周宗全 閆化宇

摘要：“一題多解”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的一種行之有效的方法.將“一題多解”恰當(dāng)?shù)厝谌敫咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中，從多角度探討解題規(guī)律，有助于學(xué)生掌握解題技巧，提高解題能力.

關(guān)鍵詞：一題多解；多解一題；不等式；泰勒公式

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0021-03

2022年高考試卷考點分布合理，總體難度有所增加，但未出現(xiàn)偏、難、怪的題目，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，以《中國高考評價體系》為最高原則，發(fā)揮出了數(shù)學(xué)科目選拔人才的作用.要求考生立足于教材，不拘泥于教材，活用教材，注重知識點之間的關(guān)聯(lián)、融合、升華，搭建知識體系，滲透數(shù)學(xué)思想方法［1］.以常規(guī)解法為基礎(chǔ)，充分運用一題多解.文章通過對2022年高考數(shù)學(xué)卷中比大小類型的題目進(jìn)行分析和整合，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和通性通法解題的能力.

1 真題再現(xiàn)

2022年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷7題，設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，比較大小.

2 解法展示

比大小題目為高考常規(guī)題目，為了考查學(xué)生對于函數(shù)的綜合運用能力，題目基本告別了“三段式”的結(jié)論，要求學(xué)生需具備構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)放縮等多方面的解題方法和能力［2］.

2.1 常規(guī)解法

比大小，一般采取作商、作差的方法，其中會用到構(gòu)造函數(shù)的思想.以真題為例.

其具體步驟如下：細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)a，b，c的共性，都與0.1有關(guān)聯(lián).巧構(gòu)造，利用構(gòu)造函數(shù)判斷其單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)法和初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.構(gòu)造函數(shù)u（x）=xex（00，v（x）>0，w（x）>0.

首先設(shè)f（x）=ln［u（x）］-ln［v（x）］=x+ln（1-x）（0

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，所以u（0.1）

接下來，我們需比較a，c的大小，可采取作差法進(jìn)行比較.設(shè)g（x）=u（x）-w（x）=xex+ln（1-x）（00在（0，0.1］上恒成立，即h（x）在（0，0.1］上單調(diào)遞增的，所以h（x）>（1-02）×e0-1=0，所以g′（x）>0在（0，0.1］上恒成立，所以g（x）在（0，0.1］上單調(diào)遞增，所以g（0.1）>0×e0+ln（1-0）=0，即u（0.1）-w（0.1）>0，則a>c.

綜上所述，可判斷c

在判斷a，b大小時，可采用作商法，判斷比值與1的大小關(guān)系，具體解法不再贅述.

2.2 放縮法

高中階段常見放縮公式有：

ex≥x+1>x>x-1≥lnx>1-1x

12（x-1x）

2（x-1）x+11）

三角函數(shù)放縮：

tanx>x>sinx（0

以真題為例，其具體步驟如下：

先比較b，c，先進(jìn)行一些變形，b=19=109-1，c=-ln910=ln109，根據(jù)公式x-1≥lnx，可得出b>c.

再比較a，b，先將a，b擴(kuò)大十倍分別變?yōu)閑0.1，109，再同時取其倒數(shù)1e0.1=e-0.1，910=-0.1+1，根據(jù)ex≥x+1，得e-0.1>-0.1+1，則a

最后比較a，c，根據(jù)公式ex+1≥x+1，lnx<12（x-1x），（x>1），則a=0.1e0.1>0.1（0.1+1）=0.11，c=ln109<12（109-910）<0.11，則a>c.

前兩種方法較為常規(guī)，但不難看出前兩種方法需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯能力，考場壓力下會消耗大量時間，所以在平常的訓(xùn)練中還是推薦通法，但課下還是可以了解一下其他解法和原理.我們知道對于非特殊的指數(shù)和對數(shù)一般很難算出它們的值，但我們可借助高等數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的知識，從而快速求解這類題目.接下來我們將采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此題.2.3 帕德逼近

泰勒展開是一種很好的逼近方法，對許多函數(shù)都有很好的效果，然而，有時泰勒展開對某些帶極值的函數(shù)逼近的效果不盡如人意，本質(zhì)原因是因為多項式級數(shù)的局限性.為此，我們可以考慮用分式來逼近函數(shù)，也就是所謂的分式逼近，一種常用的分式逼近方法為帕德逼近，帕德近似（Pade approximation）是一種特殊的有理數(shù)逼近的一種方法，是一種非線性近似方法［3］.帕德近似往往比截斷的泰勒級數(shù)準(zhǔn)確，而且當(dāng)泰勒級數(shù)不收斂時，帕德近似往往仍然可行，以下列舉了兩種對數(shù)和指數(shù)的轉(zhuǎn)換方式.這種方法比泰勒展開收斂速度更快.主要應(yīng)用于計算機(jī)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但對于高中函數(shù)方面有一定的作用，學(xué)生和教師可以適當(dāng)?shù)亓私庖幌拢卣棺约旱闹R領(lǐng)域.

ln（1+x）≈3x2+6xx2+6x+6x∈（-1，1），ex≈x2+6x+12x2-6x+12x∈（-1，1）

以第一題為例，其具體步驟如下：

通過計算可得a=0.1e0.1=0.1×0.12+6×0.1+120.12-6×0.1+12≈0.110 517 09

c=-ln0.9=-3×（-0.1）2+6×（-0.1）（-0.1）2+6×（-0.1）+6≈0.105 360 4.

2.4 背數(shù)法

在高中數(shù)學(xué)階段，熟記一些常見的特殊值也是必不可少的，對于一些題目的解答會帶來不錯的效果.下面根據(jù)題目進(jìn)行變換，利用一些常見的數(shù)值帶入比較其大小.

常見的對數(shù)有：ln2≈0.693，ln3≈1.098，ln5≈1.609

以真題為例，其具體步驟如下：

對于c：進(jìn)行轉(zhuǎn)變-ln0.9=-ln910=ln10-ln9=ln2+ln5-2ln3≈0.106，對于a，b我們易知都是大于0.11，如何比較a，b？因為a中出現(xiàn)了e，我們可以考慮同取對數(shù)，lna=ln（0.1e0.1）=ln0.1+lne0.1=ln110+110=110-ln10=0.1-ln2-ln5≈-2.202，lnb=ln19=-2ln3≈-2.196，故lnb>lna，因為f（x）=lnx在定義域中單調(diào)遞增，所以b>a.綜上：b>a>c.

背數(shù)法固然可行，但對于有些題目無法化簡成特殊數(shù)的形式，所以此方法適合一部分題目，不適合全部比較大小的題目.

3 一題多解的意義

通過觀察可以看出比大小題目類型多，方法不唯一，每種方法都有優(yōu)缺點，所以一題多解的應(yīng)用意義重大.現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在教學(xué)方法不合理的情況，從而限制了學(xué)生思維的開發(fā)，也不利于學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué).比如題海戰(zhàn)術(shù)，該學(xué)習(xí)的方式是讓學(xué)生通過做大量的習(xí)題來熟悉并掌握相關(guān)知識，但這種學(xué)習(xí)方式卻給學(xué)生造成了很大的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和時間壓力，甚至導(dǎo)致部分學(xué)生厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門既浪費時間，又收獲不大的科目.學(xué)生機(jī)械性地去做老師布置的題目，沒有時間對其所做的題目進(jìn)行認(rèn)真思考和總結(jié)，導(dǎo)致對需要掌握的知識不深入不具體.此外，很多學(xué)生受到此類教學(xué)方法的影響，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也會有一定的限制.很多學(xué)生只尋求一種解題方法，就認(rèn)為已經(jīng)滿足自己對此模塊知識的掌握要求，并未認(rèn)真考慮是否有其他簡便快捷的解題方式［4］.因此，一題多解的教學(xué)思路應(yīng)當(dāng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段普及，同時讓學(xué)生從中獲得更大的收獲.

4 一題多解，發(fā)散思維，提高能力

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑，數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn)，解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.發(fā)散思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.這種思維方式，不受現(xiàn)代知識的局限，不受傳統(tǒng)知識的束縛，與創(chuàng)造力有著直接聯(lián)系，是創(chuàng)造性思維的核心.培養(yǎng)發(fā)散思維能力既是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的重要環(huán)節(jié)，也是發(fā)展其個性的有效手段.

在數(shù)學(xué)科目上，一題多解是訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種行之有效的教學(xué)方式，是讓學(xué)生跳出單一思維模式，多種角度、多個方位地審視、分析問題，從而達(dá)到解決問題的目的.它能充分調(diào)動學(xué)生自行解決問題的主動性、積極性，讓學(xué)生全方位地思考解題的多種方法，不斷開發(fā)解題潛能.

用問題促進(jìn)思維的發(fā)展即通過合理設(shè)計疑問，以促進(jìn)學(xué)生自身思維多方向、多角度的發(fā)展.在訓(xùn)練發(fā)散思維時，教師要注意使設(shè)計的問題既達(dá)到了激疑目的，又具有一定的開放性.

用變化求得發(fā)散思維.在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上，通過變式進(jìn)行訓(xùn)練，努力挖掘教材知識的深度和廣度，尋求思維的發(fā)散點，結(jié)合已學(xué)和拓展的知識，從不同角度出發(fā)，尋找題目的最優(yōu)解.教師需精心設(shè)計每一堂課，通過一步步的變式探究，一步步的引導(dǎo)，使學(xué)生在課堂上處于一種探究、探索的狀態(tài)，通過多角度探究達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的目的.

教師需轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，注重學(xué)生討論環(huán)節(jié).在很多情況下，學(xué)生之間具有互相啟發(fā)的作用，他們之間的相互交流溝通，可使解題思路得到有效的分享.為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步，教師應(yīng)當(dāng)采用學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)的方式，小組成員之間共同探討、交流解答教師所布置的任務(wù)以及有幾種方法可以解答題目等，將多個學(xué)生的思維整合到一起，再以小組為單位展開探討.這種方式既能烘托學(xué)習(xí)氛圍，又能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情高漲，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，達(dá)到全體學(xué)生相互幫助、相互促進(jìn)學(xué)習(xí)的目的，同時加深學(xué)生對一題多解的學(xué)習(xí)方式，逐漸使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣［5］.

總而言之，熟練運用一題多解和多解一題是學(xué)生高中階段不可或缺的能力，教師需提高自身教學(xué)能力和教學(xué)水平，豐富自身知識領(lǐng)域，從而優(yōu)化學(xué)生綜合素質(zhì)，提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 何長斌.例談高中數(shù)學(xué)習(xí)題課中的“一題多變、一題多解”教學(xué)策略[J].中學(xué)教學(xué)參考，2015（11）：26.

[3] 趙魯輝.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多解”對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（19）：86-87.

[4] 秦曾復(fù)，朱學(xué)炎.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社， 1991.

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［責(zé)任編輯：李璟］