許娜

【摘要】雖然平面幾何一直在初、高中數(shù)學(xué)知識(shí)中占有很重要的位置，也深刻地改變了學(xué)生思考的方式，但是在實(shí)際課堂上和指導(dǎo)學(xué)生解題的方式中，教師大多都是使用較為傳統(tǒng)的順向思路的方式指導(dǎo)學(xué)生，而極少使用和學(xué)習(xí)逆向思維，如數(shù)學(xué)里面反證法的講解就在逐漸地淡化.但往往在復(fù)雜的數(shù)學(xué)求解問(wèn)題時(shí)，如果人們從逆向思考開(kāi)始，就能夠發(fā)現(xiàn)一種別樣的方法.這不但可以更精妙地處理數(shù)字上的許多現(xiàn)象，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維的提升開(kāi)發(fā)也將產(chǎn)生非常大的影響.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；勾股定理；逆向思維

1 平面幾何相關(guān)公式中的逆向思維能力

例1 如圖1、圖2所示為直角三角形，求b、c的長(zhǎng)度.

此題目的為勾股定理的運(yùn)用，主要考查學(xué)生通過(guò)合理的逆向思維，對(duì)數(shù)學(xué)公式進(jìn)行變形，使學(xué)生解題變得更加簡(jiǎn)單.

解 （1）b=12；（2）c=10.

分析 （1）因?yàn)橛晒垂啥ɡ砜芍猘2+b2=c2，

所以b=12.

（2）由勾股定理可知a2+b2=c2，

所以c=10.

2 平面幾何相關(guān)定理中的逆向思維能力

例2 請(qǐng)給出原命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，并證明.

解 原命題的逆命題是“如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.

證明如下 如圖3.

所以AD=CD=BD，

因?yàn)锳D=BD，所以∠ABD=∠A，

因?yàn)镃D=BD，所以∠CBD＝∠C，

又因?yàn)椤螦BD＋∠CBD＋∠A＋∠C＝180°，

所以2（∠ABD＋∠CBD）=180°，

所以∠ABD＋∠CBD=90°，

所以∠ABC=90°，

所以△ABC是直角三角形.

通過(guò)勾股定理和逆定理的學(xué)習(xí)，我們可以了解原命題和逆命題之間的轉(zhuǎn)化，其根本就是運(yùn)用了逆向思維的原理.而初中數(shù)學(xué)中的反證法其實(shí)質(zhì)也恰恰就是對(duì)逆向思維的合理運(yùn)用，它可以很巧妙地證明數(shù)學(xué)中很多我們很難證明的命題.

3 平面幾何相關(guān)實(shí)際問(wèn)題中的逆向思維能力

例3 圖4是公路上一涵洞入口的平面直角坐標(biāo)示意圖，點(diǎn)A和D、點(diǎn)B和E分別關(guān)于y軸對(duì)稱，涵洞的弧頂部分BCE可看作拋物線，最高點(diǎn)C離路面AD的距離為8m，點(diǎn)B離路面AD的距離為6m，涵洞寬AD為16m.

（1）求涵洞頂部BCE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）現(xiàn)有一輛寬為4m貨車在裝載貨物后，貨物頂部離路面高為7m，請(qǐng)說(shuō)明此貨車能否安全通過(guò)這個(gè)涵洞？

解 （1）由已知OA=OD=8m，OC=8m，AB=6m.

故C（0，8），B（-8，6）．

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+8，

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得6=a（-8）2＋8，

（2）假設(shè)這輛貨車能在從涵洞正中行駛，則其最右邊到y(tǒng)軸的距離為2m，如圖4.

設(shè)拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作FF1丄AD于點(diǎn)F1，

由于此題涵洞不僅限制寬度，還限制高度，所以對(duì)于貨車是否能通過(guò)涵洞，我們可以打破常規(guī)思路，按以下方法思考.

思路一 根據(jù)此貨車的高度，求出在此高度下涵洞的寬度，即把高度帶入ｙ中，若求出ｘ的值在數(shù)軸上的寬度大于貨車的寬度，那么貨車就可以安全通過(guò)，反之就不能通過(guò).

思路二 根據(jù)貨車的寬度，求出在此寬度下涵洞的高度，如果求出的高度大于貨車的高度，就可以安全通過(guò).

因此解決本題時(shí)，我們不僅帶著問(wèn)題回到題目中，還巧用了題目中的兩個(gè)量.所以我們?cè)诮獯痤}目時(shí)，要多做一些逆向的考慮，打破原有的常規(guī)思路，不是從已知去找尋未知，而是要帶著未知找尋已知.這樣學(xué)生的思路就不會(huì)變得單一，思維也會(huì)更加靈活.

4 結(jié)語(yǔ)

逆向邏輯思維是數(shù)學(xué)教育思維中最關(guān)鍵的思維能力一種，而平面幾何中反逆邏輯思維的訓(xùn)練也必不可少，而逆向邏輯思維對(duì)于平面幾何的教學(xué)也具有非常關(guān)鍵的意義，二者是相互促進(jìn)的.

學(xué)生的初中階段是智力水平發(fā)展的重要階段，因此在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，注重學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，而不是注重應(yīng)試教育.隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，逆向思維的作用也將逐漸得到重視，運(yùn)用也將越來(lái)越廣泛.

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