趙桂枝

［摘要］ 數(shù)學知識之間存在著復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性，依據(jù)不同的知識主線可以構(gòu)建出不同主題的單元整體，從單元整體出發(fā)進行教學設(shè)計，可促進學生理解知識的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)高通路遷移能力。以人教版初中數(shù)學“圓內(nèi)接四邊形的定義及性質(zhì)”為例，對比以課時為單位的教學設(shè)計和從單元整體出發(fā)的教學設(shè)計，探討單元整體教學培養(yǎng)學生高通路遷移能力的策略。

［關(guān)鍵詞］ 單元整體教學；高通路遷移；核心素養(yǎng)；圓內(nèi)接四邊形

遷移是指把一個情境中學到的知識遷移到新情境中的能力。當新任務(wù)與原任務(wù)相似時，稱為“低通路遷移”；當新任務(wù)與原任務(wù)不相似時，稱為“高通路遷移”。以人教版“圓內(nèi)接四邊形的定義及性質(zhì)”為例，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）在第四學段關(guān)于圓的內(nèi)容要求中指出：了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對角互補。圓內(nèi)接四邊形是與圓有關(guān)的特殊的四邊形，特殊在四邊形的四個頂點在同一個圓上，這一特殊的位置關(guān)系決定了圓內(nèi)接四邊形的對角之間具有特殊的數(shù)量關(guān)系。初中階段，學生在學習平行四邊形和特殊的平行四邊形時，已經(jīng)積累了一定的研究特殊四邊形的方法，能否自覺地將研究平行四邊形的方法遷移至圓內(nèi)接四邊形的研究，進而遷移至一般圖形的研究，是對學生高通路遷移能力的檢驗。因此，通過對比以課時為單位的教學設(shè)計和從單元整體出發(fā)的教學設(shè)計，嘗試研究如何通過單元整體視角的教學設(shè)計，來培養(yǎng)學生的高通路遷移能力。

一、重構(gòu)認知體系為高通路遷移打通知識脈絡(luò)

建構(gòu)貫通的認知結(jié)構(gòu)是高通路遷移的重要前提。以課時為單位的教學設(shè)計，知識結(jié)構(gòu)具有緊密性和線性關(guān)聯(lián)的特點。學生的短時記憶可以彌補理解力和遷移能力的不足，從而形成“教學順暢”的課堂表象。但學生往往對所學知識內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)理解不深，久而久之就會陷入“一學就會、一做就錯”的困境。單元整體視角的教學設(shè)計，是在知識體系中設(shè)計教學，知識結(jié)構(gòu)具有松而不散、立體關(guān)聯(lián)的特點，同時將新知識納入學生原有的知識體系，其重新建構(gòu)的過程即高通路遷移能力形成與發(fā)展的過程。

作為圓周角定理的推論，人教版初中數(shù)學教材將關(guān)于“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的教學內(nèi)容設(shè)置在第24章第1節(jié)第4課時“圓周角”的位置。首先，給出圓內(nèi)接多邊形和多邊形的外接圓的定義，然后再以舉例的方式給出圓的內(nèi)接四邊形和四邊形的外接圓，并提出問題：圓內(nèi)接四邊形的4個角之間有什么關(guān)系？通過證明，最后得出結(jié)論。

對于以課時為單位的教學設(shè)計，重點是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難點是構(gòu)造圓心角。為了突出重點、突破難點，教師往往更加關(guān)注與圓周角和圓心角有關(guān)的知識（圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）復(fù)習，通過喚起記憶的方式引導(dǎo)學生“發(fā)現(xiàn)”添加輔助線的方法。而圓內(nèi)接四邊形本質(zhì)上屬于特殊的四邊形，其研究方法與在第18章研究平行四邊形和特殊的平行四邊形類似。

與其相關(guān)的知識還有圓內(nèi)接三角形，在本章第2節(jié)第1課時點和圓的位置關(guān)系中給出：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。要將與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的知識整合在一起，形成一個“單元整體”，從而在這個單元整體下進行教學設(shè)計，重點是掌握研究特殊圖形的方法，難點是發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形是一種特殊的四邊形。這就需要引導(dǎo)學生在圓和四邊形這兩塊知識之間建立聯(lián)系。為此，教師設(shè)計了如下圖的知識聯(lián)結(jié)式引入：

那么，圓和四邊形相遇，會不會產(chǎn)生一種新的特殊的四邊形呢？可讓學生作圖來驗證。

學生的作圖順序有兩種。一種是先畫圓，再畫四邊形。這種做法，學生會關(guān)注到四邊形的頂點、邊和角與圓的位置關(guān)系。另一種作圖順序是先畫四邊形，再畫圓。這種做法學生會關(guān)注圓心與四邊形的邊的位置，圓半徑的選取對圖形的影響。學生未必能夠畫出“圓內(nèi)接四邊形”，但作圖的過程即學生將圓的組成要素（圓心、半徑）和四邊形的組成要素（頂點、邊、角）建立關(guān)聯(lián)的過程。這樣，學生知識體系中的圓和四邊形在作圖中形成聯(lián)結(jié)，進而在潛移默化中形成知識體系的重構(gòu)，為研究方法的遷移搭建起貫通式的知識架構(gòu)。

二、開放思維空間為高通路遷移延展理解邊界

理解研究對象的本質(zhì)屬性是高通路遷移的必備能力。以課時為單位的教學設(shè)計，學生的課堂學習比較聚焦，但同時也限制了思維的延展。基于單元整體進行教學設(shè)計，因其知識跨度比較大，教師則要給學生提供開放的思維空間，推動學生突破思維邊界的限制。

以課時為單位，研究圓內(nèi)接四邊形的教學關(guān)注“運用圓周角定理證明圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，學生沿著圓周角的方向思考即可。而在單元整體中，這節(jié)課的教學更關(guān)注“如何將研究平行四邊形的方法遷移至研究圓內(nèi)接四邊形”。雖然這一方法在研究平行四邊形的時候已經(jīng)多次使用，但從學習平行四邊形到學習圓內(nèi)接四邊形，時間間隔比較長，學生的短時記憶作用已經(jīng)不明顯。此時，學生需要認識到圓內(nèi)接四邊形和平行四邊形之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，才能夠想到研究方法的遷移。這就要求教師在課堂教學中給學生提供開放的思維空間，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)特殊四邊形的共性，通過將研究特殊平行四邊形的方法遷移至對圓內(nèi)接四邊形的研究，進而遷移至一般圖形的研究，即應(yīng)用“觀察、測量、猜想、證明”的方法研究幾何圖形。

具體教學過程中，教師設(shè)計開放性問題：如何研究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)呢？主要的步驟：（1）分組探究。每組4-6人，分別對圓內(nèi)接四邊形的邊、角、對角線通過觀察、測量、猜想、證明的方法進行研究。（2）分

享交流。通過作圖、觀察和測量學生能夠發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的邊和對角線沒有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。圓內(nèi)接四邊形的對角有特殊的數(shù)量關(guān)系即相加等于180°。（3）推理求證。學生板書證明過程，得出結(jié)論：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。（4）歸納提煉。教師揭示探究過程中體現(xiàn)的高通路遷移能力：圓內(nèi)接四邊形是一種特殊的四邊形。它的特殊性表現(xiàn)在位置上是四個頂點在同一個圓上，表現(xiàn)在數(shù)量上是對角互補。研究圓內(nèi)接四邊形的方法與研究平行四邊形、矩形、菱形的方法相似，即從邊、角、對角線三個維度，通過觀察、測量、猜想和證明得出結(jié)論。這一研究過程應(yīng)用了分類和轉(zhuǎn)化的思想，這種方法不限于研究四邊形，對其他幾何圖形，也可以根據(jù)圖形的關(guān)鍵元素分類，通過觀察、測量、猜想和證明來進行研究。

三、培養(yǎng)核心素養(yǎng)為高通路遷移提供生長動能

數(shù)學核心素養(yǎng)是高通路遷移能力持續(xù)發(fā)展的原動力。初中階段，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵可分為三個層面：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的。單元整體視角的教學設(shè)計對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，具有前后呼應(yīng)、循序漸進的特點。

本節(jié)課以單元整體設(shè)計的教學，將圓內(nèi)接四邊形作為知識主線，單元內(nèi)各部分的任務(wù)及相關(guān)核心素養(yǎng)內(nèi)涵，具體如下表所示。其中，貫穿單元始終的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)在幾何直觀和推理能力這兩個方面。

以幾何直觀的培養(yǎng)為例，基于單元整體的教學設(shè)計，更注重通過作圖來培養(yǎng)學生的幾何直觀，即“根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形”。為此，在單元起始部分的“平行四邊形”教學中，教師一開始就為圓內(nèi)接四邊形的作圖做準備，如在介紹了平行四邊形的定義（兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）之后，適時引導(dǎo)學生畫若干個不同的平行四邊形，并根據(jù)學生的作圖總結(jié)出如下方法：

方法一：利用尺規(guī)作圖畫平行四邊形。

方法二：利用兩張全等的三角形紙片拼出平行四邊形，再沿邊把它畫出來。

方法三：將兩張對邊平行的紙條交叉疊放，沿重合部分的邊可畫出一個平行四邊形。

《課標》在課程實施部分中指出，要改變過于注重以課時為單位的教學設(shè)計，推進單元整體教學設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。實際上，這里的單元可以是教材中自成一體的單元，如一次函數(shù)；也可以是多章組合的單元，如將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)合而為一構(gòu)成初中函數(shù)單元；還可以是以某個知識為主題、由與其具有核心素養(yǎng)強關(guān)聯(lián)的知識組成的單元，如本文的案例“圓內(nèi)接四邊形”，以“直角三角形”為主題的單元整體可由以下內(nèi)容組成：余角和補角、等邊三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、矩形、銳角三角函數(shù)等。

總之，從單元整體出發(fā)設(shè)計數(shù)學教學，有助于學生突破思維的邊界，促使學生把握不同事物之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，明晰思維的路徑，實現(xiàn)在不相似的任務(wù)中完成遷移，從而更有效地培養(yǎng)解決問題的能力。

［參考文獻］

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［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S]北京：北京師范大學出版社，2022.