林經(jīng)武

摘 要：數(shù)學(xué)應(yīng)用就是從現(xiàn)實(shí)世界中“抽象出”本質(zhì)與內(nèi)在規(guī)律，再對(duì)這些本質(zhì)與規(guī)律進(jìn)行量化與模型化.初中階段關(guān)注的是應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).素養(yǎng)立意的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用考查將關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一到代數(shù)思維這條主線上.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；考查路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程實(shí)施的評(píng)價(jià)建議環(huán)節(jié)中對(duì)學(xué)業(yè)水平考試的命題原則作了闡述：堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向.以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng).適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設(shè)置要注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，提出有意義的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查.

1 數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)涵外延

“應(yīng)用”在《辭?！分械慕缍ㄊ恰笆褂没?qū)嵱谩保辉跀?shù)學(xué)領(lǐng)域可理解為“抽象出”.美國(guó)學(xué)者D.A.格勞斯（Grouws）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”就是從現(xiàn)實(shí)世界中“抽象出”本質(zhì)與內(nèi)在規(guī)律；應(yīng)用數(shù)學(xué)家波拉克（Henry Pollak）提出：“要用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看世界”，即對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的量化與模型化；我國(guó)學(xué)者任子朝、趙軒認(rèn)為“數(shù)學(xué)應(yīng)用”培養(yǎng)學(xué)生能自覺(jué)地從數(shù)學(xué)的角度觀察、理解、思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.這里的“看”“觀察”等行為動(dòng)詞就是“抽象出”的表征.

初中階段對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用更多關(guān)注的是數(shù)學(xué)模型觀念和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.應(yīng)用意識(shí)主要是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)涵就是對(duì)一些本質(zhì)與規(guī)律進(jìn)行量化與模型化，對(duì)于它的外延可以是各種數(shù)學(xué)內(nèi)部的公理化或理論化體系（純數(shù)學(xué)）的理論研究，也可以是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中具有一定規(guī)律或性質(zhì)的現(xiàn)象研究.

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查路徑

初中數(shù)學(xué)試題命制需將學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一到理性思維這條主線上，因?yàn)槔硇运季S在數(shù)學(xué)素養(yǎng)中起著最本質(zhì)、最核心的作用.因此素養(yǎng)立意的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用考查是有意義的，可觸摸的，只要立足運(yùn)算能力、幾何直觀、推理能力、模型概念等關(guān)鍵能力，考查必然統(tǒng)一到代數(shù)思維這條主線上，所以數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查路徑是可視的、可操作的.

2.1 利用生活實(shí)踐情境，考查模型觀念

從“生活實(shí)踐情境”入手，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象、解決生產(chǎn)實(shí)踐中的問(wèn)題的能力.關(guān)注數(shù)學(xué)模型的抽象、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５倪^(guò)程，在操作的層面上：?jiǎn)栴}抽象時(shí)要引入需要的參數(shù)，建立多元表征，在這個(gè)過(guò)程中對(duì)字母意義的理解是關(guān)鍵；建模時(shí)會(huì)抓住核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，能從表象到本質(zhì)，從具象到一般，找到可以表征的模型；解模時(shí)會(huì)找到原理和方法，將概念和定理具體化并用于相應(yīng)的場(chǎng)景與情境；驗(yàn)?zāi)＜磿?huì)有效監(jiān)控自己的思維過(guò)程，對(duì)自己的問(wèn)題解決過(guò)程有評(píng)價(jià)與反思的意識(shí).這類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查路徑以“抽象—建模—解?！?yàn)?zāi)！睘樽ナ郑P(guān)聯(lián)方程、不等式或函數(shù)等必備知識(shí)，立足數(shù)學(xué)閱讀、運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念等關(guān)鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

案例1：（2022年廈門(mén)市質(zhì)量抽測(cè)第21題）

某旅游區(qū)的湖邊有一個(gè)觀賞湖中音樂(lè)噴泉的區(qū)域，該區(qū)域沿湖邊有一條東西向的長(zhǎng)為32 m的欄桿.考慮到觀景安全和效果，旅游區(qū)計(jì)劃設(shè)置一個(gè)矩形觀眾席，該觀眾席一邊靠欄桿，另三邊用現(xiàn)有的總長(zhǎng)為60 m的移動(dòng)圍欄圍成，并在觀眾席內(nèi)按行、列（東西向?yàn)樾?，南北向?yàn)榱校[放單人座椅，要求每個(gè)座位占地面積為1 m²，且觀眾席內(nèi)的區(qū)域恰好都安排了座位.

（1） 若觀眾席內(nèi)有x行座椅，用含x的代數(shù)式表示每行的座椅數(shù)，并求x的最小值；

（2） 旅游區(qū)庫(kù)存的500張座椅是否夠用？請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)析：命題者以“音樂(lè)噴泉的觀眾席”為問(wèn)題情境，在知識(shí)領(lǐng)域上考查一元一次不等式、二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)；在思想方法上考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、配方法；在學(xué)科素養(yǎng)上考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)、模型觀念.

試題解答：

（1） 解：每行的座椅數(shù)為：60-2x.

因?yàn)闄跅U總長(zhǎng)為32 m，且每個(gè)座位為占地面積1 m²的正方形，所以60-2x≤32，解得x≥14，所以x的最小值為14.

（2） 解：設(shè)觀眾席內(nèi)的座位數(shù)為y，

由題得y＝x（60-2x），其中14≤x＜30，其中x為整數(shù)，所以y＝-2x²+60 x＝-2（x-15）²+450，所以y的最大值為450.

因?yàn)?50＜500，所以庫(kù)存的500張座椅夠用.

答：旅游區(qū)庫(kù)存的500張座椅夠用.

思考：我們知道用數(shù)學(xué)方法解決任何一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，都必須在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間架設(shè)一座“橋梁”，這“橋梁”就是模型的搭建.本題的設(shè)置就是讓學(xué)生找到恰當(dāng)?shù)摹皹蛄骸?，通過(guò)合理的抽象，用“定量化”的語(yǔ)言（如不等式）或結(jié)構(gòu)（如二次函數(shù)模型）來(lái)描述現(xiàn)象中的內(nèi)在規(guī)律并能用這語(yǔ)言與結(jié)構(gòu)解釋.

案例2：（2022年福州市九年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)第9題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類(lèi)乘除捷法》中記錄了這樣的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長(zhǎng)與寬和為60步，問(wèn)長(zhǎng)比寬多多少步？若設(shè)長(zhǎng)比寬多x步，則下列符合題意的方程是（??? ）.

A. （60-x）x=864

B. （60-x/2）·（60+x/2）=864

C. （60+x）x=864

D. （30+x）（30-x）=864

評(píng)析：本題讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用的任務(wù)情境——文化自信：感受數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)之美.讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象——建?！饽！?yàn)?zāi)！钡倪^(guò)程，如在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生應(yīng)明確該模型中的變量是長(zhǎng)與寬的差值，不變量是矩形的面積.學(xué)會(huì)用題目已設(shè)字母來(lái)表征矩形中的長(zhǎng)和寬，感悟代數(shù)思維帶來(lái)解題的順暢感和成就感.

從表1可以看到，不同素養(yǎng)水平上的學(xué)生在這些任務(wù)情境中的表現(xiàn)不一樣，正確率不到50%，難度0.47，區(qū)分度0.70，這是一道區(qū)分度很好的試題.考查學(xué)生數(shù)學(xué)代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念和應(yīng)用意識(shí).

2.2 利用學(xué)習(xí)探索情境，考查應(yīng)用意識(shí)

從“學(xué)習(xí)探索情境”入手，考查學(xué)生在真實(shí)的研究過(guò)程或?qū)嶋H的探索過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，涵蓋學(xué)習(xí)探索與科學(xué)探究過(guò)程中所涉及的問(wèn)題.學(xué)生在解決這類(lèi)情境中的問(wèn)題時(shí)，必須啟動(dòng)已有知識(shí)開(kāi)展智力活動(dòng)，同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用創(chuàng)新的思維方式，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)達(dá)到問(wèn)題解決的目的.這個(gè)過(guò)程中要關(guān)注字母的意義與參數(shù)引入的必要性；關(guān)注情境下模型的建立、求解并解釋的能力.這類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查路徑以“過(guò)程和結(jié)構(gòu)”為抓手，找出試題中的未知結(jié)果與已知信息之間存在的關(guān)系，且把這種關(guān)系表征出來(lái)，同樣關(guān)聯(lián)必備知識(shí)，立足關(guān)鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

案例3：（2022年武漢中考第10題）

幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方.圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是（??? ）.

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

評(píng)析：試題考查學(xué)生對(duì)九宮格的信息提取，借助題目中“每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等”，找出圖（2）中第一列和第一行有公共的數(shù)x，這公共數(shù)是隱藏的，無(wú)需求出，得出左下角的數(shù)是4，以此類(lèi)推.而這些公共的數(shù)（同一量）都可以用不同的方式表達(dá)，而一切存在等量關(guān)系的求值問(wèn)題本質(zhì)上都是方程的問(wèn)題，這便是試題命制要考查學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部抽象出的方程模型.這道試題從題面上看情境簡(jiǎn)單，條件明確.但是如何從傳統(tǒng)應(yīng)用問(wèn)題中直接告知的等量關(guān)系的尋找，遷移到表格功能性作用下抽象出方程的模型是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.學(xué)生由于除對(duì)情境中“九宮格的信息的提取”不熟悉外，還對(duì)題目中“每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等”這一條件的運(yùn)用沒(méi)有找到合適的切入點(diǎn)，導(dǎo)致失分.這道試題經(jīng)過(guò)實(shí)測(cè)算是選拔性很高的試題.

案例4：（2022年福建中考第23題）

如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線.

（1） 求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（2） 在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F.若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan ∠ADB的值.

評(píng)析：本題第（1）問(wèn)略；第（2）問(wèn)解決的最佳路徑是“幾何問(wèn)題代數(shù)解決”，以“過(guò)程和結(jié)構(gòu)”做抓手，探究本題所求“tan ∠ADB的值”與依據(jù)已知條件所呈現(xiàn)出來(lái)圖形中的邊、角等基本元素之間存在的關(guān)系：位置關(guān)系在前、數(shù)量關(guān)系在后，數(shù)量化的幾何變換在圖形中的解決，且把這種關(guān)系用符號(hào)或者由符號(hào)組成的代數(shù)式或方程表征出來(lái)，關(guān)聯(lián)矩形、圓、圓的切線等必備知識(shí)，立足數(shù)學(xué)閱讀、識(shí)圖畫(huà)圖、推理能力、運(yùn)算能力等關(guān)鍵能力，培育代數(shù)思維，發(fā)展模型觀念.

上述呈現(xiàn)的四種解法中，無(wú)論哪種解法，思維過(guò)程都經(jīng)歷“設(shè)未知數(shù)——量的表征——呈現(xiàn)結(jié)果”，這是代數(shù)思維的常見(jiàn)邏輯，代數(shù)代表更多的普遍性和一般性（如運(yùn)算律與公式）；代表著一種思維邏輯（字母與數(shù)一樣可以參與運(yùn)算）；表現(xiàn)的是一種思維方式（已知與未知的同等地位作用），也是命題者對(duì)“學(xué)習(xí)探索情境”這類(lèi)數(shù)學(xué)應(yīng)用的常見(jiàn)命題理念.因此試題命制在一定程度上引領(lǐng)教學(xué)導(dǎo)向，數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)最終走向培育代數(shù)思維，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

3 結(jié)束語(yǔ)

無(wú)論“利用生活實(shí)踐情境，考查模型觀念”的試題命制還是“利用學(xué)習(xí)探索情境，考查應(yīng)用意識(shí)”的試題命制，都在引領(lǐng)教師關(guān)注教學(xué)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)課程本質(zhì)的整體把握、數(shù)學(xué)理解的拓展.對(duì)于教材中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)注字母的引入和使用，關(guān)注數(shù)學(xué)模型的抽象、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５倪^(guò)程，關(guān)注代數(shù)思維的建立與培養(yǎng)，則是意在真正讓學(xué)生做到探中學(xué)，學(xué)中會(huì)、會(huì)中用.

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