換元法是指通過引入新變量，將其替換某個(gè)變量或代數(shù)式的方法.換元后，代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、形式都會(huì)有所改變，這便給我們尋找解題思路帶來了新的契機(jī).換元包括局部換元、三角換元、均值換元、整體換元.下面結(jié)合實(shí)例談一談?chuàng)Q元法的應(yīng)用技巧.

一、局部換元

局部換元是指將代數(shù)式的某一部分用一個(gè)新元替換.通常可將問題中多次出現(xiàn)的代數(shù)式、根號(hào)下的式子、分式的分母、絕對(duì)值內(nèi)部的式子用新元替換，便可通過局部換元，將代數(shù)式簡化，以從新的角度尋找到解題的思路.

例1.若函數(shù)f（x）=x2+-ax--b有零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+-ax--b有零點(diǎn)，所以x+2-a x+-b-2=0有解，

設(shè)x+=t（|t|≥2），則t2-at-b-2=0，

可將該式看成關(guān)于a，b的直線方程at+b+2-t2=0，

則直線上的點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離的平方為a2+b2，其最小值即為原點(diǎn)到直線的距離d的平方，所

以d2=2=（t2+1）+-6，

令m=t2+1，則d2=m+-6，

因?yàn)閨t|≥2，所以m=t2+1≥5，

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知y=m+-6在[5，+∞）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)m=5時(shí)d2取小值d2=5+-6=，

所以a2+b2的最小值為.

解答本題需經(jīng)過兩次局部換元.首先，令x+=t（|t|≥2），將問題轉(zhuǎn)化為求直線at+b+2-t2=0上的點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離的平方的最小值；然后令m=t2+1，便構(gòu)造出對(duì)勾函數(shù)y=m+-6，進(jìn)而利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得問題的答案.

二、三角換元

三角換元主要是指根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2α+cos2α=1進(jìn)行換元.通常可令x=sinα、y=cosα，或x+a=rsinα、y+b=rcosα，將代數(shù)式用某個(gè)角的正余弦函數(shù)表示出來.通過三角換元，把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，以利用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解題.

例2.函數(shù)y=3+4的最大值為（）.

A.B.4 C.3 D.5

解：（1）由{6（x）-x（5）0（0），，（）得5≤x≤6，

所以函數(shù)y=3+4的定義域是[5，6].由于（）2+（）2=1，

可設(shè)=sinα，=cosα，其中0≤α≤

所以y=3+4

=3 sinα+4 cosα=5 sin（α+φ），

其中tanφ=，且lt;φlt;，

所以lt;α+φlt;，

所以當(dāng)α+φ=時(shí)，y=3+4取得最

大值為5.故選D.

由（）2+（）2=1可聯(lián)想到同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2α+cos2α=1.于是令=sinα，=cosα，其中0≤α≤，將其代入函數(shù)式中并化簡，得到y(tǒng)=5 sin（α+φ），即可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得函數(shù)的最大值.

例3.已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足++2xy=x2-y2，求x2+y2的最小值.

解：

令x=rcosθ，y=rsinθ，通過三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來求解.在運(yùn)用三角換元法解題時(shí)，要注意：（1）明確角的取值范圍；（2）選用合適的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換，以將目標(biāo)式化為關(guān)于某個(gè)角的正弦或余弦函數(shù)式.

三、均值換元

把幾個(gè)量的平均值作為輔助元進(jìn)行換元，這種換元法我們稱之為均值換元法.如x+y=2s，可設(shè)x=s+t，y=s-t，將其代入代數(shù)式中進(jìn)行運(yùn)算，便可將代數(shù)式看作是關(guān)于新元t的式子.再根據(jù)新關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征尋找解題的思路.

例4.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：

A+C=2B，+=－，求cos的值.

解法1.

解法2.

這兩種解法都是運(yùn)用了均值換元法.解法1是根據(jù)A+C=120。，令A(yù)=60。+α，C=60。-α;解法2是根據(jù)+=-2，令=-+m，=--m.再根據(jù)三角形的三個(gè)角之間的關(guān)系與三角函數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算，就能求得問題的答案.

從以上分析不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用換元法，不僅可以把分散的條件聯(lián)系起來，使隱含的條件顯露出來，還能把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，將代數(shù)式化為我們所熟悉的、簡單的形式.值得注意的是，換元后，一定要確保新變量的取值范圍等價(jià)于原變量的取值范圍，這樣才能得到正確的答案.

（作者單位：陜西省漢中市寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué)）