周文浩

摘? ?要：以洛侖茲曲線和中等收入問(wèn)題為研究對(duì)象，對(duì)收入分配的分組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到參數(shù)估計(jì)值和均方誤差，發(fā)現(xiàn)其與現(xiàn)有的10種洛侖茲曲線相比具有更好的模擬效果。然后利用收入空間法、人口空間法定義中等收入人口。最后利用基尼系數(shù)和極化曲線的思想，給定兩種定義的中等收入人口的測(cè)算方法和數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：洛侖茲曲線；收入空間法；基尼系數(shù)；中等收入

中圖分類號(hào)：F01? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1673-291X（2023）17-0004-03

一、洛侖茲曲線模型

通過(guò)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)概念，這里假設(shè)收入分配的密度函數(shù)為f（x），其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為F（x），且假設(shè)F（x）的反函數(shù)存在，記為F-1（p）。記收入低于或等于x的人口群體占有的收入占總收入的比例為L(zhǎng)（p），則應(yīng)有

L（P）稱之為收入分配的洛倫茲曲線。目前學(xué)界相關(guān)的擬合模型有以下幾種，包括幾何計(jì)算法、分布函數(shù)法與曲線擬合法，幾何計(jì)算法由于其根據(jù)幾何圖形分塊來(lái)計(jì)算基尼系數(shù)，因此相對(duì)比較粗糙，分布函數(shù)法分析較為復(fù)雜，在實(shí)際研究中的應(yīng)用較少，故本文擬采用曲線擬合法，應(yīng)用非線性最小二乘法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

非線性最小二乘法是一種比較實(shí)用的參數(shù)估計(jì)方法。其原理如（2）式所示。

確定其中參數(shù)向量τ的估計(jì)值τ，然后用L（p，τ）=L（p）作為近似的洛倫茲曲線來(lái)進(jìn)行收入分配分析，其中L（p，τ）是定義在[0，1]區(qū)間上、取值于[0，1]區(qū)間的函數(shù)，滿足

即L（p，τ）在[0，1]上是凸增函數(shù)。本文將在后面的研究中略去參數(shù)τ以求表述簡(jiǎn)練。

接下來(lái)本文將設(shè)置合適的模型使L（p，τ）滿足條件（3），近年來(lái)，不少學(xué)者提出了各式各樣的參數(shù)洛侖茲曲線模型。Sarabia構(gòu)造了形如S（p）=PaL（p）η的模型，其中L（p，τ）是參數(shù)洛侖茲曲線模型，Sarabia的模型成立的條件比較苛刻，見定理1：

定理1 當(dāng)α≥0且η≥1，L（p，τ）的三階導(dǎo)數(shù)L'''（p，τ）≥0，此時(shí)S（p）=PaL（p）η滿足洛侖茲定理的條件。

因?yàn)镾arabia的定理要求非常嚴(yán)格，而且η≥1的條件大大限制了模型的擬合效果。王祖祥在Sarabia研究的基礎(chǔ)上改進(jìn)了定理1，提出了定理2：

定理2 設(shè)L（p，τ）滿足洛倫茲曲線的條件且對(duì)于任何p∈[0，1]，有L'''（p，τ）≥0，則當(dāng)α≥0，η≥1/2，α+η≥1時(shí)，PaL（p）η滿足洛侖茲曲線的條件。

接下來(lái)進(jìn)行參數(shù)變換轉(zhuǎn)化成可以應(yīng)用無(wú)約束最小二乘法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)。

令α=（1+α2）sin2b，η=（1+α2）cos2b，β1=sin2c，β2=sin2d（5）

使用Levenberg-Marquardt算法求解非線性最小二乘問(wèn)題，以估計(jì)其中參數(shù)。運(yùn)用matlab軟件可以得到a，b，c，d的估計(jì)值分別為0.7849，1.1682，0.8131，0.8058。將參數(shù)帶入（5）（4）式進(jìn)行擬合可以得到下圖：

上述擬合精度的好壞可以采用以下三種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。

均方誤差（MSE，mean squared error）：

平均絕對(duì)誤差（MAE，mean absolute error）：

最大絕對(duì)誤差（MAS，maximum absolute error）

在這里我們采用第一種標(biāo)準(zhǔn)均方誤差，求得MSE=

5.7891e-005，表明模型擬合精度高。

二、收入空間法和人口空間法

對(duì)于中等收入者的界定是目前學(xué)界研究的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題，一般有兩種界定方法，一種是根據(jù)給定的收入來(lái)界定，比如國(guó)家統(tǒng)計(jì)局城調(diào)總隊(duì)課題組提出家庭年收入6萬(wàn)—50萬(wàn)元為我國(guó)的中等收入上下限以及國(guó)外的一些定性觀點(diǎn)；另一種是根據(jù)人口比例來(lái)界定，主要有固定比例界定方法和食品收入占比的恩格爾系數(shù)界定方法。

中等收入是指在收入方面相對(duì)高收入和低收入處于中等水平的一種狀態(tài)。中等收入受空間條件制約，指它在不同地域受當(dāng)?shù)貤l件限制而有所差別。我國(guó)各地區(qū)的發(fā)達(dá)程度有明顯的地域差別，目前東部地區(qū)中等收入水平高于中西部中等收入水平，城市中等收入水平高于農(nóng)村的中等收入水平。收入是可量化指標(biāo)，中等收入當(dāng)然也可量化，由此需要數(shù)值化的指標(biāo)來(lái)度量中等收入。中等收入者是指全部有收入的人群中，相對(duì)于高收入者和低收入者而言，處于中等水平的一個(gè)群體。因此，中等收入水平必定是個(gè)區(qū)間，有上接近高收入人群的上限和下接近低收入人群的下限，而不是一個(gè)指標(biāo)值。

收入空間法方面本文提出按照中位收入的一個(gè)比例來(lái)確定我國(guó)中等收入者的收入?yún)^(qū)間，其依據(jù)如下：在存在經(jīng)濟(jì)進(jìn)步或通貨膨脹的情形下，收入?yún)^(qū)間的右移也會(huì)導(dǎo)致收入中位數(shù)的右移，這也克服了收入取值的任意性。

相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)自2013年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題：假設(shè)收入屬于（xl，xh）中的人口為中等收入人口，其中xl=0.6m，xh=1.6m，此時(shí)可以求出中等收入范圍和中等收入人口的數(shù)量或范圍。

在人口空間法方面本文將采用基尼系數(shù)的方法來(lái)確定中等收入人口比例，假設(shè)基準(zhǔn)中等收入人口比例為60%，基準(zhǔn)基尼系數(shù)為0.3。當(dāng)基尼系數(shù)提高時(shí)，收入?yún)^(qū)間變得更加稀疏，兩級(jí)分化程度加劇，從而中等收入比例降低，假設(shè)實(shí)際基尼系數(shù)為G，中等收入比例MF為：

很顯然，當(dāng)基尼系數(shù)低，即兩級(jí)分化程度也較低時(shí)，中等收入水平提高，比如基尼系數(shù)為0.1時(shí)，中等收入比例為70%；當(dāng)基尼系數(shù)較高時(shí)，中等收入水平較低，比如基尼系數(shù)為0.9時(shí)，中等收入比例僅為30%。另外在確定人口區(qū)間時(shí)，假設(shè)比例在50%的兩端（即中位數(shù)兩端）均勻分布，比如當(dāng)中等收入比例為60%時(shí)，中等收入人口區(qū)間為20%—80%。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)可得表2。

地區(qū)A相對(duì)年份1來(lái)說(shuō)，年份2的中等收入人口的比例有所降低，地區(qū)B則是第二年的中等收入人口比例有所增加，從表中可以發(fā)現(xiàn)中等收入人口比例與基尼系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、基尼系數(shù)與極化曲線

根據(jù)已經(jīng)得到的收入分配的洛侖茲曲線，我們可以得到描述收入不平等的基尼系數(shù)。

收入分配的兩極分化反映出貧富差距越拉越大，不利于社會(huì)資源的正常流動(dòng)，財(cái)富的過(guò)于集中和分化會(huì)導(dǎo)致“中產(chǎn)階級(jí)”的空洞化。Wolfson提出了一種兩極分化指數(shù)，先定義所謂的第一類極化曲線：

其中F-1是收入分配分布函數(shù)的反函數(shù)，再定義第二類極化曲線：

其中μ是平均收入，L（p）是洛侖茲曲線，最后可以定義兩級(jí)分化指數(shù)為：

W越大，兩級(jí)分化越嚴(yán)重，中等收入人口比例也隨之下降，又因?yàn)閃∈（0，1），因此可以設(shè)計(jì)中等收入比例指數(shù)如下所示：M=1-W，很顯然M∈（0，1），且M越大，中等收入比例越大，反之亦然。

四、模型分析

地區(qū)差異和時(shí)間差異是我們研究的兩個(gè)維度，具體的數(shù)據(jù)來(lái)自2013年研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，數(shù)據(jù)說(shuō)明了兩個(gè)地區(qū)不同年份居民收入的動(dòng)態(tài)變化。下面分別從基尼系數(shù)和中等收入指數(shù)的角度進(jìn)行分析并畫出洛侖茲曲線。根據(jù)模型（4）進(jìn)行非線性最小二乘法估計(jì)參數(shù)并擬合。

由表3可以發(fā)現(xiàn)A地區(qū)從第一年到第二年基尼系數(shù)升高，而中等收入比例增大；B地區(qū)從第一年到第二年基尼系數(shù)降低，而中等收入比例降低。富裕的地區(qū)基尼系數(shù)較小而且第二年得到了改進(jìn)，而較不富裕的地區(qū)隨著年份的增長(zhǎng)，基尼系數(shù)反而上升。因此提高全民的收入，讓收入?yún)^(qū)間右移間接降低了基尼系數(shù)，改善了收入分配。

中等收入指數(shù)的變化趨勢(shì)與基尼系數(shù)是一致的，即收入不平等的加劇會(huì)降低中等收入人口，同時(shí)兩極的人口數(shù)得到了增長(zhǎng)。

通過(guò)模型（4）求出洛侖茲曲線并采用Matlab分別對(duì)兩個(gè)地區(qū)不同年份的曲線進(jìn)行繪制，如圖2所示：

圖中從上至下分別為B2、B1、A1、A2，研究發(fā)現(xiàn)B地區(qū)第二年收入分配的不平等程度最低，同時(shí)A地區(qū)的不平等程度顯著高于B地區(qū)；A地區(qū)第二年收入分配的不平等程度上升而B地區(qū)第二年收入分配的不平等程度下降。收入分配的不平等程度與基尼系數(shù)的變化是一致的。

五、模型評(píng)價(jià)

一是對(duì)洛侖茲曲線模型的構(gòu)建參考了Sarabia的定理進(jìn)行了建模，模型參數(shù)較多可以很好地滿足題設(shè)條件，文中應(yīng)用非線性最小二乘法擬合洛倫茲曲線模型是比較理想的方法。但是模型的擬合精度仍然不夠高，后續(xù)的研究可以考慮在模型中加入5個(gè)或5個(gè)以上的參數(shù)。二是對(duì)收入空間法和人口空間法分別運(yùn)用了中位收入基準(zhǔn)法和基尼系數(shù)基準(zhǔn)法，模型簡(jiǎn)明扼要，結(jié)果比較直觀，缺點(diǎn)是模型的復(fù)雜度有待提高。三是參考Wolfson的兩極分化指數(shù)來(lái)構(gòu)建中等收入指數(shù)，模型比較合理，較好地解決了中等收入指數(shù)的測(cè)算問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]? ?王祖祥，范傳強(qiáng)，何耀，等.農(nóng)村貧困與極化問(wèn)題研究：以湖北省為例[J].中國(guó)社會(huì)科學(xué)，2009（11）：73-88.

[2]? ?Sarabia J M，Castillo E，Pascual M，Sarabia M.Mixture Lorenz curves[J].Economics Letters，2005（89）：89-94.

[3]? ?李培林．?dāng)U大中等收入者比重的對(duì)策思路[J]．中國(guó)人口科學(xué)，2007（5）：46-52．

[4]? ?Duangkamon Chotikapanich and William E. Griffiths.Estimating Lorenz curves using a Dirichlet distribution[J]．Business and Economic

Statistics，2002（20）：290-295.

[5]? ?王紅霞.基于一族新洛倫茲曲線的收入不平等測(cè)度：以湖北省城鎮(zhèn)及農(nóng)村的收入數(shù)據(jù)為例[J].經(jīng)濟(jì)評(píng)論，2009（3）：22-28.

[6]? ?Duangkamon Chotikapanich，D.S.Prasada Rao，Kam Ki Tang.Estimating income inequality in China using grouped data and the generalized Beta distribution[J].The Review of Income and Wealth，2007（53）.

[責(zé)任編輯? ?文? ?欣]