江小蘋

摘要：2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。我們?cè)诮鉀Q小學(xué)階段的各個(gè)領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)學(xué)好玩）中相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要從問題入手，弄清楚問題與已知信息之間的關(guān)系，為了解決問題，需要用已知信息進(jìn)行一系列的認(rèn)知操作，如果操作成功，問題就得到了解決。本文主要是從知識(shí)的本質(zhì)方面入手，弄清知識(shí)的前世今生以及后延，利用結(jié)構(gòu)化來助推問題的解決，以此感悟結(jié)構(gòu)化的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化? ? 問題解決? ? 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是新課標(biāo)倡導(dǎo)的核心素養(yǎng)之一。模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識(shí)。在解決問題時(shí)，學(xué)生初步感知建模的基本過程，感悟數(shù)學(xué)模型可以解決一類問題，模型應(yīng)用具有普遍性。本文主要想讓學(xué)生在解決問題的過程中，體會(huì)模型結(jié)構(gòu)化的優(yōu)勢(shì)。

一、充分運(yùn)用結(jié)構(gòu)化，體會(huì)運(yùn)算的一致性

運(yùn)算的一致性是核心素養(yǎng)（2022版課程標(biāo)準(zhǔn)）強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。如何充分運(yùn)用結(jié)構(gòu)化，體會(huì)運(yùn)算的一致性，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力呢？我將舉一些例子加以說明。

例，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)的第3單元“乘法”中的第1課時(shí)“衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間”，學(xué)習(xí)內(nèi)容是三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法計(jì)算。在學(xué)習(xí)這內(nèi)容之前，我先把三年級(jí)上冊(cè)兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理及算法匯總在下表中。

★第一個(gè)問題：每個(gè)游泳圈12元，買三個(gè)游泳圈需要多少錢？

這個(gè)問題運(yùn)用了兩種方法，加法：12+12+12，乘法：12×3。

★第二個(gè)問題：每行14人，共有12行，有多少人參加表演？

這個(gè)問題也可運(yùn)用兩種方法，加法：14+14+…+14? ?乘法：14×12。

從意義上來看，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，都是在算總數(shù)，都是多少個(gè)計(jì)數(shù)單位的累加?？梢?，當(dāng)相同加數(shù)的個(gè)數(shù)比較多時(shí)，我們選擇乘法列式比較簡(jiǎn)單。從算理、算法上來看，兩位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算方法一樣，都運(yùn)用了乘法分配律：先拆分，再乘，最后合起來。

如圖中楊樹每捆有20棵，3捆一共有多少棵？我覺得方法⑦是一個(gè)很好的一個(gè)策略，運(yùn)用了列舉法，滲透了類推思想。1表示1個(gè)20，2表示兩個(gè)20，或者是在20的基礎(chǔ)上再加20，3表示3個(gè)20，或者在40的基礎(chǔ)上再加20。學(xué)生在寫的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)求幾個(gè)幾的多少，可以用加法，也可以用乘法來列式。但是有的學(xué)困生在學(xué)完乘法和除法之后，往往不知道什么時(shí)候用除法什么時(shí)候用乘法，就這樣寫著寫著，在理解知識(shí)本質(zhì)的過程中自然而然就會(huì)了。把整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的方法遷移到兩位數(shù)乘一位數(shù)中去，就迎刃而解了。比如，方法①是把乘法轉(zhuǎn)換成加法。這是一個(gè)很好的策略，在后面的小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法中會(huì)用到。方法②③④的算理是相同的，都運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，結(jié)合點(diǎn)子圖、表格等，把兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化成一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、一位數(shù)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，即方法③把12分成2個(gè)6，先算6×3=18，18＋18=36；②④把12分成10和2，再10和2分別與3相乘，最后把結(jié)果合起來，其實(shí)就是乘法分配律的運(yùn)用；方法⑤和⑥是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，與兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法一致。再往前思考，無論怎么拆分，其實(shí)都要運(yùn)用到乘法口訣，這更體現(xiàn)了運(yùn)算的一致性。

回顧用結(jié)構(gòu)化解決問題的策略過程中，解決問題的方法也形成結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)。猜想求21個(gè)114怎么列式？114×21可以拆、乘、合嗎？學(xué)生通過前面結(jié)構(gòu)化的復(fù)習(xí)，很容易方法遷移，快速解決問題。

學(xué)生也可以借助點(diǎn)子圖，動(dòng)手畫一畫，對(duì)比表格和豎式，在算法多樣化中理解算理。比如，先算7個(gè)114的結(jié)果是798。有3個(gè)這樣的798，就是 2394。

通過方法和知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，學(xué)生的運(yùn)算能力得到提高，推理能力得到發(fā)展。

二、在結(jié)構(gòu)化問題解決中，體會(huì)方法的一致性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終的指向是問題解決。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生的善于思考習(xí)慣，更加重視教學(xué)過程，而不是教學(xué)結(jié)果。結(jié)構(gòu)化教學(xué)可以喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，便于知識(shí)的遷移，讓問題解決更簡(jiǎn)單，可見，在遷移與應(yīng)用中進(jìn)行實(shí)踐，是結(jié)構(gòu)化的創(chuàng)新高地。比如，學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)以后，可以進(jìn)行這樣變式練習(xí)。

★根據(jù)題意，選出其中一個(gè)信息列出算式或方程，不計(jì)算。

水果店運(yùn)來蘋果120千克，? ? ? ? ? ?運(yùn)來梨多少千克？

⑴ 運(yùn)來的梨是蘋果的[14]；⑵ 運(yùn)來的梨是蘋果的25%。

⑶運(yùn)來的蘋果是梨的[14]；⑷ 運(yùn)來的蘋果是梨的25%。

⑸運(yùn)來的蘋果比梨少[14]；⑹ 運(yùn)來的蘋果比梨多25%。

收集到學(xué)生的下回答，如下：

⑴列式為120×[14]；⑵列式為120×25%，

⑶列式為120÷[14]；（4）列式為120÷25%；

⑸列式為120÷（1－[14] ）；（6）列式為120÷（1＋25%）。

發(fā)現(xiàn)：[14] 、25% 都表示的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系?？梢?，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，我們解決相關(guān)問題時(shí)，思考方法是一樣的。

三、通過結(jié)構(gòu)化的問題設(shè)計(jì)， 培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力

數(shù)學(xué)建模是新課標(biāo)倡導(dǎo)的核心素養(yǎng)之一。模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識(shí)。在解決問題時(shí)，學(xué)生初步感知建模的基本過程，感悟數(shù)學(xué)模型可以解決一類問題，模型應(yīng)用具有普遍性。

例，學(xué)習(xí)了圓柱與圓錐以后，可以進(jìn)行這樣的練習(xí)題：一個(gè)圓柱形容器的底面直徑是10厘米，容器里面水深5厘米。放入小鐵塊后，水面高度是7厘米。求小鐵塊的體積。

這個(gè)問題與我們五年級(jí)時(shí)，求長(zhǎng)方體容器里不規(guī)則物體的體積方法一樣，用底面積×水面升高的高度，就求得不規(guī)則物體的體積。即V長(zhǎng)=S底h升?；谥R(shí)結(jié)構(gòu)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體體積、容積有關(guān)的知識(shí)，然后遷移到求圓柱形容器中不規(guī)則物體體積，問題就迎刃而解了。

知識(shí)結(jié)構(gòu)化可以讓我們把散亂的知識(shí)點(diǎn)，組成的立體式的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生感悟到知識(shí)點(diǎn)不是孤立的，而是相互聯(lián)系的。同時(shí)促使我們解決問題的方法也結(jié)構(gòu)化，讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一句空話。

接著做練習(xí)題：一個(gè)長(zhǎng)方體容器從里面量長(zhǎng)是19厘米，寬是12厘米。里面裝有一些水，水深為9厘米。放入一個(gè)石頭后，水面上升到13厘米.求石塊的體積。通過計(jì)算交流。學(xué)生有兩種解決問題的方法。通過展示這兩種方法，學(xué)生積累解決問題的策略，并建立計(jì)算不規(guī)則物體體積的模型。

方法一：

V水：19×12×9 =2052（立方厘米）

V石+V水：19×12×13=2964（立方厘米）

V石：2964-2052=912（厘米?）

方法二：

V石： 19×12×13-19×12×9=19×12×（13-9）=228×（13-9）=912（立方厘米）

在學(xué)生掌握了上述方法之后，學(xué)生們很快就有了解決問題的策略。我讓學(xué)生們計(jì)算圓柱形容器里不規(guī)則物體的體積。大部分學(xué)生看到這道題，臉上露出了喜悅之情，直說“簡(jiǎn)單”。有學(xué)生用第1種方法。求出了小鐵塊的體積。根據(jù)圓柱體積公式，先求出水的體積。再求出石頭和水的體積。用石頭和水的體積減去水的體積，就是石頭的體積。于是我讓他們?cè)俳⒁粋€(gè)模型。像圓柱形的容器里面有一些水，加入一個(gè)不規(guī)則的物體，水淹沒了物體，怎樣求不規(guī)則物體的體積？如果把所有的不規(guī)則的物體，比如石頭、磚塊兒鐵塊等都看成石頭，你們能建立一個(gè)模型，幫助不會(huì)解決這類問題的人解決問題嗎？

于是多數(shù)學(xué)生都能建立下列模型：

方法一：V水=πr?h1? ?V石+V水=πr?h2? ? ?V石=（V石+V水）-V水=πr?h2—πr?h1

方法二：V石=（V石+V水）-V水 = Sh2—Sh2=S（h2-h1）

學(xué)生建立了在圓柱形容器中求不規(guī)則物體的體積的模型，然后再舉例子驗(yàn)證這個(gè)模型。兩人一組舉例看看。他們用方法二和方法一進(jìn)行計(jì)算，并驗(yàn)證模型的合理性。然后全班交流，驗(yàn)證模型的普遍性。對(duì)于理解能力一般的學(xué)生，他們喜歡用方法一。而思維比較好的學(xué)生更喜歡方法二。這也體現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的收獲。沒有經(jīng)過學(xué)生組織的知識(shí)，納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)，都不能被學(xué)生真正的理解和吸收。而通過驗(yàn)證，學(xué)生才能體會(huì)探究的樂趣。

四、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)重建教師的教學(xué)觀

教學(xué)改革由學(xué)科本位轉(zhuǎn)變?yōu)橐匀说陌l(fā)展為本位，教師需要樹立新的教育觀念。且新課標(biāo)要求教師必須具備整體性把握學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力，設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，適應(yīng)教學(xué)新形式要求，教師需要重建教育觀。

（一）把結(jié)構(gòu)化的知識(shí)串連起來

教材存在著內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，教師要做的就是把這些結(jié)構(gòu)化的知識(shí)聯(lián)系起來。如，學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、比、正比例、反比例以后，我們可以從結(jié)構(gòu)化思想出發(fā)，把相關(guān)的知識(shí)串成串，變中抓不變。

（二）設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容

教師的教是為了學(xué)生的學(xué)。教學(xué)是有機(jī)的整體，學(xué)生有了解決問題的經(jīng)驗(yàn)，有了學(xué)習(xí)的樂趣。變要我學(xué)為我要學(xué)，讓教與學(xué)達(dá)到和諧的境地，但這需要教師在課前做好充分的準(zhǔn)備。

比如在學(xué)習(xí)按比例分配時(shí)，如果只看教材內(nèi)容表象，學(xué)生在學(xué)完按比例分配后，解決問題就有困難。課后的練習(xí)中有已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)以及長(zhǎng)與寬的比，求長(zhǎng)方形的面積。很多學(xué)生就會(huì)直接把周長(zhǎng)來按比分配，認(rèn)為求出的是長(zhǎng)和寬，用長(zhǎng)乘寬就算出長(zhǎng)方形的面積，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。這是學(xué)困生普遍存在的問題，教師在教學(xué)這節(jié)課之前，先理清長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的實(shí)際意義：周長(zhǎng)表示兩條長(zhǎng)與兩條寬的和。直接用周長(zhǎng)按比例分配得到的是兩條長(zhǎng)與兩條寬，而我們要求面積，實(shí)際上在數(shù)長(zhǎng)方形里有多少個(gè)面積單位，長(zhǎng)（表示一排有多少個(gè)面積單位）乘寬（有幾排這樣的面積單位），因此要把先周長(zhǎng)除以2，再按比例分配，就可求出正確答案。教師正確引導(dǎo)，從知識(shí)本質(zhì)出發(fā)，厘清知識(shí)的來龍去脈，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化中抓核心，學(xué)習(xí)就很輕松了。

教師的改變，學(xué)生不僅獲得了知識(shí)，增長(zhǎng)智力，德育也在不知不覺中滲透，教師的一點(diǎn)點(diǎn)改變，對(duì)于幾十個(gè)學(xué)生來說就是巨大的改變。教師要與時(shí)俱進(jìn)，為了學(xué)生的成長(zhǎng)，不斷更新教育觀念，教師教育觀的轉(zhuǎn)變，是要給課堂帶來變化?！白儭笔沁^程，“變”是方法，“變”更是目標(biāo)。

內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化是實(shí)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)向?qū)W科核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的策略。聚焦核心素養(yǎng)，在解決問題的過程中去體會(huì)結(jié)構(gòu)化的優(yōu)勢(shì)，從而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。