［摘? 要］ 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 教學(xué)設(shè)計作為課堂教學(xué)的藍(lán)本，是實現(xiàn)課程目標(biāo)的基礎(chǔ). 平面向量不僅蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，還是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的上好素材. 研究者以“平面向量基本定理”的教學(xué)設(shè)計為例，從“凸顯‘以生為本的教育理念”“遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律”“以思維促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成”三方面談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；平面向量；思維

“整合與發(fā)展”是當(dāng)今教育的主題. 設(shè)置綜合性課程、注重多元能力的發(fā)展、強調(diào)終身學(xué)習(xí)、根據(jù)國情構(gòu)建學(xué)科核心素養(yǎng)框架等是促使學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展能力的關(guān)鍵. 2017年，我國頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵目標(biāo)，這要求教師不僅關(guān)注知識的傳授，而且注重對學(xué)生各項能力的培養(yǎng).

核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

什么是素養(yǎng)？當(dāng)我們把所學(xué)知識都遺忘了，腦海中留下的解決問題的能力就是一個人的綜合素養(yǎng). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于會用數(shù)學(xué)眼光、思維、語言來觀察、思考、描述世界，能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成適應(yīng)社會發(fā)展的品格與能力. 也就是說，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的在于“立德樹人”，在于培養(yǎng)“全面發(fā)展的新時代人才”. 若從“文化基礎(chǔ)”“社會參與”與“自主發(fā)展”三個角度來看，核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在人的科學(xué)精神、文化底蘊、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、健康生活、學(xué)習(xí)能力與實踐創(chuàng)新等方面［1］.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是基于核心素養(yǎng)提出的，是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步形成的核心能力與品質(zhì)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為六個要素，分別為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理與數(shù)據(jù)分析. 也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生獲得上述六個素養(yǎng)，為學(xué)生更好地理解社會、適應(yīng)社會、改造社會奠定基礎(chǔ). 下面，筆者結(jié)合“平面向量基本定理”的教學(xué)設(shè)計談?wù)勅绾卧诟咧袛?shù)學(xué)課堂中落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)實錄

1. 舊知回顧，引發(fā)思考

課堂伊始，筆者帶領(lǐng)學(xué)生回顧與平面向量相關(guān)的內(nèi)容，要求學(xué)生思考并回答以下幾個問題：①若一個人從點A處走到點B處，又從點B處走到點C處，此人兩次位移的和是什么？②說說向量共線定理；③如何確定向量共線定理中的實數(shù)λ的值？實數(shù)λ的值是否唯一？④若a≠0，a能表示哪些向量？⑤如果向量a，b并非共線的關(guān)系，b可以用向量a表示嗎？

設(shè)計意圖 問題①和問題②引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，為本節(jié)課的教學(xué)活動的開展夯實基礎(chǔ)；問題③帶領(lǐng)學(xué)生回顧向量共線定理，尤其強調(diào)實數(shù)λ的唯一性，為后面學(xué)生理解平面向量基本定理中的實數(shù)λ1和λ2的唯一性奠定基礎(chǔ)；問題④和問題⑤引發(fā)學(xué)生思考：向量a（a≠0）能夠表示所有與a共線的向量，但不能表示與a（a≠0）不共線的向量，此時該怎么辦呢？

2. 逐層突破，鋪路造橋

師：類比之前我們在代數(shù)學(xué)習(xí)中遇到的一個情境——數(shù)軸上的點與實數(shù)屬于一一對應(yīng)的關(guān)系，你們認(rèn)為平面內(nèi)的點與什么是一一對應(yīng)的呢？

生1：可以建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系，確定平面內(nèi)的點與實數(shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系.

師：很好！如果遇到平面向量a（a≠0）不能表示的向量，該怎么處理呢？

生2：可以考慮找一個新的向量來幫忙.

師：找什么向量呢？如果找的是與向量a（a≠0）共線的向量b，是否可行？

生3：不行！我們要找的是與向量a不共線的向量.

師：如圖1所示，現(xiàn)在請大家用不共線的向量e1，e2來表示向量a.

學(xué)生自主畫圖且書寫步驟，筆者將其中具有代表性的研究過程投影出來供所有學(xué)生參考，并做出總結(jié)：①在平面內(nèi)任取點O，繪制向量=e1，=e2，=a；②過點C作OB的平行線與AO相交于點M，=λe1；③過點C作OA的平行線與OB相交于點N，=λe2. 根據(jù)向量共線定理發(fā)現(xiàn)實數(shù)λ與λ是唯一的，同時由向量加法的平行四邊形法則可得=+=λe1+λe2.

師：這里提到的“實數(shù)λ與λ是唯一的”確定嗎？

生4：確定. 根據(jù)與e1共線的特征，可知實數(shù)λ的值是唯一的，同理可知實數(shù)λ的值也是唯一的.

設(shè)計意圖 上述設(shè)計主要是為了完成以下三個教學(xué)任務(wù)：①帶領(lǐng)學(xué)生通過類比法，實現(xiàn)一維思維向二維思維的轉(zhuǎn)化，讓平面向量基本定理自然生成；②激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生通過獨立思考與合作交流，掌握本節(jié)課的知識和技能、思想和方法，積累活動經(jīng)驗；③通過逐層遞進(jìn)的問題，促進(jìn)學(xué)生類比思想與化歸思想的發(fā)展，這對激發(fā)學(xué)生的探索精神具有重要意義.

3. 深入探索，揭露本質(zhì)

如圖2所示，能否用不共線的向量e1，e2來表示向量b（b≠a）呢？

（學(xué)生畫圖并投影展示）

師：我們是否可以用不共線的向量e1，e2來表示其他向量呢？（用三角板圍繞點O旋轉(zhuǎn)，獲得一系列的向量）

學(xué)生表示可以，用向量共線定理以及以上作圖過程即可證明. 筆者肯定了學(xué)生的想法，并要求一位學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述這一證明過程，同時借助PPT展示完整的平面向量基本定理.

師：大家觀察PPT上所展示的定理，說說此定理的關(guān)鍵詞.

生5：①不共線；②任一向量a；③有且只有一對實數(shù).

設(shè)計意圖 一方面，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性、從個體到整體、從正面到反面、從具體到抽象的平面向量基本定理形成的過程，讓學(xué)生從多維度理解平面向量基本定理的內(nèi)涵；另一方面，通過問題的設(shè)置，為新舊知識建構(gòu)橋梁，讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)展的過程，理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法. 同時，讓學(xué)生自主尋找平面向量基本定理的關(guān)鍵詞，能深化學(xué)生對平面向量基本定理的認(rèn)識.

4. 借助例題，深化理解

師：誰來說說一個平面向量存在多少個基底？

生（眾）：只要是兩個不共線向量，就能組成一個基底，因此有無數(shù)個基底.

師：很好！如圖3所示，已知AC與BD是平行四邊形ABCD的對角線，于點M處相交，=a，=b，請用基底｛a，b｛來表示，，與.

當(dāng)學(xué)生順利解決這個問題后，筆者順勢問道：圖3中還存在哪些可以構(gòu)成基底的向量？學(xué)生認(rèn)為，，，等都可以，并說出這么選擇的主要依據(jù)是：兩個不共線向量都可以構(gòu)成一個基底，能表示平面內(nèi)所有向量.

設(shè)計意圖 對典型例題的探討，不僅能幫助學(xué)生夯實知識基礎(chǔ)，還能讓學(xué)生將知識與技能的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為一種學(xué)習(xí)能力，為后續(xù)研究其他問題積累經(jīng)驗.

5. 總結(jié)反思，提煉深華

要求學(xué)生梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，涉及的數(shù)學(xué)思想方法、研究方法等；布置課后作業(yè)，要求學(xué)生通過獨立思考解決問題，深化學(xué)生對知識、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法的理解.

設(shè)計意圖 從不同維度進(jìn)行總結(jié)反思，不僅能帶領(lǐng)學(xué)生站到宏觀的角度回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的提煉與問題解決方法的總結(jié)中獲得數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

幾點思考

1. 凸顯“以生為本”的教育理念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確學(xué)生在課堂中的主體地位，要求教師盡可能為學(xué)生提供更多嘗試、體驗與發(fā)現(xiàn)的機會，鼓勵學(xué)生在動手、動腦與動口中調(diào)動各個感官系統(tǒng)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生.

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，不論是舊知回顧，還是逐層突破，抑或典型例題的解析等，都是在“以生為本”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 學(xué)生在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中大膽地發(fā)揮想象，通過猜想、歸納與總結(jié)，不僅深化了對知識本質(zhì)的理解，還從一定程度上揭示了數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)研究更多知識奠定了思想方法基礎(chǔ).

教師在課堂中俯下身子，用平等的眼光與學(xué)生交流，不僅能從真正意義上打開學(xué)生的心扉，讓學(xué)生更加樂于學(xué)習(xí)，還能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強學(xué)習(xí)效率，讓核心素養(yǎng)落地生根［2］.

如本節(jié)課的舊知回顧環(huán)節(jié)，筆者以問題串的方式啟發(fā)學(xué)生思考，在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上鼓勵學(xué)生回顧舊知，為新知的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 這種“以生為本”的教學(xué)方式顯然成功地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣.

2. 遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律

學(xué)貴有疑. 問題是學(xué)生思維發(fā)展的起點，也是數(shù)學(xué)的心臟. 在教學(xué)中，設(shè)計科學(xué)、合理、難易程度適中的問題，往往能有效啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生自主投身于有效的探究活動中去. 事實告訴我們，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的問題，往往能起到事半功倍的教學(xué)效果.

若問題的難度過大，則學(xué)生無從下手；若問題的難度過小，則無法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“憤”“悱”的狀態(tài). 在這些情況下，出現(xiàn)“啟而不發(fā)”的現(xiàn)象就在所難免. 另外，過于細(xì)碎的問題也無法激發(fā)學(xué)生思考，難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果. 只有處于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，才能讓學(xué)生“跳一跳，摘到桃”.

在本節(jié)課中，筆者從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律出發(fā)，設(shè)計了一些起點低、臺階小、密度高的問題，讓學(xué)生在求知中體驗知識發(fā)生和發(fā)展的過程，對學(xué)生的認(rèn)知有一種促進(jìn)作用. 同時，一個個追問的使用，讓學(xué)生自然而然地概括出平面向量基本定理，整個過程符合學(xué)生認(rèn)知同化與順應(yīng)的規(guī)律.

縱觀本節(jié)課，從知識回顧到知識逐層突破，再到定理的自然形成，每一步都是從學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知中的知識基礎(chǔ)、思想方法以及思維方式“同化”而來. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生不僅實現(xiàn)了知識的意義建構(gòu)，還對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

3. 基于思維促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)核心在于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，課堂是落實核心素養(yǎng)的主陣地，學(xué)生是形成核心素養(yǎng)的主體［3］. 在教學(xué)中，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素細(xì)化到各個教學(xué)環(huán)節(jié)中，并以此作為教學(xué)目標(biāo)，從多角度把握教材內(nèi)容與教學(xué)方式，通過對教材內(nèi)容的整合與再建構(gòu)，掌握課堂動態(tài)生成，讓教學(xué)“活”起來.

隨著教學(xué)內(nèi)容的整合與知識來龍去脈的揭曉，學(xué)生不僅親歷知識形成與發(fā)展的過程，還充分體驗數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的價值與魅力. 例如本節(jié)課中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從不同維度去分析平面向量基本定理，學(xué)生的思維隨著問題的逐漸深入而大受啟發(fā)，幫助學(xué)生夯實知識基礎(chǔ)的同時還促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展.

俗話說：“數(shù)學(xué)是思維的體操. ”在平面向量基本定理的探索中，學(xué)生經(jīng)歷了圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)化過程，不僅為平面向量基本定理的形成夯實了基礎(chǔ)，也為形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)能力積累了經(jīng)驗. 在整個教學(xué)過程中，筆者緊扣教學(xué)重點與難點引導(dǎo)學(xué)生的思維隨著問題拾級而上，逐漸趨向于完善和成熟，促使學(xué)生在深刻理解平面向量基本定理的內(nèi)涵與外延時，形成良好的數(shù)學(xué)抽象能力.

總之，核心素養(yǎng)并不是指某樣知識與技能，而是指學(xué)習(xí)者獲得知識與技能的能力，核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展是素質(zhì)教育的重要節(jié)點，在數(shù)學(xué)教育史上具有深遠(yuǎn)的意義. 當(dāng)然，核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展不是一朝一夕就能完成的，也不是通過機械式記憶就能夠深刻領(lǐng)悟到的，它的形成與發(fā)展需要一個漫長的過程，需要教師精心設(shè)計教學(xué)活動，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)根植在教學(xué)的每一個環(huán)節(jié).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)4）——《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（28）：7-11.

［2］ 張淑梅，何雅涵，保繼光. 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)計分析［J］. 課程·教材·教法，2017，37（10）：50-55.

［3］ 印錦松. 深度學(xué)習(xí)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑［J］. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（12）：15-17+41.

作者簡介：陸燕萍（1982—），中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.