求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題比較常見(jiàn)，解答這類(lèi)問(wèn)題需將已知關(guān)系式或遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，以構(gòu)造出輔助數(shù)列，通過(guò)求輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式求得問(wèn)題的答案.那么如何構(gòu)造輔助數(shù)列呢？主要有兩種方法：構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.

一、構(gòu)造等差數(shù)列

我們知道，若數(shù)列的前后兩項(xiàng)的差為一個(gè)常數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列.由復(fù)雜的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，若能將遞推式變形為an-an-1=f（n）的形式，就可將數(shù)列{an}看作等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.在變形遞推式時(shí)，往往要通過(guò)做除法、取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)、湊系數(shù)等方式來(lái)得到形如an-an-1=f（n）的式子.

例1.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1=3an+3n（n∈N*），

在上式的左右同時(shí)除以3n+1，

則（得）3（a）n（n）}+3（1），3（a）n（n）1（1）-3（a）n（n）=3（1），

列，

則3（a）n（n）=3（a）1+（n-1）?3（1），即3（a）n（n）=3（n），

所以an=n?3n-1.

解答本題主要運(yùn)用了構(gòu)造法.遞推式an+1=3an+3n中含有3n，需在該式的左右同時(shí)除以3n+1，將其變形為3（a）n（n）1（1）-3（a）n（n）=3（1），這樣便可確保項(xiàng)數(shù)n與an對(duì)應(yīng)，項(xiàng)數(shù)n+1與an+1對(duì)應(yīng)，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義判定該數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公差的等差數(shù)列，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列，便可直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)解題.

例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=，則a10=.

解：

先在遞推式的左右兩邊取倒數(shù)并移項(xiàng)，得-=1，即可構(gòu)造出以為首項(xiàng)、以1為公差的等差數(shù)列；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，便可解題.對(duì)于分式遞推式，通?？赏ㄟ^(guò)取倒數(shù)的方式來(lái)構(gòu)造等差數(shù)列.

例3.已知數(shù)列{an}中，a1=-11，a2=-18，且2（n2-1）an=n（n+1）an-1+n（n-1）an+1，n≥2，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：

題目中給出了an+1、an與an-1三者之間的遞推關(guān)系，較為復(fù)雜，需采用構(gòu)造法求解.可在遞推式的左右同時(shí)除以（n+1）?n?（n-1），從而得出-=-，便能構(gòu)造出新等差數(shù)列，這就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題.

二、構(gòu)造等比數(shù)列

若數(shù)列的前后兩項(xiàng)的比為一個(gè)常數(shù)（不為1），則該數(shù)列為等比數(shù)列.一般地，若數(shù)列的遞推式可化為=f（n）的形式，就可以將數(shù)列{an}看作等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.通常需運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)構(gòu)造新數(shù)列.

例4.已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=an+n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1=an+n+1（n∈N*），

設(shè)an+1+λ?n+1=an+λ?n，

移項(xiàng)得an+1=an-?n+1，

將其與an+1=an+n+1對(duì)比得λ=-3，則an+1-3?n+1=an-3?n，

即=，

所以數(shù)列{an-3?n}是以-為首項(xiàng)，以為

公比的等比數(shù)列，

可得an-3?n=a1-3?1ù?ú?n-1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-.

先引入系數(shù)λ，根據(jù)遞推式的特征設(shè)出an+1與an的關(guān)系式；再將其與原遞推式進(jìn)行對(duì)比，求得系數(shù)λ，就可構(gòu)造出等比數(shù)列í?a（ì）n-3?t（nü）y;然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，就能求得問(wèn)題的答案.

例5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且Sn+1=2Sn+n-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：∵Sn+1=2Sn+n-1（n∈N*），

設(shè)Sn+1+λ?（n+1）+a=2（Sn+λ?n+a），

移項(xiàng)得Sn+1=2Sn+λ?n+a-λ，

將其與Sn+1=2Sn+n-1對(duì)比，

得{a（λ）=λ（1）-1，解得{a（λ）0（1），，

∴Sn+1+（n+1）=2（Sn+n），即=2，

∴數(shù)列{Sn+n}是以a1+1為首項(xiàng)，以2為公比的

等比數(shù)列，

∴Sn+n=（a1+1）?2n-1，∴Sn=2n-n，

∵í?S（ìS）n（n）-=1-，（n-1），（n≥2，n∈N*）

∴Sn-Sn-1=an=2n-1-1，n≥2，

將n=1代入上式得a1≠1，

∴an={2n（1，）-1n-=1，n≥2.

解答本題，需先利用待定系數(shù)法得出=2，據(jù)此構(gòu)造出等比數(shù)列{Sn+n}；再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得新數(shù)列{Sn+n}的通項(xiàng)公式，得出Sn的表達(dá)式；然后根據(jù)Sn與an的關(guān)系Sn-Sn-1=an求得an.在構(gòu)造等比數(shù)列時(shí)，同學(xué)們要重點(diǎn)研究數(shù)列的遞推式，對(duì)其進(jìn)行合理的變形，尋找并發(fā)掘數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的隱藏關(guān)系，以構(gòu)造出合適的數(shù)列模型，使問(wèn)題順利得解.

可見(jiàn)，由復(fù)雜的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用構(gòu)造法比較奏效.通過(guò)構(gòu)造等差、等比數(shù)列，便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題.這樣便能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，從而輕松獲得問(wèn)題的答案.

（作者單位：哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院）