聶海晶

摘要：提升學(xué)生創(chuàng)新能力，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才，是我國(guó)基礎(chǔ)教育改革的重點(diǎn)，而學(xué)生歸納推理能力的提高是重要手段.本文中以“圖形與幾何”教學(xué)為例，從數(shù)學(xué)歸納推理的五個(gè)認(rèn)知階段進(jìn)行教學(xué)片段設(shè)計(jì)，探究初中生歸納推理能力.

關(guān)鍵詞：歸納推理能力；圖形與幾何；創(chuàng)新

歸納推理能力的培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言十分重要，因?yàn)橐囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力，就要訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力^［1］.從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)逐漸走向規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，但是一些公理、符號(hào)都是數(shù)學(xué)家們思想的碰撞產(chǎn)生的，歸納推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論的必要途徑.從數(shù)學(xué)與生活的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)科本身更多的是確定性的結(jié)論，而現(xiàn)實(shí)生活中則需要我們進(jìn)行預(yù)測(cè)、推理、驗(yàn)證.

學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育與教學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)話題.“推理能力”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》初中階段所強(qiáng)調(diào)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一，也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中的重要內(nèi)容.關(guān)于歸納推理能力的理論研究十分廣泛，但是關(guān)于一線教師教學(xué)實(shí)踐中提升學(xué)生歸納推理能力的教學(xué)設(shè)計(jì)并不多見(jiàn).筆者則根據(jù)歸納推理的“個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、抽象的看、一般的看”五個(gè)認(rèn)識(shí)階段，對(duì)“圖形與幾何”部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的研究^［2］.

1 歸納推理能力的內(nèi)涵

歸納是很多學(xué)科所共同探討的概念，學(xué)者們一般認(rèn)為，歸納是由個(gè)別到一般的過(guò)程，比較常見(jiàn)的一種定義方式是：“歸納是指由某一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某個(gè)屬性，推斷出這一類(lèi)事物都具備某個(gè)屬性的推斷方式^［3］.這種定義方式缺乏學(xué)科針對(duì)性，特別缺少數(shù)學(xué)學(xué)科元素.波利亞^［4］則在《怎樣解題》中指出：“歸納是通過(guò)觀察和組合特殊的例子來(lái)發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律的過(guò)程.”李興貴^［2］則根據(jù)波利亞的觀點(diǎn)，將數(shù)學(xué)歸納推理定義為：“數(shù)學(xué)歸納推理是通過(guò)觀察和組合特殊事例的量性特征來(lái)發(fā)現(xiàn)一類(lèi)事物的量化模式的創(chuàng)造性思維活動(dòng)過(guò)程.”

2 中學(xué)生歸納推理能力現(xiàn)狀

武錫環(huán)^［1］提出了“數(shù)學(xué)歸納推理的認(rèn)知模型”，借助這一模型編制試題對(duì)初中三個(gè)年級(jí)的測(cè)試顯示，初二年級(jí)是數(shù)學(xué)歸納推理發(fā)展的關(guān)鍵期，且中學(xué)生歸納推理能力的發(fā)展落后于演繹推理能力，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要多側(cè)重學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力培養(yǎng).黃煜烽^［5］也指出在整個(gè)中學(xué)階段，歸納推理能力的發(fā)展在初二階段處于迅速期，枚舉歸納法是促進(jìn)學(xué)生歸納推理能力發(fā)展的主要方法.

3 初中幾何教學(xué)的現(xiàn)狀

初中生普遍感覺(jué)圖形與幾何難以理解，對(duì)其邏輯證明往往無(wú)從下手.那么，產(chǎn)生這種狀況的原因是什么呢？馬海燕^［6］通過(guò)調(diào)查分析得到初中生對(duì)證明的一般性和必要性掌握得不夠扎實(shí)，大部分學(xué)生從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡期沒(méi)達(dá)到課標(biāo)的要求.受應(yīng)試教育的影響，幾何教學(xué)中教師通常只要求學(xué)生記住相關(guān)的概念、公式等，然后通過(guò)反復(fù)做題記住知識(shí)點(diǎn)，而這卻忽略了對(duì)學(xué)生幾何思維的訓(xùn)練.

4 教學(xué)片段設(shè)計(jì)

對(duì)人教版教材八年級(jí)數(shù)學(xué)上下冊(cè)“圖形與幾何”這部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理，發(fā)現(xiàn)相關(guān)概念共有72個(gè)，其中可以通過(guò)歸納、類(lèi)比得出的有32個(gè)，占比達(dá)45%.從上述數(shù)據(jù)可以看出，“圖形與幾何”很多知識(shí)點(diǎn)都是通過(guò)歸納推理得到的.下面按照李興貴總結(jié)出的歸納推理五個(gè)認(rèn)知階段對(duì)“勾股定理”和“全等三角形”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，側(cè)重對(duì)學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)歸納推理的基本內(nèi)涵及認(rèn)知過(guò)程分析如下.

探究1：勾股定理.

借助信息技術(shù)，播放勾股定理相關(guān)數(shù)學(xué)史的視頻片段，引出新課主題，與學(xué)生一同探究勾股定理.

問(wèn)題1 一般三角形三邊之間的關(guān)系是否適用于直角三角形？

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考，直角三角形三邊之間也符合兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.（學(xué)生根據(jù)以往學(xué)過(guò)的知識(shí)給出回答即可.）

教師活動(dòng)：點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，將滿足三邊關(guān)系的一次不等式轉(zhuǎn)換成關(guān)于邊的二次不等式，并大膽猜測(cè)直角三角形直角邊a，b和斜邊c滿足a²+b²=c².

問(wèn)題2 如何驗(yàn)證猜想？

為了學(xué)生方便，引入網(wǎng)格紙進(jìn)行計(jì)算.

（1）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第一階段：個(gè)別的看

教師活動(dòng)：首先引入直角邊長(zhǎng)都為1的直角三角形，以三角形三邊a，b，c為邊長(zhǎng)分別向外作正方形，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系.

學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)計(jì)算可得1²+1²=（2）²，即a²+b²=c²，驗(yàn)證猜想.

（2）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第二階段：重復(fù)的看

教師活動(dòng)：接著引入邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，以三角形三邊a，b，c為邊長(zhǎng)分別向外做正方形，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系.提示學(xué)生用割補(bǔ)法求面積.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，后小組討論，通過(guò)計(jì)算得出3²+4²=5²，即a²+b²=c²，驗(yàn)證猜想.

（3）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第三階段：想象的看

師生活動(dòng)：學(xué)生自己在網(wǎng)格紙上任意畫(huà)出一個(gè)直角三角形，同桌之間互相驗(yàn)證是否滿足“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和”.

（4）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第四階段：抽象的看

師生活動(dòng)：現(xiàn)在沒(méi)有網(wǎng)格紙，只提供四張邊長(zhǎng)為a，b，c的直角三角形，根據(jù)之前的三次探究進(jìn)行拼接，利用拼接后的圖形面積之間的關(guān)系仍然可以得到a²+b²=c².

（5）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第五階段：一般的看

師生活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生第三階段任意畫(huà)出的直角三角形進(jìn)行勾股定理的驗(yàn)證.學(xué)生通過(guò)歸納推理，驗(yàn)證了勾股定理并且掌握了勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá).

探究2：全等三角形.

利用多媒體教學(xué)設(shè)備為學(xué)生展示大小、形狀相同的兩個(gè)正方形，兩本完全相同的教學(xué)用書(shū)，體型一樣的兩只小貓.每位同學(xué)準(zhǔn)備一張正方形卡紙.

（1）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第一階段：個(gè)別的看

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生利用直尺測(cè)量出自己手中數(shù)學(xué)書(shū)的長(zhǎng)和寬，再和同桌交換，驗(yàn)證數(shù)值是否相等，接著引出新課——全等三角形.

學(xué)生活動(dòng)：發(fā)現(xiàn)兩本教科書(shū)的長(zhǎng)和寬相等，初步感知全等圖形在生活中的體現(xiàn).

（2）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第二階段：重復(fù)的看

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察展示的圖片，并追問(wèn)學(xué)生圖片中“成對(duì)”的圖形具備什么特征？

學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)圖形感知全等圖形，對(duì)全等圖形有更深刻的理解.

（3）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第三階段：想象的看

教師活動(dòng)：帶領(lǐng)學(xué)生拿出提前準(zhǔn)備好的正方形卡紙，讓學(xué)生將卡紙沿對(duì)角線對(duì)折，然后沿折線剪開(kāi)，并與同桌的三角形進(jìn)行對(duì)比.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的三角形與同桌的可以完全重合.通過(guò)從生活中的全等到全等圖形最后到全等三角形，學(xué)生自己就可以總結(jié)出全等圖形的性質(zhì)和特征.

（4）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第四階段：抽象的看

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)出關(guān)于全等圖形、全等三角形的概念.形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形；能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

（5）數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知第四階段：一般的看

師生活動(dòng)：學(xué)完“全等圖形”的概念后，利用概念去判斷一些圖形是否存在全等關(guān)系.

在探究1中，以一般三角形三邊之間的關(guān)系作為切入點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)直角三角形三邊的關(guān)系，借助網(wǎng)格紙計(jì)算面積，歸納推理出直角三角形邊之間的關(guān)系.探究2仍然是三角形問(wèn)題，借助多媒體從熟悉的生活案例展開(kāi)探究，通過(guò)觀察總結(jié)出全等三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，著重培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，并借助已有知識(shí)深刻理解新知.

綜上可知，“圖形與幾何”知識(shí)具有較強(qiáng)邏輯性，它是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力重要的知識(shí)板塊.在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)充分發(fā)揮這部分知識(shí)的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.第一，在教學(xué)過(guò)程中把握“圖形與幾何”的思想本質(zhì)和重要知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感受猜想、假設(shè)、歸納推理的過(guò)程與方法.第二，注意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，選擇學(xué)生感興趣的、熟悉的領(lǐng)域?qū)дn，在實(shí)際情境中解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生歸納推理水平的發(fā)展.第三，采用單元教學(xué)，建立知識(shí)之間的緊密聯(lián)系，從單元的視角出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)知識(shí)之間的邏輯性.第四，在練習(xí)、例題等解題訓(xùn)練過(guò)程，注重對(duì)學(xué)生推理能力的考查.

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