何達(dá)偉

［摘? 要］ 人口素質(zhì)決定一個(gè)國(guó)家的命脈，而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維則是提高人口素質(zhì)的主要途徑之一. 如培根所言“數(shù)學(xué)是思維的體操”，如何在課堂教學(xué)中有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)呢？文章以“圓錐曲線的定點(diǎn)與定值”的教學(xué)為例，從學(xué)前分析、課程簡(jiǎn)錄與教學(xué)思考三方面展開闡述.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)；課堂教學(xué)

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是指以一定的教育思想為指導(dǎo)，緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，系統(tǒng)地規(guī)劃課堂教學(xué)內(nèi)容、過程與方法而作的教學(xué)設(shè)想與安排［1］. 同一課題在不同教育思想的指導(dǎo)下，會(huì)呈現(xiàn)出不同的定位與方案. 教學(xué)實(shí)踐告訴我們，基于數(shù)學(xué)思維發(fā)展的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)往往能取得較好的成效. 為此，筆者在這一領(lǐng)域做了大量嘗試與研究，收效頗豐.

本文以“圓錐曲線的定點(diǎn)與定值”的教學(xué)為例，談一談本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)方法與課堂教學(xué)流程，最后闡述一些教學(xué)感悟，與君共勉！

學(xué)前分析

1. 背景分析

數(shù)學(xué)思維是一種看不見、摸不著，卻又真實(shí)存在的高度復(fù)雜的活動(dòng). 古往今來，研究數(shù)學(xué)思維的理論頗多，總體來說運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，也是難以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)［2］. 由此，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)成了學(xué)校教育的主要目標(biāo)之一. 本節(jié)課想要基于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展進(jìn)行教學(xué)，必須對(duì)學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容有一個(gè)較為深入的認(rèn)識(shí)，做到“知此知彼，百戰(zhàn)不殆”.

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象雖然是文科班學(xué)生，但他們整體素養(yǎng)較高，學(xué)習(xí)自覺性強(qiáng)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，大部分學(xué)生心思細(xì)膩，有較強(qiáng)的計(jì)算與概括能力. 整體來說，該班學(xué)生的思維水平屬于中上等層次.

3. 內(nèi)容分析

圓錐曲線定點(diǎn)和定值問題具有高度的綜合性，這部分內(nèi)容涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，如圓錐曲線的定義、性質(zhì)，以及與直線之間的關(guān)系等，同時(shí)還與不等式、函數(shù)以及方程等代數(shù)內(nèi)容有聯(lián)系. 想要解決與圓錐曲線定點(diǎn)和定值相關(guān)的問題，不僅要有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想，還要有扎實(shí)的代數(shù)運(yùn)算功底，如此才能靈活地轉(zhuǎn)換數(shù)與形，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)有的嚴(yán)謹(jǐn)性思維.

教學(xué)目標(biāo)：掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用幾何法、數(shù)形結(jié)合思想方法等求解圓錐曲線的定點(diǎn)與定值問題.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：圓錐曲線定點(diǎn)與定值問題的常見解法的預(yù)判與優(yōu)選.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 回顧知識(shí)，切入主題

基于本班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為扎實(shí)，學(xué)習(xí)氛圍好，本節(jié)課筆者選擇從回顧舊知出發(fā)，直接切入教學(xué)主題，以縮短課堂導(dǎo)入時(shí)間，為后續(xù)探究活動(dòng)的開展留下充足的時(shí)空. 同時(shí)，這種導(dǎo)入模式充滿著“數(shù)學(xué)味”，更符合此階段學(xué)生的身心特征.

師：大家還記得橢圓的定義嗎？

生1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.

師：很好，你提到的常數(shù)要是等于FF，點(diǎn)的軌跡還是橢圓嗎？

生1：常數(shù)應(yīng)該大于FF（恍然大悟）.

設(shè)計(jì)意圖 概念是數(shù)學(xué)的基石，是數(shù)學(xué)推理的依據(jù)，亦是形成抽象思維的基礎(chǔ). 回顧橢圓的概念，意在幫助學(xué)生從知識(shí)庫(kù)中提取與本節(jié)課教學(xué)相關(guān)的信息，筆者的點(diǎn)撥意在向?qū)W生傳達(dá)概念的嚴(yán)密性與準(zhǔn)確性，以促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度. 橢圓定義的回顧，可讓學(xué)生感知定值與動(dòng)點(diǎn)之間存在著辯證統(tǒng)一的聯(lián)系.

2. 搭建平臺(tái)，引發(fā)思考

思維的發(fā)展遵循循序漸進(jìn)的原則，教學(xué)設(shè)計(jì)需要從學(xué)生思維發(fā)展的特征出發(fā)，利用“低起點(diǎn)、小步子”的問題，為學(xué)生鋪設(shè)多層臺(tái)階，讓學(xué)生的思維沿著臺(tái)階自然而然地拾級(jí)而上. 具有啟發(fā)性的問題是引發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵，也是為學(xué)生思維搭建平臺(tái)的主要基石.

問題1 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且2a=b+c，若過點(diǎn)P（2，3）作直線l：ax+by+c=0的垂線，M為垂足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OM的最大值.

生2：可以先求出與直線l垂直，且過點(diǎn)P的直線的方程，解方程組獲得點(diǎn)M的坐標(biāo)后再寫出OM的表達(dá)式，最后求出線段OM的最大值.

師：很好！方法正確，思路清晰. 還有其他不同的意見嗎？

師：很好！此方法緊扣“動(dòng)中有定”這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行分析，大家說說“定”指的是什么？

生4：這里的“定”是指圖形在運(yùn)動(dòng)中，直線l恒過點(diǎn)Q（-2，1），同時(shí)PM⊥QM.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感知代數(shù)法與幾何法在解題中的應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)變化背景下問題的認(rèn)識(shí)，形成探索不變條件的意識(shí)，為學(xué)生思考提供方向.

一般情況下，解決數(shù)學(xué)問題常用代數(shù)法與幾何法. 顯然，代數(shù)法側(cè)重于“數(shù)”，常從方程、坐標(biāo)等角度進(jìn)行分析；而幾何法則偏重于“形”，一般結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)進(jìn)行分析. 學(xué)生通過對(duì)此問的分析，充分感到這兩種方法在解題中實(shí)際應(yīng)用的利弊，為后續(xù)選擇合適的解題方法奠定了基礎(chǔ).

3. 逐層遞進(jìn)，啟發(fā)思維

隨著課堂教學(xué)的推進(jìn)，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起探討實(shí)例，通過逐層遞進(jìn)的互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生思考.

問題2 PQ為經(jīng)過橢圓C：2x2+y2=1中心的任意一根弦，已知點(diǎn)A為橢圓C上與P，Q不重合的任意點(diǎn). 如果線段AP，AQ的斜率分別為k，k，求kk的值.

生5：kk=-2（快速給出答案）.

師：反應(yīng)很快啊，說說你的具體解題思路.

師：你能將自己看到的結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際解題中，非常好！但直接應(yīng)用一些非定理類的結(jié)論時(shí)，需注意使用范圍，切忌出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程存在兩種情況，解題時(shí)不能僅將眼光放在焦點(diǎn)位于x軸的時(shí)候，而應(yīng)考慮周全. 若事先并沒有接觸過這個(gè)結(jié)論，大家有沒有什么方法能快速解題？

生6：可以從特殊化的角度出發(fā)，如將點(diǎn)P，Q設(shè)為短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)A設(shè)為長(zhǎng)軸的端點(diǎn).

師：不錯(cuò)，特殊化思想是解決定點(diǎn)與定值問題的便捷方法，即從特殊情況出發(fā)，通過“猜想—驗(yàn)證”的方式解題. 通過分析問題1與問題2，說說你們的想法.

生7：?jiǎn)栴}1得到的結(jié)論是圓上一點(diǎn)M與直徑端點(diǎn)P，Q的連線斜率之積kk=-1，該結(jié)論與問題2所應(yīng)用的結(jié)論類似.

師：你的觀察很細(xì)致，有興趣的同學(xué)課后可嘗試了解一下“有心圓錐曲線和圓的聯(lián)系”.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)橢圓中心弦性質(zhì)的理解，提高學(xué)生思維的靈敏度，并通過圓與橢圓的性質(zhì)類比，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性. 課后自主延伸題主要針對(duì)學(xué)優(yōu)生，以拓寬學(xué)生的視野.

問題3 如圖1所示，點(diǎn)A為橢圓C：

學(xué)生獨(dú)立思考后合作交流，并整理出以下思路：

思路1 假設(shè)k→點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)→AP，AQ的方程→點(diǎn)M，N的坐標(biāo)→圓的方程→定點(diǎn).

思路2 假設(shè)k→點(diǎn)P，M的坐標(biāo)→點(diǎn)Q，N的坐標(biāo)→圓的方程→定點(diǎn).

思路3 假設(shè)P（x，y）→點(diǎn)Q，M的坐標(biāo)→AN的方程→點(diǎn)N的坐標(biāo)→圓的方程→定點(diǎn).

思路4 假設(shè)M（0，m）→點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)→QA的方程→點(diǎn)N的坐標(biāo)→圓的方程→定點(diǎn).

思路5 假設(shè)k，k→點(diǎn)M，N的坐標(biāo)→圓的方程→定點(diǎn).

思路6 假設(shè)M（0，m），N（0，n）→圓的方程→定點(diǎn).

師：大家從條件與結(jié)論之間的聯(lián)系出發(fā)，通過不同參數(shù)表示點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，獲得圓的方程后再整理，讓參數(shù)的系數(shù)為0，由此獲得結(jié)論. 從以上各種解題思路來看，思路3、思路6避免了解方程組的煩瑣. （師生共同探討典型解法）

設(shè)計(jì)意圖 通過臺(tái)階鋪設(shè)與小組合作學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)“圓錐曲線定點(diǎn)與定值問題”的認(rèn)識(shí). 同一個(gè)問題呈現(xiàn)出多種解題思路，能有效拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，提升學(xué)生思維的廣闊性.

4. 提煉總結(jié)，鞏固提升

隨著課堂教學(xué)接近尾聲，筆者與學(xué)生一起回顧并總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，提煉解決定點(diǎn)與定值問題的主要步驟為：（1）定值問題，設(shè)參、表示所求的量、消元（注意整體代換、特殊情況等）；（2）定點(diǎn)問題，設(shè)參、求出曲線方程、讓參數(shù)失效（注意“設(shè)而不求”、對(duì)稱性等情況）.

教學(xué)感悟

1. 解題訓(xùn)練是提升思維的基礎(chǔ)

一題多解屬于變式訓(xùn)練的一種，本節(jié)課中的例題都存在多種解法，這是訓(xùn)練學(xué)生從不同角度觀察與分析問題的過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要作用. 一題多解的設(shè)計(jì)，具有以下目的：（1）調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的應(yīng)用能力；（2）鍛煉學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生能從不同角度看待問題；（3）開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生在知識(shí)的縱橫聯(lián)系中形成創(chuàng)新思維.

一題多解所涉及的各種解題方法，必然存在一定的通法與巧法，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到通法與巧法的存在. 通法能為學(xué)生更好地掌握解題技巧奠定基礎(chǔ)，同時(shí)教師也要注意避免學(xué)生定式思維的形成，不能讓學(xué)生看到一道題就只會(huì)按照固定的思維去思考，那就得不償失了.

巧法是指針對(duì)問題的個(gè)性，靈活解決問題的方法，它具有新、巧、奇等特點(diǎn). 巧法從很大程度上凸顯了數(shù)學(xué)思維的靈活性與敏捷性. 巧法應(yīng)用得當(dāng)，就如靈動(dòng)之水，會(huì)成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的源泉.

解題訓(xùn)練是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，而擺正通法與巧法的關(guān)系是實(shí)現(xiàn)解題的關(guān)鍵. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在通法中求巧法，將巧法有機(jī)地融于通法中，兩法雙管齊下提高學(xué)生的思維層次，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維與發(fā)散思維.

2. 激發(fā)思考是思維成長(zhǎng)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)上來講，就是思維過程的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是在大腦中構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. 用問題激發(fā)學(xué)生思考，是數(shù)學(xué)教學(xué)成功的關(guān)鍵，也是學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)形成的根本［3］.

激發(fā)學(xué)生思考可從以下幾方面著手：（1）激趣，令學(xué)生“愿思”. 如耐人尋味的情境、誘人的懸念等，都能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生主動(dòng)去思考. （2）分解難點(diǎn)，令學(xué)生“會(huì)思”. 高中數(shù)學(xué)存在不少綜合性強(qiáng)、難度大的問題，教師可結(jié)合學(xué)情，有意識(shí)地分解難點(diǎn)，為學(xué)生的思維鋪設(shè)更多的臺(tái)階，讓學(xué)生排除畏難情緒，愿意思考. （3）鼓勵(lì)創(chuàng)新，令學(xué)生“樂思”. 教師可通過一定的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角去看待與分析問題，形成良好的思維品質(zhì)，尤其要多肯定學(xué)生，讓學(xué)生感到思考帶來的成就感.

3. 核心素養(yǎng)是思維發(fā)展的歸宿

培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)今教育教學(xué)的主要目標(biāo)，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)也為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)服務(wù). 作為高中數(shù)學(xué)教師，可根據(jù)實(shí)際情況與教學(xué)內(nèi)容，安排一些綜合性高、探究性強(qiáng)的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)參與中有效促進(jìn)思維的成長(zhǎng).

教學(xué)活動(dòng)的安排，最常見的有深入探究、合作交流等，讓學(xué)生的思維從求同到求異，通過長(zhǎng)期的堅(jiān)持，逐漸形成獨(dú)立思考、勇于嘗試、善于反思、協(xié)同合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，獲得用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的能力，讓思維的培養(yǎng)成為促進(jìn)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的主要途徑.

總之，數(shù)學(xué)是思維的體操，良好的思維能力是發(fā)現(xiàn)、分析與解決問題的基礎(chǔ)，是掌握知識(shí)與技能的根基，亦是形成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣與數(shù)學(xué)觀的關(guān)鍵. 因此，教師應(yīng)從思想上充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要性，并將這種認(rèn)識(shí)落實(shí)到行動(dòng)上，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成夯實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 任全紅.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)視角：關(guān)注數(shù)學(xué)思維過程［J］. 教學(xué)與管理，2013（36）：108-110.

［2］ 科斯塔，卡利克. 思維習(xí)慣［M］. 李添，趙立波，張樹東，胡曉毅，等譯. 北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2006.

［3］ 朱智賢，林崇德. 思維發(fā)展心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，1986.