張錦霞

【摘要】二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.作為基本要素之一，二次函數(shù)的解析式是打開(kāi)函數(shù)世界的一把關(guān)鍵“鑰匙”，因此，解析式的求解是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵與重點(diǎn).常見(jiàn)的二次函數(shù)解析式形式有一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，學(xué)生只有掌握所有表達(dá)式對(duì)應(yīng)的解題思路和方法，才能夠提高解題效率，達(dá)到解題的目的.文章主要對(duì)三種不同的二次函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)例題得到一些解題的通法，以便同學(xué)們學(xué)習(xí)和思考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；表達(dá)式；解題技巧

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)很重要的一部分內(nèi)容，了解二次函數(shù)首先應(yīng)從解析式開(kāi)始.用不同的形式表達(dá)函數(shù)解析式是最基本的學(xué)習(xí)要求，如何應(yīng)用已知條件求解二次函數(shù)的不同解析式也是需要熟練掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容.二次函數(shù)的解析式問(wèn)題屬于基礎(chǔ)性問(wèn)題，只有掌握其解題思路才能更高效地解題，在此基礎(chǔ)上才能解決其他層次的二次函數(shù)難題.

二、頂點(diǎn)式

形如y=a（x-h）2+k（a≠0）的解析式被稱為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，也是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種二次函數(shù)表達(dá)形式.求解該解析式需要明確頂點(diǎn)坐標(biāo)和其他點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入假設(shè)的頂點(diǎn)形式解析式中，求得a，h，k的大小，即可得知具體的函數(shù)解析式.求解二次函數(shù)頂點(diǎn)式問(wèn)題的具體步驟為：①假設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-h）2+k；②根據(jù)所給條件和已知圖像，將相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)代入假設(shè)的解析式中得到方程組；③運(yùn)算求出a，h，k的大小，即可得知具體的頂點(diǎn)式表達(dá)式.

例2 已知二次函數(shù)的最大值是2，圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6），求此二次函數(shù)的解析式.

剖析 首先根據(jù)已知條件判斷函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由已知函數(shù)有最大值，可得知函數(shù)圖像開(kāi)口向下，故結(jié)合直線y=x+1和最大值可求出具體頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)和（3，-6）代入假設(shè)的解析式中，運(yùn)算求得a，h，k大小，可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)式表達(dá)式.

解析 假設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-h）2+k（a≠0）.

∵二次函數(shù)有最大值2，

∴函數(shù)圖像開(kāi)口向下，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.

∵圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，且y=2，

∴函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）.

將（1，2），（3，-6）代入解析式中，

可得h=1，k=2，a=-2.

故二次函數(shù)解析式為y=-2（x-1）2+2，

即y=-2x2+4x.

變式1 如圖2所示，點(diǎn)B，M在函數(shù)圖像上，已知△ABM是邊長(zhǎng)為3的等腰直角三角形，求該二次函數(shù)的解析式.

剖析 假設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，結(jié)合三角形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和已知對(duì)稱軸求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，將B，M的具體坐標(biāo)值代入假設(shè)的解析式中，求得a，h，k的大小，即可得知具體二次函數(shù)解析式.

變式2 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，-4），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A，B，求函數(shù)解析式.

剖析 已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)是點(diǎn)C，故根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)特點(diǎn)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，假設(shè)頂點(diǎn)形式的函數(shù)解析式，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式中，即可得到答案.

上述例題的分析分別展示了二次函數(shù)解析式求解的不同思路，每一種表達(dá)形式需要的已知點(diǎn)坐標(biāo)各不相同，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們需要結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)求坐標(biāo)具體值，這是必須掌握和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.因此，熟練掌握基本知識(shí)點(diǎn)并明確假設(shè)的函數(shù)解析式表達(dá)形式，是求解函數(shù)解析式問(wèn)題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.

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