［摘? 要］ 文章拓展一道課本習(xí)題，引進(jìn)直線法向量的概念，利用它幫助學(xué)生理解直線一般式中系數(shù)的幾何意義、平行垂直的條件、點(diǎn)到直線的距離公式等解析幾何內(nèi)容，站在向量的角度挖掘這些問題，更能看清問題的本質(zhì)所在.

［關(guān)鍵詞］ 習(xí)題；法向量；數(shù)學(xué)本質(zhì)

課題提出

本節(jié)課安排在學(xué)生學(xué)習(xí)完點(diǎn)到直線的距離公式后. 人教A版必修2推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，主要采用了以下兩種方式：①在代數(shù)的視角下，構(gòu)造方程，求出垂足的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；②在幾何的視角下，構(gòu)造直角三角形，利用等面積法處理距離問題. 這兩種處理方法計(jì)算量較大，然而得到的公式卻如此簡潔優(yōu)美. 為了讓學(xué)生看到公式的本質(zhì)特征，在解析幾何中滲透向量法，為后面學(xué)習(xí)利用空間向量研究幾何問題做鋪墊. 筆者從一道課后習(xí)題出發(fā)，上了一節(jié)數(shù)學(xué)拓展課.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：回顧舊知，提出問題

問題1 昨天我們已經(jīng)用多種方法推導(dǎo)了點(diǎn)到直線的距離公式，你能簡單說說這幾種方法嗎？

生1：代數(shù)法，先求垂足的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.

生2：幾何法，利用“降維”思想，將“斜”距離轉(zhuǎn)化為平行于坐標(biāo)軸的距離來處理.

生3：將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，得到了這個(gè)公式.

筆者向?qū)W生展示生3的推導(dǎo)過程，大家都佩服不已.

師：前面的幾種推導(dǎo)方法運(yùn)算量都比較大，也不能很好地反映公式的本質(zhì)特征，有沒有更簡單的方法來推導(dǎo)這個(gè)公式呢？今天這節(jié)課我將和大家一起來探究這個(gè)優(yōu)美公式背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，我們先一起來回顧一道課本習(xí)題.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生盡管已經(jīng)掌握了公式的推導(dǎo)方法，但是公式推導(dǎo)過程的復(fù)雜與公式結(jié)構(gòu)的簡潔形成了鮮明的對比，能否優(yōu)化推導(dǎo)過程或者有沒有更好的方法來推導(dǎo)這個(gè)公式是大家需要考慮的問題. 本問題的設(shè)計(jì)旨在激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究點(diǎn)到直線的距離公式的本質(zhì).

環(huán)節(jié)2：習(xí)題拓展，引入新概念

問題2 人教A版必修2介紹完直線方程的五種形式后，在第107頁的B組題中安排了這樣一道題：設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線Ax+By+C=0上，求證這條直線的方程可以寫成A（x-x）+B（y-y）=0.

師：大家回顧一下當(dāng)時(shí)你是如何證明的.

生4：設(shè)P（x，y）為直線Ax+By+C=0上的任意一點(diǎn)，則Ax+By+C=0. 又點(diǎn)P（x，y）也在直線Ax+By+C=0上，所以Ax+By+C=0. 兩式相減就能得到這個(gè)結(jié)論.

師：很好，其實(shí)我們做完題后，還可以思考以下問題.

問題3 直線寫成“A（x-x）+B（y-y）=0”這種形式，它有什么作用？或者說由這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，你想到了什么？

生5：這個(gè)結(jié)構(gòu)很像向量垂直的條件，即xx+yy=0.

師：不錯(cuò)，能不能說得具體一點(diǎn)？

生5：記n=（A，B），=（x-x，y-y），實(shí)際上，可以看成直線的一個(gè)方向向量，向量n可以看成與直線的方向向量垂直的一個(gè)向量.

師：如圖1所示，畫出圖來看一下，我們把與直線的方向向量垂直的向量n=（A，B）叫做直線的法向量，后面學(xué)習(xí)空間向量的時(shí)候也會(huì)學(xué)到這個(gè)概念.同學(xué)們繼續(xù)思考下面的問題.

設(shè)計(jì)意圖 解析幾何利用代數(shù)法來研究幾何問題，而許多代數(shù)式的結(jié)構(gòu)也隱藏著幾何的影子，利用幾何圖形能幫助學(xué)生直觀理解代數(shù)問題. 問題2這道課本習(xí)題顯現(xiàn)的是向量相互垂直的一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，實(shí)質(zhì)是直線的另一種表示——“一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)與直線方向向量垂直的向量”. 筆者借此題引入法向量，引導(dǎo)學(xué)生利用向量來研究解析幾何問題.

環(huán)節(jié)3：概念應(yīng)用，再看直線的一般式方程

問題4 你們認(rèn)為還可以如何確定一條直線？

生6：給定直線上的一個(gè)點(diǎn)和這條直線的一個(gè)法向量.

師：給定直線上的一個(gè)點(diǎn)P0（x，y）和這條直線的一個(gè)法向量n=（A，B），那么該直線上的任意一點(diǎn)P（x，y）都滿足⊥n，即滿足關(guān)系式A（x-x）+B（y-y）=0，這是從向量的角度來理解直線的一般式方程.

問題5 請說說直線一般式方程Ax+By+C=0中的系數(shù)的幾何意義.

生7：n=（A，B）表示直線Ax+By+C=0的一個(gè)法向量，而C=-Ax-By.

師：這樣一來，直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義我們都知道了. 下面我們繼續(xù)看一道習(xí)題.

問題6 （人教A版必修2第107頁B組第4題）已知直線l，l的方程分別是l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為零），l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為零），且AA+BB=0，求證l⊥l.

師：同學(xué)們能用直線的法向量來求證嗎？

生8：由AA+BB=0可知兩條直線的法向量相互垂直，從而證明兩條直線相互垂直.

追問：如果兩條直線平行或者重合時(shí)，A，B，A，B應(yīng)該滿足什么條件？

生8：如果兩條直線平行或者重合，那么它們的法向量共線，即AB=AB.

設(shè)計(jì)意圖 課本在章小節(jié)的“回顧與思考”中，讓學(xué)生指出直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式方程中系數(shù)的幾何意義，沒有提及直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義，因此筆者通過拓展課本習(xí)題，引入直線的法向量，這不僅能夠解答學(xué)生心中的疑惑——“直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義是什么”，還能讓學(xué)生真正理解直線垂直與平行條件的本質(zhì)所在.

環(huán)節(jié)4：概念應(yīng)用，再探點(diǎn)到直線的距離公式

問題7 已知點(diǎn)P（x，y）和直線l：Ax+By+C=0，我們已經(jīng)得到了點(diǎn)P0到直線l的距離公式為d=. 你能從向量的角度來認(rèn)識(shí)這個(gè)公式嗎？

師：我們可以觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，思考其背后的知識(shí)，如我們知道向量a=（x，y）與向量b=（x2，y2）垂直的條件是xx+yy=0，你能從與Ax+By+C中分別想到哪些知識(shí)？

師：由于直線上的任意一點(diǎn)P（x，y）滿足Ax+By+C=0，所以C=-Ax-By，這樣Ax+By+C就可以寫成Ax+By-Ax-By=A（x-x）+B（y-y）的形式，請同學(xué)們繼續(xù)思考.

生10：式子A（x-x）+B（y-y）可以看成兩個(gè)向量的數(shù)量積.

師：哪兩個(gè)向量？

生10：向量=（x-x，y-y）與法向量n=（A，B），因?yàn)椤=A（x-x）+B（y-y）.

師：通過問題7的探究，我們可以將點(diǎn)到直線的距離公式寫成向量的形式，即d==（其中P為直線上的任意一點(diǎn)）.

問題8 回顧向量的相關(guān)知識(shí)，請解釋d=的幾何意義.

由于向量是高一上學(xué)期學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生對向量投影的概念忘記得差不多了，這里筆者和學(xué)生一起解答.

的幾何意義是向量在直線法向量n上的投影的絕對值. 故以向量的角度來看，點(diǎn)到直線的距離d可以理解為直線上任意一點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的向量在直線法向量n=（A，B）上的投影的絕對值，這也是點(diǎn)到直線距離的本質(zhì)特征所在. 后面我們學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，也是這樣處理點(diǎn)到面的距離的.

當(dāng)這節(jié)課上到這里，學(xué)生看到點(diǎn)到直線的距離公式可用向量表示時(shí)，都贊嘆不已.

問題9 你能根據(jù)以上分析，用向量來證明點(diǎn)到直線的距離公式嗎？

筆者巡視5分鐘后，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的答案都不完整，所以自己展示證明過程，讓學(xué)生核對.

師：已知直線l：Ax+By+C=0的一個(gè)法向量為n=（A，B），P（x，y），在直線l上任意取一點(diǎn)P（x，y），向量=（x-x，y-y），則點(diǎn)P到直線l的距離為d===. 又C=-Ax-By，所以d=.

師：同學(xué)們，簡潔是智慧的靈魂，對比上節(jié)課我們推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法，用向量法是不是顯得更加簡潔，更具形象直觀，更能反映公式的本質(zhì)，彰顯我們的數(shù)學(xué)智慧？這里向量法不僅幫助我們證明了點(diǎn)到直線的距離公式，而且還是我們后面研究空間距離的重要方法.

問題10 對比點(diǎn)到直線的距離公式的各種推導(dǎo)方法，你認(rèn)為它們各自蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想？

（學(xué)生討論后回答）

生11：交點(diǎn)法利用了轉(zhuǎn)化與化歸思想，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離；等面積法利用的是“降維”思想，將“斜”距離轉(zhuǎn)化為“水平”距離，然后通過等面積來處理；最小值法利用的是函數(shù)思想，將點(diǎn)到線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值；向量法利用了數(shù)形結(jié)合思想，將“距離”理解為“投影”來研究.

師：四種推導(dǎo)方法各自蘊(yùn)含著幾種不同的數(shù)學(xué)思想，分別帶領(lǐng)我們從不同的角度認(rèn)識(shí)了“距離”的本質(zhì)，理解了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖 利用向量法來研究點(diǎn)到直線的距離公式，不僅能讓學(xué)生看清楚公式的本質(zhì)，還能讓學(xué)生初步體會(huì)用向量處理一些解析幾何問題時(shí)所表現(xiàn)出來的優(yōu)越性.

課堂小結(jié) 回顧本節(jié)課，我們研究了哪些問題？我們是如何展開研究的？

生12：我們學(xué)習(xí)了直線的法向量，通過法向量研究了直線方程Ax+By+C=0中系數(shù)的幾何意義，以及兩直線平行與垂直的條件，更精彩的是利用向量推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式.

師：說得很好. 這節(jié)課我們從一道課本習(xí)題出發(fā)進(jìn)行了拓展研究，引進(jìn)了直線的法向量這個(gè)“神器”，它不但幫助我們更深刻地理解了直線的一般式方程以及其平行和垂直的條件，還讓我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到了點(diǎn)到直線的距離公式的本質(zhì).

課后反思

1. 拓展、延伸是研究數(shù)學(xué)問題、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的常用手段

因?yàn)橄蛄烤哂袔缀魏痛鷶?shù)的雙重屬性，所以很多解析幾何問題都能引用向量來解決. 盡管教材沒有介紹利用向量研究直線問題的方法，筆者思考可能是由于教材內(nèi)容安排順序所導(dǎo)致的，因?yàn)樵谌私藺版必修4第121頁的復(fù)習(xí)參考題中出現(xiàn)了利用向量研究直線的問題. 本節(jié)課中，筆者嘗試拓展課本習(xí)題，引進(jìn)了直線法向量的概念，不僅完善了直線五種形式中系數(shù)的幾何意義，加深了學(xué)生對直線一般式方程下“垂直”與“平行”條件的本質(zhì)理解，而且引導(dǎo)學(xué)生從向量觀點(diǎn)來理解和推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，方法更加簡潔，也更能反映公式的本質(zhì)特征. 同時(shí)，本節(jié)課內(nèi)容也為后續(xù)利用空間向量研究空間距離和空間角做好了鋪墊.

2. 源于課本，對教材實(shí)施“再開發(fā)”

課本是一科之本，它是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的主要來源，也是數(shù)學(xué)教師施教的根本所在. 然而在目前的課堂教學(xué)中，很多教師脫離課本的現(xiàn)象普遍存在，認(rèn)為“教材太簡單，不足以應(yīng)付高考”，崇尚各種教輔資料，殊不知教材中的例題是經(jīng)過專家反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選出來的，它們的育人價(jià)值是很多粗制濫造的教輔資料無法替代的. 當(dāng)然，如果我們只是照本宣科，不去深刻研討教材，挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，那么這些例題和習(xí)題離真正的高考題還有一些差距. 因此，在教學(xué)中，需要教師認(rèn)真研究教材中的例題和習(xí)題，創(chuàng)造性地使用它們，才能很好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

作者簡介：蔡斌（1984—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，佛山市順德區(qū)高中數(shù)學(xué)兼職教研員，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.