☉侯斌珍

著名的瑞士教育學(xué)家約翰尼斯· 海因里希· 裴斯泰洛齊曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“教育的最終目的，不是為了積累知識(shí)，而是為了發(fā)展學(xué)生的思維”［1］。所謂思維，指的是人腦對(duì)客觀世界進(jìn)行映射后形成的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，這種認(rèn)識(shí)是理性的，反映了客觀事物的本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律?；谒季S的定義，數(shù)學(xué)思維即是人通過(guò)觀察、歸納、類比、演繹、符號(hào)表達(dá)等方式來(lái)認(rèn)知和解釋世界本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律的一種理性認(rèn)識(shí)活動(dòng)。作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的三大要素之一，數(shù)學(xué)思維的重要性可見(jiàn)一斑［2］。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是一線數(shù)學(xué)教師工作中的重中之重，但是思維作為人腦產(chǎn)生的一種復(fù)雜的心理活動(dòng)，其發(fā)展看不見(jiàn)摸不著，且不能一蹴而就，具有長(zhǎng)期性、階段性、復(fù)雜性等特點(diǎn)［3］。因此想要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效培養(yǎng)，就必須要充分考慮學(xué)生的心理認(rèn)知特點(diǎn)、教學(xué)實(shí)際條件、課標(biāo)具體要求，選擇確實(shí)可行的路徑方法，妥善安排實(shí)施教學(xué)計(jì)劃，才能按照預(yù)期達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

習(xí)題測(cè)驗(yàn)是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)水平，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展的有效手段。通過(guò)習(xí)題測(cè)驗(yàn)，教師能夠在一定程度上檢測(cè)出學(xué)生學(xué)習(xí)中的薄弱點(diǎn)和盲點(diǎn)，在了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上制定計(jì)劃進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，發(fā)展學(xué)生的能力和素養(yǎng)。習(xí)題測(cè)驗(yàn)的一大寶貴財(cái)富就是學(xué)生做錯(cuò)的習(xí)題，這些錯(cuò)題代表著學(xué)生在本學(xué)習(xí)階段中需要改進(jìn)和努力的方向，具有很強(qiáng)的教學(xué)目標(biāo)導(dǎo)向功能［4］。但是很多學(xué)生并沒(méi)有正確認(rèn)識(shí)到錯(cuò)題的巨大價(jià)值，沒(méi)有妥善處理好錯(cuò)題，讓其成為提升能力的強(qiáng)大助力，造成非常惋惜的“資源浪費(fèi)”。為了能更深入地挖掘錯(cuò)題的價(jià)值，有必要對(duì)錯(cuò)題形成的原因進(jìn)行準(zhǔn)確的剖析。

一、錯(cuò)題形成的原因

（一）學(xué)生粗心大意

具有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一線教師都非常熟悉，在進(jìn)行習(xí)題講評(píng)的時(shí)候，很多學(xué)生都會(huì)將自己出錯(cuò)的原因歸結(jié)為粗心大意。粗心大意似乎成為一個(gè)萬(wàn)能的答案，在各科老師口中都能聽(tīng)到，這也成為一些學(xué)生尋找借口的擋箭牌，為教師幫助學(xué)生提升成績(jī)制造了困難。

（二）學(xué)生概念不清

由于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生心理認(rèn)知發(fā)育不成熟，此時(shí)的心理認(rèn)知屬于較為具象的初級(jí)階段，對(duì)于一些抽象、純文字的復(fù)雜概念存在理解障礙。在一線教學(xué)中，有部分教師沒(méi)有正確認(rèn)識(shí)到這一實(shí)際情況，忽視了關(guān)注學(xué)生對(duì)概念的理解，僅僅做到了讓學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行死記硬背的簡(jiǎn)單處理，很多學(xué)生能夠滾瓜爛熟地背誦概念，也能夠熟練解決課本上提供的例題，但是在面對(duì)改頭換面的習(xí)題時(shí)，卻顯得有些手足無(wú)措，難以有效進(jìn)行舉一反三。這背后深層次的原因就是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有真正理解概念背后的邏輯原理，沒(méi)有形成正確的數(shù)學(xué)思維，自然面對(duì)陌生的習(xí)題顯得力不從心［5］。

（三）學(xué)生審題不清

如今的習(xí)題變得越來(lái)越靈活，很多題目要想準(zhǔn)確理解其考查意圖變得越發(fā)困難。小學(xué)低年級(jí)階段，學(xué)生還沒(méi)有較為深厚的知識(shí)儲(chǔ)備，其閱讀理解能力有限。有的題目長(zhǎng)篇大論，動(dòng)輒六七行的密集文字讓許多學(xué)生望而生畏，好不容易將題目讀完，卻很難理解題目考查的問(wèn)題。造成這種情況的原因主要有兩方面：一方面是學(xué)生的閱讀理解能力較為薄弱，學(xué)生不能夠準(zhǔn)確理解每個(gè)數(shù)字背后代表的意義，因此就會(huì)表現(xiàn)出開盲盒式的選擇困難和疑惑；另一方面是學(xué)生還未能準(zhǔn)確掌握知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)單地記憶公式定理后，不能夠做到活學(xué)活用，即不具備將真實(shí)的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象和純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，因此就算是克服了習(xí)題的閱讀理解障礙，依舊存在著不能正確使用數(shù)據(jù)的問(wèn)題。

（四）迷思概念的干擾

學(xué)生在進(jìn)入校園接受系統(tǒng)的教育之前，已經(jīng)通過(guò)家庭和周圍的環(huán)境建立了一定的知識(shí)體系，這些潛移默化的知識(shí)影響著學(xué)生的一言一行。而錯(cuò)誤的迷思概念卻會(huì)讓教師頭疼不已，要想幫助學(xué)生改變這種思維慣性，存在著較大的困難。

二、規(guī)范利用錯(cuò)題集解決錯(cuò)題困難

所謂錯(cuò)題集，顧名思義就是用來(lái)收集學(xué)生做錯(cuò)習(xí)題的本子或者集子，規(guī)范合理地使用錯(cuò)題集，可以幫助學(xué)生更好地提高自己的學(xué)習(xí)能力。但錯(cuò)題集的使用也有著其規(guī)范性，盲目堆砌錯(cuò)題并不能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，相反卻是對(duì)這一寶貴學(xué)習(xí)資源的巨大浪費(fèi)。在此簡(jiǎn)單介紹如何較為規(guī)范地使用錯(cuò)題集，為一線教師提高教學(xué)質(zhì)量拋磚引玉。

（一）每個(gè)學(xué)生在使用錯(cuò)題本之前，首先要對(duì)錯(cuò)題本的板塊進(jìn)行分類，即將一個(gè)本子分成幾個(gè)章節(jié)。分類方法可以根據(jù)學(xué)生的喜好自行選擇，如按照知識(shí)點(diǎn)模塊分類，按照學(xué)習(xí)次序分類，按照題目類型分類等等。提前分類可以有效幫助學(xué)生建立一定的邏輯思維能力，便于后期再次查看。

（二）學(xué)生在錯(cuò)題本上記錄錯(cuò)題時(shí)，不僅僅是簡(jiǎn)單記錄題目和答案，還要將之前的錯(cuò)誤答案記錄在錯(cuò)題本上，同時(shí)在錯(cuò)誤答案下自我分析，寫出當(dāng)時(shí)錯(cuò)誤的原因，并反思如何避免再犯這樣的錯(cuò)誤。

（三）學(xué)生要養(yǎng)成定期回看錯(cuò)題本的習(xí)慣，為了保證學(xué)生能夠完成這一任務(wù)，教師要規(guī)定學(xué)生至少在周末查看一次錯(cuò)題本，并請(qǐng)家長(zhǎng)監(jiān)督。通過(guò)制度讓學(xué)生逐步養(yǎng)成回看錯(cuò)題本的習(xí)慣。

（四）教師要不定期抽查學(xué)生的錯(cuò)題本，以抽查的形式督促學(xué)生認(rèn)真完成任務(wù)，防止學(xué)生應(yīng)付差事。這樣做的目的并不在于通過(guò)加大教師的工作量來(lái)督促學(xué)生完成錯(cuò)題集，而是利用了鲇魚效應(yīng)，攪渾學(xué)生躺平的舒適區(qū)，讓他們形成緊迫感，防止他們形成僥幸心理。

能夠保證質(zhì)量地完成以上四點(diǎn)要求，學(xué)生基本就能夠在錯(cuò)題集的使用中受益匪淺了。但天下難事，貴在堅(jiān)持。如何保證學(xué)生能夠在離開教師的督促后還能夠長(zhǎng)期堅(jiān)持這一良好習(xí)慣，還需要各位家長(zhǎng)、學(xué)生和老師共同努力，幫助學(xué)生形成自覺(jué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、使用錯(cuò)題集發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

（一）培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力

在數(shù)學(xué)思維中，歸納能力是一種重要的基礎(chǔ)能力，是許多高階能力形成的基礎(chǔ)。學(xué)生在對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類的時(shí)候，不論是基于何種規(guī)則，都要運(yùn)用理性思維對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行邏輯判斷。邏輯判斷能力是形成歸納能力的前提，不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海。這種簡(jiǎn)單的能力訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生逐漸養(yǎng)成歸納思維的雛形。同類習(xí)題見(jiàn)得多了，學(xué)生自己會(huì)歸納出一套專屬的解題思路，是一種有意義的學(xué)習(xí)方式。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的時(shí)候，都會(huì)運(yùn)用“同化”和“順應(yīng)”的圖式，與舊知發(fā)生聯(lián)系，學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去建構(gòu)新知，歸納可以幫助學(xué)生搭建“腳手架”，幫助學(xué)生加快這一過(guò)程，產(chǎn)生事半功倍的效果。在習(xí)題訓(xùn)練的過(guò)程中，這一能力就會(huì)發(fā)揮出其卓越的價(jià)值，學(xué)生在遇到同類型的題目時(shí)，能夠?qū)⑾嗨频慕?jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)，利用歸納得到的方法解決問(wèn)題。學(xué)生運(yùn)用歸納的方法來(lái)解決問(wèn)題，不僅可以解決當(dāng)前的問(wèn)題，更為以后學(xué)習(xí)新知打下了基礎(chǔ)，學(xué)生通過(guò)歸納將已知和未知聯(lián)系起來(lái)，提高了學(xué)習(xí)效率，也發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造思維。

（二）是學(xué)生自查的好機(jī)會(huì)

古人云“知人者智，自知者明”，我們?cè)趯ふ宜巳秉c(diǎn)的時(shí)候，總是能夠靈感百出，十分尖銳地找到他人的問(wèn)題所在。但面對(duì)自己的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)表現(xiàn)出一種“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”的迷茫。這是人們自我保護(hù)的一種本能，普通人很難克服這種與生俱來(lái)的本能。但一個(gè)人如果不能正確認(rèn)識(shí)自己，就無(wú)法做到徹底的成長(zhǎng)和蛻變。生活如此，求學(xué)亦是如此。學(xué)生要想在學(xué)海之中揚(yáng)帆致遠(yuǎn)，賞他人未至之美景，就需要不斷改正自己的缺點(diǎn)，彌補(bǔ)自己的短板，增長(zhǎng)自身的能力。通過(guò)錯(cuò)題集的自查，學(xué)生能夠客觀、公正地應(yīng)對(duì)他人的評(píng)價(jià)，正確對(duì)待自己，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)制定合適的目標(biāo)，既不至于好高騖遠(yuǎn)制定太大的目標(biāo)，也不至于妄自菲薄目標(biāo)過(guò)小沒(méi)有發(fā)展。

（三）是培養(yǎng)學(xué)生自信的功績(jī)簿

心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，將行動(dòng)目標(biāo)列為清晰的清單，能夠有效提高目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)率。從某種角度上來(lái)看，學(xué)生的錯(cuò)題集也就是一種目標(biāo)清單，學(xué)生通過(guò)吃透這些錯(cuò)題，達(dá)到增長(zhǎng)能力的目的。學(xué)生在解決一道道難題的過(guò)程中，能夠感受到獨(dú)立解決困難的快樂(lè)，磨煉其奮斗精神，讓其愛(ài)上學(xué)習(xí)，愛(ài)上數(shù)學(xué)，形成強(qiáng)大的自信心［6］。

（四）培養(yǎng)學(xué)生的合作精神

合作精神似乎與數(shù)學(xué)思維關(guān)系不大，古往今來(lái)，那些偉大的數(shù)學(xué)家似乎都是獨(dú)立研究，他們的成果都是個(gè)人刻苦鉆研的結(jié)果，像祖沖之、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲、高斯等人皆是如此。但是在科技日新月異的今天，學(xué)科的發(fā)展不僅僅表現(xiàn)出了高度分化的特點(diǎn)，在一些前沿領(lǐng)域還同時(shí)出現(xiàn)了高度融合的特征，形成了一批新的學(xué)科領(lǐng)域。這些新的學(xué)科往往涉及許多學(xué)科的知識(shí)，但是很少有學(xué)者能夠成為同時(shí)跨界好幾個(gè)領(lǐng)域的專家，因而形成了許多研究小組，該小組內(nèi)囊括了所需的多學(xué)科頂尖人才，他們通過(guò)相互協(xié)作的方式在這些前沿領(lǐng)域里探索著未知世界。在這樣的工作環(huán)境中，合作精神是十分重要的，缺乏這種精神，很難在這種小組從事研究工作。學(xué)生之間利用錯(cuò)題集開展交流活動(dòng)，相互交換心得，可以起到互幫互助，增進(jìn)交往的效果，他山之石可以攻玉，其他同學(xué)無(wú)意中的一句隨口之語(yǔ)，也許就是點(diǎn)亮自己精神火花的那一聲撼人驚雷。

四、使用錯(cuò)題集進(jìn)行教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)

研究者制定了為期一個(gè)月的錯(cuò)題高效利用研究計(jì)劃。選擇兩個(gè)平時(shí)成績(jī)較為接近的教學(xué)班作為研究對(duì)象，其中一個(gè)班按照以往的教學(xué)程序照常授課，代號(hào)A 班；另一個(gè)班級(jí)作為對(duì)照組，使用錯(cuò)題本來(lái)收集平時(shí)做錯(cuò)的習(xí)題，代號(hào)為B 班。為了便于檢測(cè)最終的教學(xué)效果，研究者每周同時(shí)在兩個(gè)班里進(jìn)行一次小測(cè)驗(yàn)，然后對(duì)A 班學(xué)生正常點(diǎn)評(píng)；對(duì)B班學(xué)生在講評(píng)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生使用錯(cuò)題本將做錯(cuò)的習(xí)題謄抄在上面。

在確保B 班的學(xué)生都能夠按照要求正確使用錯(cuò)題本后，研究者開始正式實(shí)施計(jì)劃。

按照同樣的進(jìn)度，研究者對(duì)A、B 兩班同時(shí)授課，為了避免兩班的學(xué)生知道情況后影響實(shí)驗(yàn)效果，研究者并沒(méi)有告訴兩個(gè)班學(xué)生有關(guān)的研究安排，學(xué)生們都在平常的心理狀態(tài)下按時(shí)上課。

每周五，研究者會(huì)根據(jù)一周的學(xué)習(xí)內(nèi)容自行出題，測(cè)試兩個(gè)班的學(xué)習(xí)情況，為了避免兩個(gè)班的學(xué)生交換答案，因此測(cè)試在兩個(gè)班內(nèi)同時(shí)進(jìn)行。為了提高閱卷效率，研究者請(qǐng)同桌之間交換試卷，并直接開始講評(píng)，由于講評(píng)無(wú)法同時(shí)在兩個(gè)班進(jìn)行，因此選擇每周在兩個(gè)班之間輪流講評(píng)，即本周先在A 班講評(píng)，然后在B班講評(píng)；到了下周，首先在B 班講評(píng)，其次在A 班講評(píng)。如此往復(fù)，盡量在兩個(gè)班內(nèi)做到一致，不會(huì)因?yàn)槠渌兞坑绊懡虒W(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。研究者對(duì)兩個(gè)班的每次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的滿分率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，在第一周的測(cè)試中，兩班滿分率基本相當(dāng)，A 班略優(yōu)于B 班；在第二周的測(cè)試中，兩班的測(cè)試滿分率相比上次都有所提高，且B 班提高幅度大于A 班，B 班滿分率也略高于A 班；在第三周的測(cè)試中，B 班的滿分率依舊處于上升趨勢(shì)，而A 班滿分率較前次測(cè)試已有所下滑；到了第四周，B 班滿分率依舊高于A 班成績(jī)，且較前次測(cè)試依舊保持上升趨勢(shì)，而A 班滿分率較上次測(cè)試也有所提升。整體來(lái)看，在連續(xù)四周的測(cè)試中，A 班的滿分率趨于穩(wěn)定，沒(méi)有明顯的波動(dòng)；而B 班滿分率有了較為明顯的增長(zhǎng)。這一結(jié)果表明，錯(cuò)題本的合理使用，確實(shí)能夠在一定程度上幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)。

五、不足和展望

雖然取得了一定的成果，但由于能力有限，本研究還存在許多局限和不足，例如在實(shí)際的研究過(guò)程中，還是未能徹底避免一些無(wú)關(guān)因素的干擾，例如教師的個(gè)人情緒，學(xué)生的心理狀態(tài)等等；研究過(guò)程周期較短，難以看到更加明顯的變化效果，如果能夠延長(zhǎng)研究周期，相信一定能夠看到更加可觀的成果。

在本研究中，研究者通過(guò)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)來(lái)判斷學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，這一評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有一定的合理性，但這種標(biāo)準(zhǔn)是一種模糊和整體的定性判斷。從微觀上來(lái)看，數(shù)學(xué)思維可以細(xì)分為好幾個(gè)更加細(xì)化的維度，下一步研究者將從其中的某一個(gè)維度開展量化研究，讓研究更加深入和細(xì)致。