夏玉梅

摘 要：數(shù)學(xué)命題教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重難點(diǎn)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)載體.研究從數(shù)學(xué)命題教學(xué)的現(xiàn)狀出發(fā)，提出基于核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)命題課的設(shè)計(jì)原則，在此基礎(chǔ)上以“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”為支點(diǎn)，展示核心素養(yǎng)視域下命題教學(xué)的實(shí)踐探索.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)命題教學(xué);根與系數(shù)的關(guān)系

課程目標(biāo)是數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”確定為數(shù)學(xué)課程的育人指向，即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)^［1］.回顧近年來(lái)關(guān)于核心素養(yǎng)的研究，較多指向理論研究，且關(guān)于教學(xué)策略的研究也以說(shuō)理為主，研究操作性不強(qiáng).命題教學(xué)作為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)載體，往往容易被教育工作者所忽視.研究基于核心素養(yǎng)提出數(shù)學(xué)命題課的設(shè)計(jì)思想，以蘇科版“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”這一具體案例為支點(diǎn)，嘗試探究出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)命題課的落腳點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn).

1 基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)命題課的設(shè)計(jì)思想

1.1 基于認(rèn)知，理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)^［1］.實(shí)際上，中學(xué)教師并不缺乏核心素養(yǎng)的理論知識(shí)，也熟悉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定義，但對(duì)其內(nèi)涵的理解還不夠深入，這不利于教師將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)化為設(shè)計(jì)教學(xué)的依據(jù).近年來(lái)，眾多教育研究者就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了自己的見(jiàn)解，如有研究者在整合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體從數(shù)學(xué)的角度觀察事物，并借助數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者現(xiàn)實(shí)生活情境中相關(guān)問(wèn)題的綜合能力以及個(gè)體所持有的數(shù)學(xué)情感態(tài)度、價(jià)值觀等^［2］.教師不應(yīng)該故步自封，應(yīng)嘗試領(lǐng)略教育研究者的學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴，結(jié)合自身的認(rèn)知及教育經(jīng)驗(yàn)，深入理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，逐步形成自己獨(dú)到的見(jiàn)解.

1.2 研讀教材，明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的，它往往以數(shù)學(xué)知識(shí)為依托，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中慢慢生長(zhǎng).教師作為數(shù)學(xué)教材與學(xué)生之間的傳話者，開(kāi)發(fā)出教材中涵蓋的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)進(jìn)一步在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著舉足輕重的作用.

數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)主要是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、法則等內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容比較抽象，教師對(duì)命題教學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的挖掘也普遍出現(xiàn)難點(diǎn).實(shí)際上，一個(gè)單元或一堂課，不可能只涉及一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算幾乎在所有的數(shù)學(xué)課中都有體現(xiàn)^［3］.教師應(yīng)以教育研究者研究教材的視角看問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)優(yōu)秀教師如何挖掘命題課中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，嘗試以高觀點(diǎn)的視角審視、反思自己的挖掘情況，從而明確教材中核心素養(yǎng)的體現(xiàn)之處.

1.3 合理設(shè)計(jì)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)命題教學(xué)相較于數(shù)學(xué)概念而言，往往更具抽象性、邏輯性.傳統(tǒng)的命題教學(xué)往往是灌輸式的，部分教師在教學(xué)中普遍會(huì)出現(xiàn)“直接給出數(shù)學(xué)命題，再讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)即可”的情況，這有礙于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.數(shù)學(xué)命題的教學(xué)設(shè)計(jì)要力求凸顯本節(jié)課的核心法則、典型思維，教師應(yīng)努力踐行在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一方面，教師可以以多個(gè)優(yōu)秀教師的教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)習(xí)對(duì)象，嘗試以他人的視角審視、反思自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，初步設(shè)計(jì)出能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過(guò)程；另一方面，教師可以根據(jù)學(xué)生的層次，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)那榫匙鳛閷W(xué)生命題學(xué)習(xí)的載體，讓他們親身去經(jīng)歷命題的發(fā)現(xiàn)、探索過(guò)程，在課堂中真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

為了讓核心素養(yǎng)視域下的命題教學(xué)更具實(shí)踐性，研究以“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”為支點(diǎn)，結(jié)合設(shè)計(jì)思想分析該課的教學(xué)背景，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行教學(xué)案例設(shè)計(jì).

2 教學(xué)背景分析

在課程準(zhǔn)備階段，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的原有基礎(chǔ)，結(jié)合課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，明晰學(xué)生應(yīng)達(dá)到的素養(yǎng)目標(biāo)層次.

2.1 素養(yǎng)分析

蘇科版教材從問(wèn)題情境入手，通過(guò)讓學(xué)生觀察具體方程及相應(yīng)根的關(guān)系，結(jié)合適當(dāng)?shù)奶崾菊Z(yǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生提出猜想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生證明猜想，鍛煉學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，最后在適當(dāng)時(shí)機(jī)提供針對(duì)性的例題，幫助學(xué)生強(qiáng)化知識(shí).

2.2 學(xué)生診斷分析

本課的教學(xué)對(duì)象是初中三年級(jí)學(xué)生，他們較好地儲(chǔ)備了用多種方法解一元二次方程等數(shù)學(xué)知識(shí)，了解了由特殊到一般的思想方法.該階段的學(xué)生更偏向于從直觀、形象的角度認(rèn)識(shí)事物，雖然他們可能有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和推理興趣，但更關(guān)注問(wèn)題應(yīng)用.

2.3 素養(yǎng)目標(biāo)分析

借助喻平教授關(guān)于核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架^［3］，確定該節(jié)課的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成的各水平表現(xiàn)，具體如表1所示.

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以基于學(xué)生的原有水平，確定學(xué)生所應(yīng)達(dá)到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)層次，再根據(jù)目標(biāo)逆向設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程.

3 教學(xué)案例設(shè)計(jì)

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)命題課，設(shè)計(jì)思路主要采用問(wèn)題解決模式，即以“問(wèn)題情境—引入命題—命題證明—命題應(yīng)用”為主線建構(gòu)教學(xué)，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地課堂的同時(shí)，也力求還原命題該有的“味道”.

環(huán)節(jié)1 知識(shí)回顧，導(dǎo)入新知

問(wèn)題1：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何求一元二次方程的根，回顧一下有哪些方法呢？

問(wèn)題2：對(duì)于ax²+bx+c=0（a≠0），當(dāng)判別式大于等于0時(shí)，你能說(shuō)出一元二次方程的求根公式嗎？求根公式揭示了一元二次方程的兩根與系數(shù)間的直接關(guān)系，那么一元二次方程的根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢？這就是本節(jié)課我們要繼續(xù)研究的問(wèn)題——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題1幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，讓不同層次的學(xué)生均能夠參與其中，同時(shí)也為本節(jié)課的探索之路做預(yù)熱練習(xí).根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行引導(dǎo)、跟進(jìn)提出問(wèn)題2.利用問(wèn)題2讓學(xué)生明白前后所學(xué)知識(shí)有必然聯(lián)系，但是沒(méi)有告訴學(xué)生是怎樣的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，同時(shí)引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容.

環(huán)節(jié)2 合作探究，探索新知

小組合作 將學(xué)生分為A，B，C，D，E五個(gè)組，讓其按順序分別對(duì)應(yīng)完成下面5個(gè)方程的求解，見(jiàn)表2.

問(wèn)題3：觀察表2，你能發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？（若學(xué)生找不出關(guān)系，教師則展示整理后的數(shù)據(jù)表，見(jiàn)表3）

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)學(xué)生不能注意到根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師給予適當(dāng)暗示，幫助學(xué)生建立最近發(fā)展區(qū).此外，教師故意將這五個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)均設(shè)置為1，1作為分母時(shí)通常會(huì)省略，容易導(dǎo)致學(xué)生得出：“兩根之積與常數(shù)項(xiàng)相等，兩根之和與一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)”這樣的錯(cuò)誤猜想，教師順勢(shì)提出問(wèn)題4，提醒學(xué)生注意根與系數(shù)的關(guān)系與方程的二次項(xiàng)系數(shù)相關(guān).

問(wèn)題4：利用得出的猜想，嘗試驗(yàn)證之前提出的猜想是否正確？（注意可以關(guān)注之前沒(méi)有涉及到二次項(xiàng)系數(shù).）

⑥ 2x²-5x-3=0；

⑦ 3x²-7x+4=0.

設(shè)計(jì)意圖：方程①～⑤得出的錯(cuò)誤猜想，在方程⑥和⑦中被推翻.在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生明白進(jìn)行猜想時(shí)不能只參考特殊的例子，應(yīng)該聚焦于更一般的例子，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)猜想、能合理猜想的能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的教學(xué)抽象能力.

幾何畫(huà)板演示：教師用幾何畫(huà)板演示更多案例（見(jiàn)圖1），讓學(xué)生從最直觀的角度驗(yàn)證猜想的合理性.隨著一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)的改變，根與系數(shù)的關(guān)系都滿足猜想.

素養(yǎng)培養(yǎng)：教師將課堂交給學(xué)生，以小組合作的方式，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、描述規(guī)律，經(jīng)歷從特殊到一般的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)而獲得思維的碰撞、能力的提升、情感的交流、思維的延伸，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、推理能力.

環(huán)節(jié)3 驗(yàn)證猜想，得出定理

問(wèn)題5：既然有了猜想，就需要驗(yàn)證猜想的正確性.我們由求根公式發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)之間存在著聯(lián)系，你能從這個(gè)角度來(lái)證明猜想嗎？

素養(yǎng)培養(yǎng)：教師引導(dǎo)學(xué)生證明猜想，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證及運(yùn)算能力.同時(shí)在證明時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生從不同視角理解、分析、解決同一問(wèn)題，發(fā)散了學(xué)生的思維.最后再借助課下思考題培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力.

環(huán)節(jié)4 例題講解，強(qiáng)化新知

例1 若x₁、x₂是下列方程的兩根.嘗試不解方程，求出兩根之和與兩根之積.

（1） x²+2x-5=0；

（2） 2x²+x=1.

反思：想一想：求出兩根之和以及兩根之積的關(guān)鍵是什么？

例2 若方程2x²-mx-9=0的一個(gè)根為-3，求另一根及m的值.（教師可以適當(dāng)提示學(xué)生，如圖2）

例3 小明、小華、小亮分別求出了方程9x²+6x-1=0的根，請(qǐng)判斷誰(shuí)的答案正確？

設(shè)計(jì)意圖：例1例3幫助學(xué)生鞏固了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體會(huì)根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的巧妙運(yùn)用.在解題時(shí)也讓學(xué)生注意到利用韋達(dá)定理之前，需要先將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，以便找準(zhǔn)系數(shù)，熟練公式的結(jié)構(gòu)，為后面解決難度系數(shù)較高的題目打?qū)嵏?

環(huán)節(jié)5 師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

總結(jié)1 本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？教師展示圖3.

總結(jié)2 我們是如何研究本節(jié)課的知識(shí)的？教師展示圖4.

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)1讓學(xué)生在互動(dòng)中歸納總結(jié)、理順知識(shí)，進(jìn)一步突出了學(xué)習(xí)內(nèi)容的重難點(diǎn)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)他們優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.總結(jié)2通過(guò)流程圖讓學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)點(diǎn)涵蓋的思想方法，滲透由特殊到一般的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律.

環(huán)節(jié)6 課后閱讀，拓展延伸

課外閱讀：公元前1800～1600年的古巴比倫時(shí)期，數(shù)學(xué)泥板上就記載關(guān)于給定兩數(shù)的和與積，求兩數(shù)的問(wèn)題；三國(guó)時(shí)期，趙爽（約公元182～250）在研究勾股弦三邊互求的方法中，也提到已知兩數(shù)的和與積，分別求兩個(gè)數(shù).16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹（1501～1576）、法國(guó)數(shù)學(xué)家佩勒蒂耶（1517～1582）、意大利數(shù)學(xué)家邦貝利（1526～1572）均發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間存在聯(lián)系.1591年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540～1603）正式以定理的形式給出方程的根與系數(shù)的關(guān)系.1629年，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾將定理推廣到一元ｎ次方程，并對(duì)正根、負(fù)根、虛數(shù)根以及重根都成立，且發(fā)現(xiàn)冪和公式.

設(shè)計(jì)意圖：了解韋達(dá)定理的歷史發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的精髓，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí).

4 結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)指向課程的育人目標(biāo)，它強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)人的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.研究對(duì)核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)命題的教學(xué)提出相應(yīng)的設(shè)計(jì)思想，并在此基礎(chǔ)上以“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”為例進(jìn)行具體分析，為教師提供了可操性強(qiáng)、目標(biāo)指向明確的教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù).新課程理念下，如何將課程目標(biāo)落實(shí)到具體教學(xué)、讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)生根落地并轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)行動(dòng)力，還需要更多的實(shí)踐探討.

參考文獻(xiàn)：

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