費(fèi)文清

摘要：基于建構(gòu)主義理論，以人教版數(shù)學(xué)八年級上冊中“三角形內(nèi)角和定理”這一幾何證明課為例，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和為180°的過程，了解輔助線在幾何證明中的重要性，在探究學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義理論；三角形內(nèi)角和定理；輔助線

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提到：學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動的過程，教學(xué)活動更應(yīng)注重啟發(fā)式.因此，在初中數(shù)學(xué)課程改革中，教師除了需要正確引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上明確具體學(xué)習(xí)任務(wù)，并適當(dāng)利用其他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，動手操作，還需要主動引導(dǎo)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，積累相應(yīng)階段的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在這些活動經(jīng)歷中體會數(shù)學(xué)的魅力，不斷提升數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.

建構(gòu)主義理論主張學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中通過外部刺激將信息吸收到自己原有的知識結(jié)構(gòu)中或者改變原有的知識結(jié)構(gòu)與外界保持平衡，該學(xué)習(xí)過程是知識重新建構(gòu)的過程.建構(gòu)主義的教學(xué)則是以學(xué)習(xí)者為中心，積極主動探尋知識，重視學(xué)習(xí)者在課堂中的自主性［1］，而不是由教師直接進(jìn)行講授.也就是說，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，也是課程學(xué)習(xí)方式的主動建構(gòu)者，教師對學(xué)生的教育起主導(dǎo)作用，這樣才能達(dá)到最佳的課堂教學(xué)效果.隨著當(dāng)代網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的日益完善，建構(gòu)主義理論的教學(xué)環(huán)境也愈來愈好，建構(gòu)主義理論逐漸和教育實(shí)際問題緊密結(jié)合了起來，這也成為了目前國內(nèi)高效推進(jìn)教學(xué)體制改革的主要指導(dǎo)思想［2］.

基于此，本文中以建構(gòu)主義的支架式教學(xué)理論為指引，以人教版數(shù)學(xué)八年級上冊“三角形內(nèi)角和定理”為例，探討如何在學(xué)科核心素養(yǎng)時(shí)代打造數(shù)學(xué)課堂.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本堂課是對小學(xué)階段“三角形內(nèi)角和為180°”知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，是從理解知識到定理證明的過渡，也為后面多邊形的內(nèi)角和、全等三角形的證明等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，起到承前啟后的作用.本堂課的建構(gòu)過程是從小學(xué)學(xué)習(xí)的“三角形的內(nèi)角和為180°”出發(fā)，到動手操作探索三角形內(nèi)角和為180°，再到如何利用平行線的知識證明該定理，通過動手操作加上幾何證明建構(gòu)來展開學(xué)習(xí).

本堂課的定位是利用三角形內(nèi)角和定理的證明過程，讓學(xué)生感受幾何證明的基本思想，理解輔助線在幾何證明中的作用，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想.

2 具體教學(xué)過程

整堂課將分為四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)一：觀察情境，探索問題

問題情境1：展示爭論三角形內(nèi)角和大小的視頻，如圖1.

問題1? 在小學(xué)我們學(xué)習(xí)的三角形的內(nèi)角和是多少？

問題2? 三角形的內(nèi)角和與三角形的大小和形狀有關(guān)嗎？

教師總結(jié)：通過觀看小動畫，引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)所學(xué)習(xí)的“三角形內(nèi)角和為180°”解決情境問題1，并意識到三角形內(nèi)角和等于180°與三角形本身的大小是無關(guān)的.

設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)有趣的情境，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用小學(xué)所學(xué)習(xí)的知識解決提出的問題，構(gòu)建前后知識的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識的連貫性.

環(huán)節(jié)二：動手操作，探索定理

小組1：使用量角器，對畫好且剪好的不同大小的三角形進(jìn)行測量.（如圖2）

小組2：將剪好的三角形紙片進(jìn)行折疊，觀察折疊后的樣子.（如圖3）

小組3：將三角形紙片上的三個(gè)頂角剪下來，對它們隨意進(jìn)行拼湊.（如圖4、圖5）

問題3? 運(yùn)用量角器測量三角形的三個(gè)內(nèi)角，能得到三個(gè)內(nèi)角的和為180°嗎？

問題4? 通過量一量、拼一拼和折疊的方式驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°，但三角形有無數(shù)個(gè)，又該如何去證明該結(jié)論呢？

活動意圖：學(xué)生通過親身經(jīng)歷測量、剪紙、折紙等操作過程，能夠很熟練地說出這些方法都能驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180°，但是，進(jìn)一步會發(fā)現(xiàn)動手操作具有一定的局限性，比如會產(chǎn)生度量誤差等.此時(shí)不再是知識的傳授，而是讓學(xué)生親自發(fā)現(xiàn)和建構(gòu).最后，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何證明的重要性.

追問1：根據(jù)剛才小組任務(wù)的分配，你能從中受到啟發(fā)想到“三角形的內(nèi)角和為180°”的證明方法嗎？

追問2：觀看小組2的拼一拼結(jié)果，如圖5，把∠B和∠C放在∠A的兩邊，合起來是一個(gè)平角.那么，∠B與∠C的另一邊所在的直線與原三角形中邊BC之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問3：得到平行的位置關(guān)系后，能得到證明“三角形的內(nèi)角和為180°”的思路嗎？

活動意圖：將其中一組的拼一拼結(jié)果進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的操作過程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來描述操作過程，以便后面規(guī)范證明的步驟.由于目前階段學(xué)生對添加輔助線的體驗(yàn)不夠深刻，因此在進(jìn)一步的證明過程中需要運(yùn)用所學(xué)的“平行”位置關(guān)系，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的遷移關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生從文字語言的描述逐步過渡到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言證明.

環(huán)節(jié)三：證明三角形內(nèi)角和定理

問題情境2：下面我們利用平行線的性質(zhì)來證明.

（1）如何將原來三角形中的內(nèi)角位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換并變成平角？（把∠A和∠B放在∠C同側(cè).）

（2）在△ABC中，求證：∠A+∠B+∠C=180°.

證明：〖HTF〗如圖6，在△ABC中，過點(diǎn)C作BC的延長線為CD，再過點(diǎn)C作直線CE與AB平行，即CE∥BA.

所以∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等），

∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

因?yàn)椤螧CA+∠ACE+∠ECD=180°，所以

∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

（3）在前面的操作與證明過程中，還有沒有其他添加輔助線的方法呢？

活動意圖：在三角形中添加一些線使三個(gè)不同位置的內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一條直線上構(gòu)成平角，而添加的這些線稱為輔助線.在平面幾何中，輔助線通常畫成虛線，添輔助線是解決幾何證明問題的重要手段.嚴(yán)格的邏輯推理證明過程，讓學(xué)生體會幾何證明的意義及其規(guī)范性.通過這樣的過程，學(xué)生從知識的被動接受者轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒓庸さ闹鲃诱?，成為三角形?nèi)角和定理證明的主動建構(gòu)者.

環(huán)節(jié)四：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

①在△ABC中，∠C=90°，求∠A+∠B.

②在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，求∠B.

③三角形中三個(gè)內(nèi)角之比為2∶2∶5，則三個(gè)內(nèi)角分別為多少度？

活動意圖：運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求相關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)一步加深對定理內(nèi)容的理解.

3 教學(xué)反思

建構(gòu)主義理論是以學(xué)生為中心，從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動探索以及對所學(xué)知識意義的主動建構(gòu).本節(jié)課在課堂設(shè)計(jì)中不僅要能體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，還應(yīng)從學(xué)生自身已有能力的實(shí)際知識背景出發(fā)，給他們提供數(shù)學(xué)活動體驗(yàn)的機(jī)會.教師也更注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，促使他們在具體數(shù)學(xué)活動情境中能夠主動探索所學(xué)知識，與同伴開展合作交流學(xué)習(xí)，在互動過程中逐漸掌握基本知識和實(shí)際技能，并獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；其次，是引導(dǎo)學(xué)生從測量、剪紙等操作中獲得的直接經(jīng)驗(yàn)入手，將操作過程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號來表達(dá)，進(jìn)而達(dá)成推理論證的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］朱虹.基于建構(gòu)主義的教學(xué)法初探［J］.科學(xué)之友，2010（13）：140，142.

［2］王亞軒，楊亞強(qiáng)，李星蓉.基于建構(gòu)主義理論的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（12）：7-9，15.