張西欣

摘要：當(dāng)下許多學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用感到困惑，導(dǎo)致其在解決函數(shù)問題時(shí)遇到困難.通過數(shù)形結(jié)合的方法，為學(xué)生提供函數(shù)圖象來輔助學(xué)習(xí)和理解函數(shù)概念，是一個(gè)有價(jià)值的研究方向.數(shù)形結(jié)合可將抽象的數(shù)學(xué)概念與函數(shù)圖象建立聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而解決函數(shù)問題.文章分析了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢、作用，以及如何在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法.研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合不僅能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和思維能力.因此，教師在函數(shù)教學(xué)過程中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，通過函數(shù)圖象引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；函數(shù)問題；幾何圖形

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）32-0014-03

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中發(fā)揮著重要作用，特別是在求實(shí)數(shù)根和取值范圍方面，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生可以將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題，并通過觀察圖形的特性解決問題[1].數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的妙用不僅能幫助學(xué)生解決問題，還能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)形結(jié)合為學(xué)生提供了更加直觀、形象的思維方式，使學(xué)生能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)[2].

1 求實(shí)數(shù)根類型的函數(shù)問題

在求實(shí)數(shù)根的問題中，數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生直觀地理解方程與函數(shù)圖象之間的關(guān)系.例如，在解決方程實(shí)數(shù)根問題時(shí)，可將方程實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過觀察圖象與圖象相交的點(diǎn)得到方程的實(shí)數(shù)根.在這類問題中，常常會(huì)出現(xiàn)“是否有實(shí)數(shù)根”“有幾個(gè)實(shí)數(shù)根”“實(shí)數(shù)根的取值”等問題[3].數(shù)形結(jié)合通過將抽象的方程問題與具體的圖形聯(lián)系起來，不僅能夠提高學(xué)生的空間思維能力，還能使學(xué)生更加深入地理解抽象概念.

例1已知x1、x2、x3為方程x3+3x2-9x-4=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論一定正確的是（）.

A.x1x2x3<0? B.x1+x2-x3>0

C.x1-x2-x3>0 D.x1+x2+x3<0

解析因?yàn)閤3+3x2-9x-4=0，當(dāng)x=0時(shí)，-4≠0，所以x2+3x-9-4x=0.由此可知，x1、x2、x3可以看作拋物線y=x2+3x-9與反比例函數(shù)y=4x 的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖1所示.由函數(shù)圖象可知x1x2x3>0，x1+x2+x3<0，根據(jù)已知條件無法判定x1+x2-x3>0，x1-x2-x3>0，故選D.

點(diǎn)評(píng)本題考點(diǎn)為“實(shí)數(shù)根的取值”，主要考查反比例函數(shù)與二次函數(shù)知識(shí).正確理解題意后得到x1、x2、x3可以看作是拋物線y=x2+3x-9與反比例函數(shù)y=4x 圖象的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由x3+3x2-9x-4=0可得x2+3x-9=4x，由此畫出函數(shù)圖象即可求解.由于題目原式為一元三次函數(shù)，初中階段的知識(shí)不具備直接求解的條件，因此通過進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以得到實(shí)數(shù)根的大致取值以及正負(fù)號(hào)，從而判斷實(shí)數(shù)根的性質(zhì).

例2方程3（x+1）（x-4）+3（x+2）（5-x）=6的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.大于2

解析原式3（x+1）（x-4）+3（x+2）（5-x）=6可化為 3x2-3x-4=3x2-3x-10+6.由于等式左邊與等式右邊含x項(xiàng)的系數(shù)與次冪都相同，因此等式右側(cè)函數(shù)，可看作是等式左側(cè)函數(shù)通過上下平移得到，因此，兩函數(shù)不存在交點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)本題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象求交點(diǎn)的問題，與例1類似.巧妙之處在于化簡之后發(fā)現(xiàn)，含變量部分的系數(shù)和次冪均相等，這意味著整理后的兩個(gè)函數(shù)圖象“僅存在上下平移”.需要注意的是，只有“上下平移”的時(shí)候，兩函數(shù)圖象才無交點(diǎn)，存在其他形式平移時(shí)，該推理不成立.

2 求取值范圍類型的函數(shù)問題

在求取值范圍的問題中，數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生直觀地理解函數(shù)的定義域和值域.通過將函數(shù)的定義域和值域與函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)起來，學(xué)生可以通過觀察圖形的特性來確定函數(shù)的取值范圍[4].這種直觀的方法不僅能夠提高學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和圖象處理能力.通過利用函數(shù)圖象表示函數(shù)的變化規(guī)律，學(xué)生可以理解函數(shù)的增減性、極值和最值等性質(zhì).

例3拋物線y=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-1，若關(guān)于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0（t為實(shí)數(shù)），在-2

A.-12＜t≤3B.-12＜t＜4

C.-12＜t≤4D.-12＜t＜3

解析方法1：因?yàn)閽佄锞€y=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-1，所以b=-2，y=-x2-2x+3；此時(shí)一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實(shí)數(shù)根可以看作y=-x2-2x+3與函數(shù)y=t的圖象有交點(diǎn)，如3所示.

因?yàn)榉匠淘?2＜x＜3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，并且當(dāng) x=-2 時(shí)，y=3；當(dāng) x=3時(shí)，y=-12；函數(shù)y=-x2-2x+3在x=-1時(shí)有最大值4；所以-12＜t≤4，故選C.

方法2：因?yàn)閽佄锞€y=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-1，所以b=-2，此時(shí)一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實(shí)數(shù)根可以分情況討論，設(shè)fx=-x2-2x+3-t，如圖4所示.

（1）有兩個(gè)根：即f（-1）＞0；f（-2）＜0；f（3）＜0，此時(shí)有4-t＞0；3-t＜0；-12-t＜0；

（2）和（3）有一個(gè)根：f（-2）·f（3）＜0，此時(shí)（3-t）（-12-t）＜0.

從而可得-12＜t≤4.

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)給出的對(duì)稱軸求出函數(shù)解析式為y=-x2-2x+3，可將一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實(shí)數(shù)根可以看作y=-x2-2 x+3與函數(shù) y=t圖象的交點(diǎn)，再由-2＜x＜3的范圍確定y的取值范圍即可求解.主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；本題中，能夠?qū)⒎匠痰膶?shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題是關(guān)鍵.本題也是一題多解類題型，方法1思考過程簡單，圖象也更加直觀；方法2作為拓展解法，這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)涉及實(shí)數(shù)根問題的題目，都是以x軸為研究對(duì)象，在分類討論中，可以借助函數(shù)值在對(duì)應(yīng)x值時(shí)的正負(fù)號(hào)進(jìn)行清晰判斷，如方法2中的（2）和（3），通過與x值對(duì)應(yīng)的y值乘積小于0，即可判定在區(qū)間內(nèi)必定有根.

例4已知拋物線C：y=x2-2bx+c.

（1）若拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，-3），求b、c的值；

（2）當(dāng)c=b+2，0≤x≤2時(shí)，拋物線C的最小值是-4，求b的值；

（3）當(dāng)c=b2+1，3≤x≤m時(shí)，x2-2bx+c≤x-2恒成立，求m的最大值.

解析（1）因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，-3），所以y=（x-1）2-3=x2-2x-2，所以-2b=-2，b=1，c=-2.

（2）因?yàn)閏=b+2，所以y=x2-2bx+c=x2-2bx+b+2，對(duì)稱軸為 x=b，此時(shí)分情況討論：①當(dāng) b＜0 時(shí)，由題意可知 b+2=-4，解得 b=-6，符合題意；②當(dāng)0≤b≤2 時(shí)，4（b+2）-4b24=-4，解得b1=3，b2=-2，不合題意舍去；③當(dāng)b＞2 時(shí)，根據(jù)題意可知 22-4b+b+2=-4，解得 b=103，符合題意；因此所求b的值為-6或103.

（3）當(dāng)c=b2+1 時(shí)，拋物線C的解析式為y=（x-b）2+1，如圖5所示，拋物線C的頂點(diǎn)在直線y=1上移動(dòng)：

當(dāng)3≤x≤m時(shí)，x2-2bx+c≤x-2恒成立，則可知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，1），設(shè)拋物線C與直線y=x-2除頂點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)為M，此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即為m的最大值.

由 y=（x-3）2+1

y=x-2 解得x1=3，x2=4，因此m的最大值為 4.

點(diǎn)評(píng)本題第（1）問根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式確定系數(shù)即可；第（2）問先根據(jù)已知條件確定拋物線的對(duì)稱軸，再分段討論拋物線在各段上取最小值時(shí)b的值；第（3）問需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過拋物線圖象的移動(dòng)范圍確定.

總之，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)題中的妙用是不可忽視的.數(shù)形結(jié)合不僅可以幫助學(xué)生直觀地理解抽象概念和解決問題，還能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲[5].因此在今后的教學(xué)中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用，通過提供具體的圖形來引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

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［責(zé)任編輯：李璟］