［摘? 要］ 文章以微專題“分段函數(shù)中的含參問(wèn)題”為例，介紹在高三一輪復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想，精準(zhǔn)地突破難點(diǎn)，多角度提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 分段函數(shù)；微專題；核心素養(yǎng)

為了回應(yīng)高中新課標(biāo)、新高考模式的改革，謀劃現(xiàn)代學(xué)校辦學(xué)的新樣態(tài)，江蘇省常州高級(jí)中學(xué)舉辦了“‘大教育引領(lǐng)下的品質(zhì)課堂”公開教研活動(dòng)，筆者應(yīng)邀開設(shè)了一節(jié)高三一輪微專題課“分段函數(shù)中的含參問(wèn)題”.

筆者以此公開課的開設(shè)為契機(jī)，對(duì)分段函數(shù)中的含參問(wèn)題進(jìn)行了歸類研究，并粗淺思考如何以微專題的形式提升高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的有效性.筆者將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄和感悟整理成文，以期拋磚引玉.

基本情況

1. 學(xué)情分析

授課班級(jí)為重點(diǎn)高中的普通理科班，學(xué)生整體水平高，大部分學(xué)生思維活躍，有較強(qiáng)的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能積極參與課堂教學(xué)互動(dòng).

2. 教學(xué)內(nèi)容分析

分段函數(shù)是一種重要的函數(shù)形式，幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)在高考試題中，可以說(shuō)是經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)問(wèn)題. 學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題多少都有些害怕，主要是其“分段”的特征決定分類討論的必要性.對(duì)于含有參數(shù)的分段函數(shù)，學(xué)生感到最棘手的是探求分類討論的標(biāo)準(zhǔn). 因此，微專題課“分段函數(shù)中的含參問(wèn)題”恰好給學(xué)生提供了集中精力思考這類問(wèn)題的機(jī)會(huì).

考慮到以上因素，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

（1）會(huì)根據(jù)分段函數(shù)的特點(diǎn)處理含參問(wèn)題，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

（2）能主動(dòng)運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法分析和解決問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

（3）在互動(dòng)交流和互相合作中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高問(wèn)題解決能力.

3. 教學(xué)思路

這節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：先引領(lǐng)學(xué)生回顧含參分段函數(shù)的類型，然后用例題和習(xí)題幫助學(xué)生突破含參分段函數(shù)的單調(diào)性及其零點(diǎn)等難題，著重突出數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，最后共同歸納解題方法和注意點(diǎn).

課堂實(shí)錄與設(shè)計(jì)意圖

1. 課前熱身，溫故知新

學(xué)生在課前完成以下填空題：

（1）已知函數(shù)f（x）=ax+1-2，x≤1，

2x-1，x>1，若f（0）=3，則f（a）=______.

（2）若函數(shù)f（x）=（2-a）x+1，x<1，

ax，x≥1，是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是______.

（3）若函數(shù)f（x）=-x2-2x，x≤0，

log

（x+1），x>0，且函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

（4）若函數(shù)f（x）=x2-4x-5，x<λ，

ex-1，x≥λ，λ∈R，且函數(shù)y=f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是______.

筆者讓學(xué)生簡(jiǎn)要講述以上填空題的求解過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生回答以下三個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：什么是分段函數(shù)？

生1：分段函數(shù)是指由于自變量取值范圍不同，對(duì)應(yīng)法則也不同的函數(shù).

問(wèn)題2：處理分段函數(shù)問(wèn)題的常用方法是什么？

生2：根據(jù)條件選擇合適的解析式，必要時(shí)借助函數(shù)圖象進(jìn)行處理.

問(wèn)題3：對(duì)于分段函數(shù)中的含參問(wèn)題，參數(shù)可能出現(xiàn)在哪些位置？

生3：參數(shù)可能出現(xiàn)在解析式里、分界點(diǎn)處或目標(biāo)問(wèn)題里.

師：同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)非常清晰！這節(jié)課，我們將重點(diǎn)研究含參分段函數(shù)問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 課前布置四道含參分段函數(shù)填空題，一方面加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的理解，明確它是一個(gè)函數(shù)，它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集. 另一方面引發(fā)學(xué)生思考參數(shù)出現(xiàn)的位置——參數(shù)可能出現(xiàn)在解析式里（如第（1）題和第（2）題），也可能出現(xiàn)在目標(biāo)問(wèn)題里（如第（3）題），還可能出現(xiàn)在分界點(diǎn)處（如第（4）題）.

ax-1，x>1，若存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

生6：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式可知，它的圖象在分界點(diǎn)x=1處不間斷.另外，“存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立”這句話的意思是“f（x）在R上不單調(diào)”. 我覺(jué)得可以先從它的反面來(lái)思考，也就是假設(shè)f（x）在R上單調(diào)：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=-x2+ax在（-∞，1］上先增后減，不符合；當(dāng)a>0時(shí)，需滿足對(duì)稱軸x=≥1，即a≥2，f（x）在R上單調(diào)遞增.因此，所求的a的取值范圍是（-∞，2）.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一道例題和兩道變式題，主要用于解決如何根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍. 解決此類問(wèn)題，既要注意每一段函數(shù)的單調(diào)性，也要關(guān)注分界點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值的大小關(guān)系.變式題1里的是含參絕對(duì)值函數(shù)，體現(xiàn)了其“分段”的本質(zhì)；變式題2則將函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題隱含在題意里. 這“一顯一隱”的變式題組體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及正難則反的數(shù)學(xué)思想.

3. 由此及彼，突破難點(diǎn)

解決含參分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題后，筆者投影下面一道例題.

筆者用GeoGebra軟件演示上述動(dòng)態(tài)分類討論過(guò)程，并追問(wèn)：當(dāng)0

生7：設(shè)f（x）=lnx-（00，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增. 又f（e）=0，所以不等式f（x）<0的解為0

師：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解不等式，非常棒！下面思考這個(gè)問(wèn)題：當(dāng)分界點(diǎn)x=a （a>0）變化時(shí)，y=也在變化，那么直線x=a與y=的交點(diǎn)的軌跡有什么特點(diǎn)呢？

生8：直線x=a與y=的交點(diǎn)的軌跡方程是y=x （x>0），它是一條不含端點(diǎn)的射線，正好與函數(shù)y=lnx相切于點(diǎn)P（e，1）.

生9：如圖4所示，函數(shù)y=lnx和y=的圖象相交于點(diǎn)P，直線y=x與函數(shù)y=lnx的圖象相切于點(diǎn)P且在點(diǎn)P處穿過(guò)函數(shù)y=的圖象.

師：兩位同學(xué)都觀察得非常仔細(xì)！“三線交于一點(diǎn)”正是這道題的命制背景.根據(jù)這道題，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)，在解決分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們需要注意些什么呢？

生10：解決分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵在于判斷每一段函數(shù)各有多少個(gè)零點(diǎn)，必要時(shí)我們可以畫圖來(lái)數(shù).

師：這位同學(xué)歸納得相當(dāng)精準(zhǔn).如果分段函數(shù)含有參數(shù)（或目標(biāo)函數(shù)含有參數(shù)），那么我們要厘清參數(shù)變化時(shí)圖象的變化規(guī)律，也就是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)置例2的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生探討如何根據(jù)分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. 分段函數(shù)的形式?jīng)Q定解題需要對(duì)自變量的范圍進(jìn)行討論，如果函數(shù)含有參數(shù)，那么討論的維度就會(huì)增加.這種深層次的分類討論訓(xùn)練對(duì)于提升學(xué)生的思維品質(zhì)是大有裨益的.

4. 適時(shí)強(qiáng)化，練習(xí)反饋

筆者布置以下兩道題作為練習(xí)，請(qǐng)兩位學(xué)生在黑板上分別展示解題過(guò)程（內(nèi)容略），然后讓同桌點(diǎn)評(píng)解題過(guò)程是否合理和正確.設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)筆者與學(xué)生共同解決完難點(diǎn)后，筆者布置了兩道練習(xí)題，一方面通過(guò)學(xué)生板書展現(xiàn)其思考過(guò)程，對(duì)教學(xué)來(lái)說(shuō)是現(xiàn)場(chǎng)反饋和即時(shí)交流；另一方面學(xué)生通過(guò)互相討論，集思廣益，對(duì)問(wèn)題的理解會(huì)更加深刻.

5. 反思?xì)w納，總結(jié)提升

師：今天我們一起研究了含參分段函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課你有哪些收獲和體會(huì).

生11：我們學(xué)習(xí)了分段函數(shù)的概念、分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、參數(shù)的變化對(duì)分段函數(shù)圖象的影響等知識(shí).對(duì)于含參分段函數(shù)問(wèn)題，我們解題時(shí)要善于運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合等方法.

師：這位同學(xué)的知識(shí)理論體系非常清晰，他對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解也很到位.我們今天學(xué)習(xí)了這一微專題，在解題過(guò)程中要注意體會(huì)辯證統(tǒng)一的哲學(xué)韻味，比如分（分類）與合（整合）的統(tǒng)一、數(shù)（代數(shù)）與形（圖形）的統(tǒng)一、靜（靜態(tài)）與動(dòng)（運(yùn)動(dòng)）的統(tǒng)一，等等.

設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié)的目的是讓學(xué)生主動(dòng)回顧這節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)和解題方法，幫助學(xué)生系統(tǒng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 筆者對(duì)學(xué)生的歸納進(jìn)行了補(bǔ)充和完善，強(qiáng)調(diào)解決含參分段函數(shù)問(wèn)題的常用策略，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有一定的指導(dǎo)意義.

教學(xué)感悟與思考

1. 借力數(shù)學(xué)思想，高效解決含參函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)中的含參討論一直是高考熱點(diǎn)，從實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看，借助數(shù)學(xué)思想方法可以迅速找到解題思路，避免討論過(guò)程片面和盲目的發(fā)生. 比如，本節(jié)課例2的難點(diǎn)在于對(duì)a和e的大小關(guān)系的分類討論，這可以采用數(shù)形結(jié)合思想——在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lnx和y=的圖象，猜想兩者交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e，但對(duì)于該交點(diǎn)的存在性和唯一性，則需要借助函數(shù)與方程思想進(jìn)行論證. 因此，數(shù)學(xué)思想方法并不是空中樓閣，而是蘊(yùn)含在解題需求里，也蘊(yùn)含在邏輯推理中.

2. 開設(shè)微專題課，精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)中的階段難點(diǎn)

在一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到階段性難點(diǎn)，如函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題，解析幾何中的隱形圓問(wèn)題，數(shù)列中的通項(xiàng)與求和問(wèn)題，等等. 這時(shí)，教師可以在常規(guī)教學(xué)中靈活地穿插微專題課，及時(shí)系統(tǒng)地提煉題型與方法，把隱性的解題經(jīng)驗(yàn)顯性化，從而為學(xué)生的知識(shí)體系造就新的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

在微專題教學(xué)中，教師要注意使用合乎邏輯的知識(shí)鏈以及層次清晰的問(wèn)題串. 例如，本節(jié)課的知識(shí)鏈?zhǔn)恰昂瑓⒎侄魏瘮?shù)的單調(diào)性→含參分段函數(shù)的零點(diǎn)”，體現(xiàn)了知識(shí)的遞進(jìn)關(guān)系. 在例2的求解過(guò)程中，又有如下問(wèn)題串：“問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)你們的解題思路和流程→問(wèn)題2：當(dāng)00）變化時(shí)，y=也在變化，那么直線x=a和y=的交點(diǎn)的軌跡有什么特點(diǎn)呢？→問(wèn)題4：在解決分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們需要注意些什么呢？”這四個(gè)問(wèn)題層層深入，引領(lǐng)學(xué)生由淺入深地思考，并從一道題引發(fā)一類題的歸納總結(jié). 由此可見(jiàn)，微專題課通過(guò)微中知著、以小見(jiàn)大，精準(zhǔn)地突破難點(diǎn).

3. 構(gòu)建靈動(dòng)課堂，多角度提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

課堂是師生交流的舞臺(tái)，也是思維火花碰撞的能量場(chǎng). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該融于每一節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，也應(yīng)該融于每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì). 因此，教師需要以知識(shí)點(diǎn)為中心，在發(fā)展核心素養(yǎng)的視角下設(shè)計(jì)微專題復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生體悟數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，并讓學(xué)生體會(huì)思考帶來(lái)的樂(lè)趣. 例如，本節(jié)課以含參分段函數(shù)為載體，選取典型例題和習(xí)題，通過(guò)多種方式激發(fā)學(xué)生思考，包括課前“熱身”、師生互動(dòng)、學(xué)生互評(píng)、學(xué)生提煉等，讓學(xué)生主動(dòng)思考如何解決含參分段函數(shù)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 對(duì)于高三微專題課，教師要抓住其入口微、選題精、針對(duì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，主動(dòng)構(gòu)建自然而靈動(dòng)的課堂，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介：孫承輝（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.