先，它使得調(diào)音變得更為精確，從而避免了調(diào)音過程中可能出現(xiàn)的誤差。其次，十二平均律的廣泛應(yīng)用使得音樂創(chuàng)作變得更加自由和靈活，為音樂創(chuàng)新提供了無限的可能。最后，十二平均律為音樂理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，推動了音樂學的發(fā)展。

二、十二平均律的基本運算原理

十二平均律的基本原理為：八度的頻率比為2:1，又可知音程的計算法在律學維度可以通過頻率比的對數(shù)值與音分常數(shù)的乘機獲得，所以音程之間的距離可以通過頻率比乘除結(jié)果的對數(shù)值得到。所以一個八度頻率比為2，那么12 個半音平均為12 份即一個半音頻率比為：

這樣就形成了一種12 個半音距離一樣的平均律制，朱載堉原文是用圓的直徑當作三角形的斜邊，用直徑向圓邊形成一個頂角為直角（由于以圓直徑為斜邊向圓任何一個除它之外的位置做頂圓周的圓周角三角形必為直角三角形），直角邊相等的等腰直角三角形，那么設(shè)直角邊為黃鐘（c），斜邊一定是蕤賓（#f）。其中朱載堉運用的是勾股定理，數(shù)學公式原理為：

從另一個角度即可簡單理解新法密率原則，即是利用三角函數(shù)的方法，還是設(shè)等腰直角三角形直角邊為黃鐘（c）為1，那么斜邊一定是，剛好為蕤賓（#f），因為黃鐘到蕤賓有6 個半音，一個半音要乘以，6 次得：

所以恰好相生之法符合十二平均律的半音比例，總體公式可寫為：

反觀五度相生律與純律，五度相生律的算法為借助弦振的自然泛音列第三與第二泛音的3/2 比值可得702 音分的五度，依此規(guī)律一直向下生；而純律則是借用弦振自然泛音列的三個相生因子，即是自然五度的3/2、自然大三度的5/4和自然小三度的6/5，依此規(guī)律形成純律體系網(wǎng)，從而構(gòu)成其純律音列。對比十二平均律和五度相生律以及純律的運算原理，我們不難發(fā)現(xiàn)，不論五度相生律和純律再怎么運算，它們都是建立在自然的泛音基礎(chǔ)上的，而十二平均律的運算分律法不是以純自然的泛音列比例而運算的，它則是人為將其通過前述一定方法劃分的人工律。

此外，關(guān)于前述十二平均律的算法方面，還有許多學者進行更加垂直且深入的論證，如孫朝平先生的就著眼于把十二平均律為基礎(chǔ)的各個音精確到音分，為大家推算出各個音分和相應(yīng)頻率之間的計算公式，打破了傳統(tǒng)的只是精確到實際的半音精度與頻率的換算，無論是律學還是聲學或物理學的應(yīng)用都是十分便捷的。正如他所提到的“與某一音級相差n 音分的頻率、兩個不同頻率之間相差的音分數(shù)是多少等。有些在‘十二平均律音分頻率對照表’中尚能查到，有些查表恐怕也是很麻煩的，不如使用公式計算來得更方便、快捷?！?/p>

三、十二平均律的概念界定問題

在十二平均律的研究中，前人主要關(guān)注其數(shù)學原理、音樂表演和教育教學等方面。數(shù)學家們研究了十二平均律的數(shù)學原理，如音程的計算和音高的精確度等。音樂表演家則關(guān)注十二平均律在音樂實踐中的應(yīng)用，如鋼琴調(diào)律和對位法等。教育教學家則研究十二平均律在音樂教育中的重要性，如音高訓練和旋律演唱等。無論是何種研究，都離不開對其概念的理解和界定，如若概念模糊不清，則對其的研究也就是模棱兩可的了。關(guān)于其概念界定，這個問題在當今的學術(shù)圈仍然是一個爭議的論題。

早在1983 年，李時中先生就開始提出了十二平均律的命名問題，他明確提出過把“十二平均律”命名為“十二等程律”的設(shè)想；此外，《聲學術(shù)語》中早就提出了把十二平均音階翻譯成“等程音階”較為恰當。在當時具有十分的前沿性，戴念族先生也集中論述過這兩個相關(guān)術(shù)語的混淆問題，他曾明確表示現(xiàn)在學術(shù)圈由于翻譯的問題存在一個概念混淆，比如以巴赫的《平均律鋼琴集》為例，到底該作品用的是不是平均律，最后得出結(jié)論是，其實并不是平均律，而是介于“平均律”和“等程律”之間的一種律。因此，傳統(tǒng)意義上將equal temperament 翻譯為平均律的是存在一些弊端的，而應(yīng)該翻譯為“等程 律”，mean tone temperament，應(yīng)翻譯為平均律，也即是我們傳統(tǒng)所說的“中庸全音律”。正是由于翻譯的混淆，導(dǎo)致大家可能會把文獻想表達的mean tone temperament 理解為equal temperament?！澳壳傲餍杏跇芬艚绾蜕鐣系挠谜Z‘平均律’是指equal temperament（等程律）,而早已消亡了的mean tone temperament（平均律）卻被定名為‘中庸全音律’。mean 和equal 都有極強的數(shù)學傾向：mean 指平均，equal 指相等?！杏埂辉~它并沒有數(shù)學上的‘平均’之義。equal 一詞在數(shù)學上也沒有‘平均’‘拉平’‘均差’之義。”由于西方的mean tone temperament 早已消亡,代替它的是twelve tone equal temperament,所以我們也不難發(fā)現(xiàn)當近年一批學術(shù)新秀登上講臺時,或在頻繁的學術(shù)交流時,流行的“平均律”術(shù)語或《平均律鋼琴曲集》書名,常常自相混淆。音樂學或音樂聲學中的“平均律”（mean tone temperament）和“等程律”（equal temperament）不能再以訛傳訛下去了,務(wù)必及早更正那些錯誤的流行用語。

但我們也可以從另一個角度來看，雖然把equal temperament 說為“平均律”可能不算一個最佳翻譯，但是mean tone temperament 并不是沒有它的名稱（中庸全音律），也即是說二者雖然翻譯可能有欠妥當，但是也是區(qū)別開了的，無論是什么名稱，不管是怎么翻譯，只要大家能區(qū)別開來，并且能理解其中的內(nèi)涵、它的概念，其實某個角度來說也算是達到了其作為概念的目的。不管把equal temperament 說為“平均律”還是“等程律”，mean tone temperament 說為“中庸全音律”還是“平均律”，更重要的是明確一種統(tǒng)一的不存在同一名詞兩種截然不同解釋的模棱兩可的翻譯法，從而杜絕學術(shù)上概念模糊不清的情況出現(xiàn)，可能也是一種問題解決的思路與方向。

十二平均律為音樂家提供了一個標準的音樂系統(tǒng)以及一個音樂表達的基礎(chǔ)框架，音樂家可以在這個框架內(nèi)創(chuàng)造出不同的音樂，包括各種風格的音樂，使得不同的樂器和音樂家之間能夠快速地相互溝通和協(xié)作。這個系統(tǒng)也為音樂家提供了一個共同的知識基礎(chǔ)，使得他們能夠了解音樂理論和創(chuàng)造音樂的基本原則。因此，對音樂界影響如此重要的理論，對其的概念的明確界定是十分迫切且重要的，也是音樂學術(shù)界各個學者需要共同去做的重要工作。

四、十二平均律的未來探索

十二平均律，作為西方音樂的基礎(chǔ)，已經(jīng)在音樂領(lǐng)域使用了數(shù)個世紀。然而，隨著科技的進步和音樂風格的多樣化，十二平均律已經(jīng)開始面臨挑戰(zhàn)。因此本文也要探討一下十二平均律的未來可能的發(fā)展方向，包括其可能的改進和擴展，以及新音樂風格的興起。

首先，對于十二平均律的改進和擴展，已經(jīng)有一些嘗試。一些研究者已經(jīng)嘗試使用非平均的音程和音高，以更準確地表達某些音樂風格的聲音。此外，也有一些研究者嘗試使用分數(shù)音高來細化音程的劃分，以實現(xiàn)更精確的音高控制。這些改進和擴展都可能為十二平均律帶來新的可能性，使其更適應(yīng)現(xiàn)代音樂的多樣性和復(fù)雜性。

其次，新音樂風格的興起也給十二平均律帶來了挑戰(zhàn)。例如，隨著電子音樂和實驗性音樂的流行，人們開始探索新的音高和音程，這些音高和音程可能無法用傳統(tǒng)的十二平均律來表示。因此，這些新的音樂風格可能需要新的音高和音程理論來支持。技術(shù)的進步也可能對十二平均律的未來產(chǎn)生影響，隨著人工智能和機器學習的發(fā)展，人們可能能夠使用算法來生成新的音樂作品，這些作品可能使用非平均的音高和音程。

此外，虛擬現(xiàn)實和增強現(xiàn)實也可能為音樂體驗帶來新的方式，這些技術(shù)也可能需要新的音高和音程理論來支持。隨著科技的進步和音樂風格的多樣化，十二平均律可能需要適應(yīng)和改進。

在中國古代，音樂同天文歷法聯(lián)系在一起。因為祖先們對一年四季、十二個月、三十六十五天等時間概念的總結(jié)和對宇宙秩序的理解，都是借助于對天象的觀測得來.所以相信音樂的和諧是同天地萬物的和諧相聯(lián)系的，是謂：“樂和，天地人和。”它表達了我們的祖先的一種樸素的宇宙觀念和環(huán)境意識，追求人與大自然融洽共存的境界.這與我們今天所關(guān)注的環(huán)境問題本質(zhì)上是完全一致的。未來的研究可能包括探索新的音高和音程理論，使用新的工具和技術(shù)來生成音樂，以及新的音樂體驗方式。通過這些探索，我們可以更好地理解音樂的聲音和可能性，并推動音樂的發(fā)展。

音樂本身就是聲音，筆者認為我們不能僅僅限制于音樂表面的東西，僅僅看見于音樂的表現(xiàn)形態(tài)；也不能只關(guān)注它的外在聽感以及所表達的心理學和美學等人文層面的內(nèi)涵；我們也更加需要的了解它的本質(zhì)規(guī)律。就例如，音樂震動影響音高這一簡單現(xiàn)象來說，眾所周知，常見的生活中的各種聲音它并不是單單純音頻率，而是多個音混合的復(fù)合音，而我們傳統(tǒng)所說的頻率值越大聲音音調(diào)越高也僅僅是在理想的純音條件下，在實際之中也不是這樣的，樂器包括人聲都是復(fù)合音，所以聲音音調(diào)的高低和頻率有關(guān)，但頻率不是單一的決定性因素，就有研究提出了“音調(diào)高低和對每個低頻可分辨諧波的位置編碼和相位鎖定的時間編碼以及對高頻不可分辨諧波的聽覺濾波器通道內(nèi)與F0（基頻）同步的時域周期性的相位鎖定的時間編碼有著必然聯(lián)系”。筆者想要表達的是，律學、聲學等涉及音樂本體性質(zhì)的一些內(nèi)容，是無論從事各類音樂研究者都有需要去了解的東西。同樣，音樂本來就是一門藝術(shù)，如果僅僅從本體層面去機械地剖析它，是無法理解音樂的“血肉”的，所以相反研究音樂本體的相關(guān)研究者們也同樣十分需要去理解音樂被賦予的人文內(nèi)涵。

五、結(jié)語

十二平均律是音樂理論中的一項基本原則，它規(guī)定了音程的基本距離，使得音樂創(chuàng)作和演奏變得更加精確和靈活。在未來，隨著音樂理論和技術(shù)的不斷發(fā)展，十二平均律的應(yīng)用和影響只會有增無減。此外，我們通過在對上述關(guān)于十二平均律的歷史以及未來探索中不難發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，音樂，不只是音樂，現(xiàn)代科學的研究趨勢就是從以前的單方面陳述以及研究逐漸到現(xiàn)在的復(fù)合的邊緣化研究，這是必要的一個過程。比如在音樂學方面，音樂歷史的研究者需要掌握大量歷史學知識，音樂教育學的學者們需要大量了解教育學和心理學的知識，這都不僅僅限制于音樂了。對于十二平均律以及更廣維度的律學方面來說，筆者認為傳統(tǒng)律學想要再次發(fā)展就不得不與聲學相結(jié)合。就筆者簡單的理解，以一個不恰當?shù)谋扔鱽硇稳?，律學可以比作數(shù)理學界的“初等數(shù)學”，想要更深刻的了解音樂，發(fā)現(xiàn)音樂的本質(zhì)規(guī)律，也即是聲音的規(guī)律，必須要深入到不僅限于音樂聲學，還要到物理聲學這個“高等數(shù)學”的探索之中。傳統(tǒng)律學的計算大量運用的都是簡單的數(shù)理和函數(shù)運算，而物理學界的聲學則不同，它運用了大量物理和高等數(shù)學的模型以及現(xiàn)代計算機科學設(shè)備，是與時代結(jié)合的，對探索研究聲音的本質(zhì)是必然的，也是我們音樂學者不可或缺要做的功課之一。

時代與科技在不斷地發(fā)展，人們對事物的理解也越來越深。當下音樂不僅僅作為一門學科、一門藝術(shù)，它更是滲透著人們的生活，不同人們對它的理解也是不同的。因此我們音樂研究者更是要多多了解學習音樂的各方面知識，這樣才能更加全面，更加深刻地理解音樂，研究出對音樂這門學科的發(fā)展有意義的東西來。