張萍 孫孜

摘 要：蘇教版和人教A版教材在《平面向量》這一章的編寫(xiě)上有諸多不同.文章立足數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，從編排順序、章首語(yǔ)情境、內(nèi)容變化、單元小結(jié)等角度進(jìn)行對(duì)比分析.面對(duì)新教材，教師在實(shí)施新課程教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)優(yōu)化自己的教學(xué)，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；平面向量；人教A版；蘇教版

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）已經(jīng)頒布實(shí)施，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在某些教學(xué)內(nèi)容的要求上有了變化，同時(shí)與2017年版課標(biāo)配套的教材也在全國(guó)逐步使用.那么在新一輪課程改革的背景下，如何準(zhǔn)確把握新教材的教學(xué)內(nèi)容、開(kāi)展新課程的教學(xué)呢？筆者以為：在實(shí)施具體內(nèi)容教學(xué)之前，首先應(yīng)當(dāng)通過(guò)學(xué)習(xí)、研究《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，理解教學(xué)內(nèi)容的地位、價(jià)值與目標(biāo)要求；其次，對(duì)新、舊教材進(jìn)行比較研究，把握新、舊教材的聯(lián)系與區(qū)別，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)、開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)、確定教學(xué)策略，實(shí)施課堂教學(xué)，這樣才能精準(zhǔn)地把握《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).下面以“平面向量”為例，分享自己開(kāi)展新課程教學(xué)的實(shí)踐與思考.

1 研究課標(biāo)，深刻理解教學(xué)內(nèi)容

在開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)前，首先要學(xué)習(xí)研究課程標(biāo)準(zhǔn)，理解教學(xué)內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位、價(jià)值，準(zhǔn)確把握相應(yīng)內(nèi)容的教學(xué)要求，并理解《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于該內(nèi)容的教學(xué)提示.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容劃分為如下四條主線(xiàn)——函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng).“幾何與代數(shù)”這一教學(xué)主線(xiàn)，起著“突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過(guò)“形”與“數(shù)”的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解”的作用.《平面向量》作為“幾何與代數(shù)”主線(xiàn)的第一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)了向量作為溝通代數(shù)與幾何問(wèn)題的橋梁作用.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“平面向量”內(nèi)容作了如下闡述：

1.1 平面向量的地位和作用

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量是描述直線(xiàn)、曲線(xiàn)、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ).在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要的作用.”^［1］

從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“平面向量”的地位與價(jià)值的論述，可以發(fā)現(xiàn)：

（1） 向量具有“數(shù)形兼?zhèn)洹钡奶攸c(diǎn)，利用向量可以實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”之間的有效溝通：盡管向量是從“數(shù)”與“形”兩個(gè)不同的角度去表征數(shù)學(xué)對(duì)象，但是它們的表征結(jié)果卻是完美統(tǒng)一的.從而讓學(xué)生逐步形成辯證思維，學(xué)會(huì)從不同的角度觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

（2）向量具有工具性的價(jià)值，是后續(xù)學(xué)習(xí)的工具，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有重要的作用.

1.2 平面向量的教學(xué)要求

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《平面向量》內(nèi)容提出了如下的要求：本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生理解向量的幾何意義與代數(shù)意義；掌握平面向量的概念、運(yùn)算、基本定理以及應(yīng)用；用向量語(yǔ)言、方法表述和解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的問(wèn)題.^［1］此外，還給出了具體的教學(xué)提示.

1.3 平面向量的教學(xué)提示

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“平面向量”內(nèi)容提出了相應(yīng)的教學(xué)提示：在平面向量及其應(yīng)用教學(xué)中，應(yīng)從力、速度、位移等實(shí)際情境入手，從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度理解向量的概念與運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比的方法探索實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的共性與差異.可以通過(guò)力的分解引出向量基本定理，建立基的概念和向量的坐標(biāo)表示；可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問(wèn)題.例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所作的功，利用向量解決與平面內(nèi)兩條直線(xiàn)平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題等；對(duì)于向量的非正交分解只要求學(xué)生一般了解，不必展開(kāi).”

教學(xué)提示的核心，就是建議老師們關(guān)注實(shí)際情境，從物理、代數(shù)、幾何等角度（并非單一角度）理解向量的概念和法則.這樣有利于學(xué)生明白向量源于實(shí)際問(wèn)題，在學(xué)習(xí)掌握了相應(yīng)概念和法則之后，又可應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題.從而，能夠幫助學(xué)生更好地理解向量的工具性?xún)r(jià)值.

2 分析教材，選擇組織教學(xué)材料

在進(jìn)行教材分析時(shí)，建議老師們能夠比較、分析不同版本的教材在教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式的異同，選取、組織教學(xué)材料，真正地做到用教材而非教教材.2017年版課標(biāo)“人教A版”教材和“蘇教版”教材在“平面向量”內(nèi)容的呈現(xiàn)上有如下特點(diǎn)：

2.1 向量在教材中的章節(jié)位置不同

蘇教版將“平面向量”這一內(nèi)容穿插在“三角函數(shù)”與“三角恒等變換”之間，為什么這樣安排呢？其目的是為了引導(dǎo)學(xué)生用向量的數(shù)量積來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式及解三角形中的正弦定理和余弦定理；發(fā)揮平面向量的工具性?xún)r(jià)值.

人教A版將“三角恒等變換”這一章并入“三角函數(shù)”合為第五章“三角函數(shù)”，通過(guò)單位圓上兩點(diǎn)間的距離公式證明“兩角差的余弦公式”；把“解三角形”作為“平面向量的應(yīng)用”并入第六章“平面向量”，利用向量來(lái)證明正（余）弦定理.在學(xué)習(xí)了平面向量后，再通過(guò)例題證明“兩角差的余弦公式”.

雖然兩個(gè)版本的教材對(duì)向量?jī)?nèi)容設(shè)置的先后順序有所不同，初次證明“兩角差的余弦公式”也略有區(qū)別，但隨著教材內(nèi)容的推進(jìn)，都十分重視平面向量的工具性?xún)r(jià)值.

因此，在實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中，可以根據(jù)所選教材的知識(shí)與邏輯順序開(kāi)展教學(xué)，避免過(guò)大幅度的內(nèi)容調(diào)整.

2.2 章首語(yǔ)使用的情境內(nèi)容和連續(xù)性不同

人教A版的章首圖通過(guò)物理概念的“位移”來(lái)引入“向量”概念，而蘇教版是通過(guò)物理概念的“力”來(lái)引入“向量”概念.無(wú)論是“位移”還是“力”，本質(zhì)上都是“矢量——既有大小又有方向的量”，并在此基礎(chǔ)上抽象為數(shù)學(xué)的“向量”概念.這兩個(gè)版本的教材都遵循了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，關(guān)注到了物理學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，并利用了物理學(xué)相關(guān)內(nèi)容為“向量”概念的生成創(chuàng)設(shè)合適的情境.

人教A版和蘇教版在章首語(yǔ)的應(yīng)用上又有所區(qū)別：蘇教版將章首語(yǔ)中的“力”貫穿到本章的問(wèn)題情境中，先由“力”生成“向量”概念，再由“力的合成”生成“向量的運(yùn)算”，最后由“力做功”生成“向量的數(shù)量積”.蘇教版之所以這樣設(shè)計(jì)，旨在通過(guò)章首語(yǔ)的情境，構(gòu)造一個(gè)學(xué)習(xí)《平面向量》的“大情境”，使得本章所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)都圍繞章首語(yǔ)的情境而展開(kāi)，為實(shí)施單元教學(xué)做好鋪墊.而人教A版則是從平面向量運(yùn)算出發(fā)，通過(guò)類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)算進(jìn)行探究，從而建立向量的運(yùn)算體系.其設(shè)計(jì)意圖是關(guān)注數(shù)的本質(zhì)，即向量既是形，又是數(shù)，從數(shù)形兩個(gè)方面進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，符合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的觀念——“引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比的方法探索實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的共性與差異”.

在進(jìn)行該部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，可以將兩個(gè)版本教材的呈現(xiàn)方式加以合理地“組合”：在情境創(chuàng)設(shè)上，選用蘇教版的呈現(xiàn)方式，而在向量運(yùn)算的教學(xué)時(shí)，可以選用人教A版的呈現(xiàn)方式.

2.3 向量夾角概念的引入節(jié)點(diǎn)不同

蘇教版將“向量的夾角”這一概念從《向量的數(shù)量積》中移至第一節(jié)課《向量概念》中，而人教A版則出現(xiàn)在《向量的數(shù)量積》這一節(jié).蘇教版為什么會(huì)做這樣的改變？編寫(xiě)者的意圖是什么？筆者認(rèn)為，盡管向量的夾角較多地應(yīng)用于向量的數(shù)量積中，但是在學(xué)習(xí)共線(xiàn)向量時(shí)，往往有不少學(xué)生，對(duì)“兩個(gè)向量夾角為0°或180°時(shí)，兩個(gè)向量即為共線(xiàn)向量”這一結(jié)論的理解存在困難，蘇教版在建立了共線(xiàn)向量概念后，緊接著就給出了“向量的夾角”，可以幫助學(xué)生運(yùn)用向量的夾角直觀地理解“共線(xiàn)向量、相反向量以及相等向量”等一系列概念.此處向量夾角的概念前移，還合理分散了《向量的數(shù)量積》的教學(xué)難點(diǎn).

在教學(xué)中，建議采用蘇教版的呈現(xiàn)方式，在第一節(jié)課《向量的概念》的教學(xué)時(shí)，就進(jìn)行“向量的夾角”的教學(xué).

2.4 投影向量的證明方式不同

由于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)向量的數(shù)量積提出了新的要求：通過(guò)幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影的幾何意義^［1］.蘇教版將“向量的投影以及用投影向量證明向量數(shù)量積的分配律”由選修內(nèi)容變成了正式教學(xué)內(nèi)容.

在進(jìn)行上述內(nèi)容教學(xué)時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，選取恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行教學(xué).

2.5 例題和習(xí)題都有變化

人教A版在例題和習(xí)題的題型設(shè)置上較為豐富，包括畫(huà)圖題、選擇題、判斷題和解答題這4種題型，蘇教版有畫(huà)圖題、選擇題和解答題這3種題型.兩個(gè)版本的教材都將習(xí)題難度劃分為三個(gè)水平——易、中、難.人教A版分為“復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索”，蘇教版則分為“感受·理解、思考·運(yùn)用、探究·拓展”.如前所述，人教A版將“兩角差的余弦公式的證明”作為《平面向量數(shù)量積應(yīng)用》的例題，體現(xiàn)“平面向量”的工具性?xún)r(jià)值；蘇教版在習(xí)題中配備了閱讀題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解和提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.無(wú)論是人教A版還是蘇教版，都在例題和習(xí)題方面進(jìn)行了創(chuàng)新，在例題呈現(xiàn)和習(xí)題設(shè)置上均有變化，讓例題和習(xí)題更好地為師生的教學(xué)服務(wù).

在選擇例題和習(xí)題時(shí)，可以依據(jù)學(xué)生的水平，從不同版本教材中合理選取.

2.6 都關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透

人教A版和蘇教版在本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)束之后都設(shè)置了“閱讀”欄目，蘇教版?zhèn)戎赜谠谧寣W(xué)生了解向量發(fā)展的歷史，引導(dǎo)學(xué)生將“平面向量”的知識(shí)與方法遷移到“空間向量”，為后續(xù)的“空間向量”學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊；而人教A版則重點(diǎn)介紹了我們古代數(shù)學(xué)家秦九韶的“三斜求積”公式和古希臘數(shù)學(xué)家的“海倫公式”，并且啟發(fā)學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行證明.兩個(gè)版本教材都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的滲透.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”，“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”.因此，在教學(xué)中，要始終堅(jiān)持將數(shù)學(xué)文化與教材內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的課程目標(biāo).

2.7 單元小結(jié)各有特色、各有新意

蘇教版的“本章回顧”主要用框圖的形式呈現(xiàn)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法進(jìn)行概括總結(jié).

人教A版在本章結(jié)束之后，安排了“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)、回顧與思考”這兩個(gè)環(huán)節(jié)，其中“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)”以圖表的形式呈現(xiàn)了本章內(nèi)容及邏輯關(guān)系；“回顧與思考”則以問(wèn)題的形式驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，并進(jìn)一步感悟其中的思想方法（如圖2）.

3 優(yōu)化教學(xué)，重視培養(yǎng)核心素養(yǎng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”等六大核心素養(yǎng)，并且指出“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)”.因此，在新課程教學(xué)中，不僅僅要關(guān)注“四基”，應(yīng)當(dāng)時(shí)刻關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科最重要、最根本的素養(yǎng)，在《平面向量》的教學(xué)中，要積極地創(chuàng)設(shè)實(shí)際生活或者物理學(xué)的問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.例如，在建立向量概念時(shí)，可以通過(guò)分析力、速度、加速度、位移有什么共同特征（既有大小、又有方向），再比較這些量與距離、身高、路程、質(zhì)量等量的區(qū)別（只有大小，沒(méi)有方向），在此基礎(chǔ)上，從物理學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中抽象出平面向量的概念.

3.2 發(fā)展四能，形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，尤其在新概念建構(gòu)過(guò)程中，不只是要得到概念，更重要的是要發(fā)展學(xué)生的“四能”，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.例如，在向量運(yùn)算教學(xué)時(shí)，可以類(lèi)比實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，讓學(xué)生主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)并提出研究主題——向量的運(yùn)算，并進(jìn)一步通過(guò)師生的交流互動(dòng)，形成向量的運(yùn)算概念及運(yùn)算法則，在這一過(guò)程中，既發(fā)展了學(xué)生的“四能”，又逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.3 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，提高邏輯推理水平

提高學(xué)生的邏輯推理水平，是數(shù)學(xué)教學(xué)一項(xiàng)極其重要的任務(wù).在教學(xué)中，要通過(guò)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，逐步發(fā)展邏輯思維能力.

例如，進(jìn)行“向量投影”教學(xué)時(shí)，首先提出問(wèn)題：你打算如何求向量a在向量b上的投影？

引導(dǎo)學(xué)生得到向量a在向量b上的投影的幾何表示.接下來(lái)，讓學(xué)生用代數(shù)形式表達(dá)向量a在向量b上的投影向量.

這就需要學(xué)生利用已有向量的數(shù)量積的概念，并結(jié)合投影向量的圖形，通過(guò)邏輯推理，把向量a在向量b上的投影向量變成“向量b方向上的單位向量b/|b|與|a|cos ＜a，b＞的積”.這里，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生自主探究得到結(jié)論.這一過(guò)程，強(qiáng)化了學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)，提高了其邏輯推理水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.