不等式恒成立問題的常見命題形式有：（1）由恒 成立的不等式求參數(shù)的取值范圍；（2）證明不等式恒 成立.不等式恒成立問題具有較強的綜合性.這類問題 通常會綜合考查同學們對導數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等 知識的應用情況.下面就一道不等式恒成立問題，談一 談解答此類問題的方法.

題目：當xgt;0時，[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0恒成立，求a的取值范圍.

方法一：轉(zhuǎn)化法

運用轉(zhuǎn)化法求解不等式恒成立問題主要有兩種思路：一是根據(jù)題意和不等式的特征，找到使不等式恒成立的情形，據(jù)此建立不等式，將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解；二是將不等式化為f（x）lt;a、f（x）gt;a、f（x）lt;g（x）、f（x）gt;g（x）的形式，使f（x）maxlt;a、f（x）mingt;a、f（x）maxlt;g（x）min、f（x）mingt;g（x）max，即可確保不等式成立，這就將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.同學們需根據(jù)題意將問題進行合理的轉(zhuǎn)化.

解：

我們將不等式等價轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，通過解不等式組求得a的取值.而不等式的解集為x-≤a≤1+、1+≤a≤x-，需分別根據(jù)y=x-、y = 1 + 的單調(diào)性確定函數(shù)在（0，2] 上的最值，才能確 定 a 的取值.

方法二：主元法

主元法是解答含參不等式問題的重要方法.一般 地，我們將變量x 、y 、z 等視為主元，將 a 、b 、c 等視為 參數(shù).但有些問題較為復雜，采用常規(guī)方法很難獲得問題 的答案，此時不妨轉(zhuǎn)換思路，將參數(shù)或者某個式子視為 主元進行研究，將不等式化問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新主元的函 數(shù)或不等式問題，根據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.

解：

我們先把 ax 視為主元，將不等式變形，并將問題 轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元 ax 的二次不等式問題；然后通過因 式分解求得不等式的解集；再根據(jù) y =x -" 、y = 1 + 的單調(diào)性確定函數(shù)在（0，2] 上的最值，就能確定 a 的取 值.一般地，變更主元后，不等式或函數(shù)式可化為簡單 的一次或者二次的式子，這樣就能達到化繁為簡的目的.

方法三：分類討論法

對于較為復雜的含參不等式恒成立問題，可以從參數(shù)入手，采用分類討論法求解.先根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行分類，然后在不同的范圍內(nèi)分別進行討論.這樣就能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為多個子問題，通過求解子問題來求得原問題的答案.這在一定程度上降低了問題的難度，但是解題過程中的計算量會增大.

解：①當a-1=0，即a=1時，[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0可化為-（x2-x-1）≥0，而xgt;0，則該式不成立.

②當a-1≠0時，不等式可變形為（a-1）?x-?

x-而（a-）x+，x（-）a a（+）-2（a）0（0）（），

則（?）可化為（a-1）x-x-≥0.

設(shè)f（x）=（a-1）x-x-，

則二次函數(shù)f（x）有1個正零點x1=，

要使在xgt;0時恒有f（x）≥0，需使函數(shù)的開口向上，且2個零點重合，

則í??（ì?）a（a）-1 1（1），a（0）+，解得a=.

又因為當a=且xgt;0時，有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）=（x-2）2（2x+1）≥0，

所以a=.

使用分類討論法解題，關(guān)鍵是確定分類討論的對象和標準.一般地，可以將對不等式的符號有影響的量或者代數(shù)式作為分類討論的對象，將其分為大于、等于、小于0三種情況來進行討論.

方法四：數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是解答高中數(shù)學問題常用的方法.對于不等式恒成立問題，需先將不等式進行變形，使其左右兩邊的式子為直線的方程、圓錐曲線的方程、二次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、冪函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等；然后畫出相應的圖象，討論兩條曲線或直線的位置關(guān)系，確保不等式恒成立即可.

解法1.

解法2

在使用數(shù)形結(jié)合法解題時，要將關(guān)鍵的點和線在圖形中展現(xiàn)出來，這樣便于快速找到使不等式恒成立的情形.運用數(shù)形結(jié)合法，能將復雜的函數(shù)問題簡單化、直觀化.

可見，解答不等式恒成立問題有多種不同的方法.但無論運用哪種方法，都需注意：（1）明確不等式的特征、結(jié)構(gòu)，對其進行合理的變形、構(gòu)造；（2）對參數(shù)進行合理的討論、分類；（3）靈活利用函數(shù)、導數(shù)、不等式、方程的性質(zhì)解題.

（作者單位：江蘇省石莊高級中學）