摘要：創(chuàng)新意識是義務教育階段數學學科核心素養(yǎng)的主要表現之一。它的內涵包括三個維度：嘗試發(fā)現與提出問題；通過歸納與類比的方式猜想、發(fā)現；探索非常規(guī)的開放性問題。數學教學中，可以采取鼓勵質疑問難、引導發(fā)散思維、組織綜合實踐等途徑或策略培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

關鍵詞：創(chuàng)新意識；數學核心素養(yǎng)；問題提出；合情推理；開放問題

本文系江蘇省南京市教育科學“十四五”規(guī)劃課題“指向育人：‘開放性數學問題’驅動下初中生創(chuàng)新意識培養(yǎng)的實踐研究”（編號：L/2024/048）、江蘇省中小學教學研究第十五期重點課題“實踐育人：指向素養(yǎng)發(fā)展的初中數學跨學科項目教學的研究”（編號：2023JY15ZA10）的階段性研究成果。

一、 創(chuàng)新意識的內涵

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）將創(chuàng)新意識作為小學與初中階段數學核心素養(yǎng)的主要表現之一，

并指出：“創(chuàng)新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發(fā)現和提出有意義的數學問題。初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現數學關系與規(guī)律，提出數學命題與猜想，并加以驗證；勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數學問題?！保?］

可見，創(chuàng)新意識的內涵包括三個維度：

一是嘗試發(fā)現與提出問題，也可以說是“問題意識”。愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，提出新問題需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步?！保?］蔡金法教授也指出：數學課標強調發(fā)現與提出問題，所要實現的兩個重要改變之一就是學生的創(chuàng)新意識。［3］例如，從生活現象中提出問題：車輪為什么都是圓形的？身份證號碼中有哪些信息？人為什么會打呵欠？

……從自然現象中提出問題：彩虹為什么總是彎曲的？星星為什么會閃？向日葵為什么總是朝著太陽？……從數學現象中提出問題：1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，那么，111111111×111111111的結果符合類似的規(guī)律嗎？11n的結果有什么規(guī)律？……

二是通過歸納與類比的方式猜想、發(fā)現，即合情推理（探索性思維）。國內外，通過G.波利亞和徐利治等學者的著作，人們已經認識到：數學研究（學習）不僅需要演繹推理和確定性思維，而且需要合情推理和探索性思維——后者包含更多的創(chuàng)造性成分。例如，計算15×15、25×25、35×35等的結果后猜想一般性結論，就是一種歸納推理；由平方差公式的圖形推導方法（如圖1所示）得到完全平方公式的推導方法（如圖2所示）和立方差公式的推導方法（如圖3所示），則是一種類比推理。它們都具有探索中的創(chuàng)造性。

三是探索非常規(guī)的開放性問題，也可以說是探索性問題（exploratory problem）、結構不良問題（ill-structure problem）、調查性項目（investigative project）、現實主義數學（realistic mathematics）等［4］。開放題在近幾十年全世界的數學教育領域備受矚目，其原因主要在于：彌補了一般性練習（重視內容知識的掌握）所缺乏的為數學過程思維（尤其是高層次思維，如創(chuàng)造性思維）的發(fā)展提供的自由空間（課程載體），促進了數學教育中至為重要的內容（知識）與過程（思維）的平衡。［5］例如：在等邊三角形ABC所在的平面內找一點E，使得△EAB、△EAC、△EBC都是等腰三角形，這樣的點E有多少個？這樣的條件或結論不唯一、不確定的開放性問題，能引導學生多角度探索，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

二、 創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

針對創(chuàng)新意識內涵的三個維度，數學教學中，可以采取鼓勵質疑問難、引導發(fā)散思維、組織綜合實踐等途徑或策略培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。下面重點結合初中數學教學的具體案例加以說明。

（一） 鼓勵質疑問難

創(chuàng)新意識表現為嘗試發(fā)現與提出問題。因此，教師要多鼓勵、引導學生提出問題，尤其是提出自己在學習中感到疑難困惑的問題。為此，要創(chuàng)設寬松自由的教學氛圍，讓學生敢于質疑問難；還要適當地設計情境和引導語［6］，讓學生能夠質疑問難。

【案例1】“負負得正”是如何得來的？

教學“有理數的乘法”時，“負負得正”的解釋始終是繞不過去的難關。蘇科版初中數學教材這樣解釋：水位一天下降4 cm，三天下降12 cm，所以（－4）×3＝－12；（－4）×3與（－4）×（－3）互為相反數，所以（－4）×（－3）＝12。這樣的解釋將實際背景與代數推理相結合，使得大部分學生相信這一法則成立。但是，還有學生不能理解：為什么兩個負號相乘，就變成了正號？負號去哪里了？教師要允許、鼓勵學生表達這樣的困惑，然后順著學生的思路循循善誘：（－1）×（1－1）等于多少？［（－1）×（1－1）=（-1）×0=0。］假設（－1）×（－1）＝－1，那么（－1）×1＋（－1）×（－1）等于多少？（－1－1＝－2。）乘法分配律還成立嗎？［因為（－1）×（1－1）≠（－1）×1＋（－1）×（－1），所以乘法分配律不成立了。］由此，通過逆向思考讓學生認識到：“負負得正”是一種規(guī)定，不能證明，但很合理——能使乘法分配律依然成立。

【案例2】“邊邊角”能否判定三角形全等？

學完“三角形全等的判定”后，學生回顧已有的判定條件，很容易發(fā)現它們都是三組邊或角對應相等且至少有一組是邊，從而對為什么沒有“邊邊角”這樣的條件感到困惑。果然，一次教學中，一名學生問道：為什么“邊邊角”不可以判定兩個三角形全等？我畫的就可以！教師肯定了他善于思考、敢于提問，然后追問：能告訴我你畫的具體邊長和角度分別是多少嗎？該生答道：兩條邊長分別是2 cm和3 cm，其中2 cm所對的角是30°。教師便讓其他學生也按該生設定的數據畫出三角形，然后組織全班交流，引導學生發(fā)現：可以畫出兩種三角形（如圖4所示），同一種三角形能夠完全重合，即全等；不同種三角形不能完全重合，即不全等，且有一組內角互補。然后，教師繼續(xù)追問：那么，“邊邊角”條件是一定不可以判定兩個三角形全等，還是有時不可以（有時可以）判定兩個三角形全等？學生進一步探索，發(fā)現：當條件角是直角或鈍角且對著條件邊中的大邊時，可以判定兩個（直角或鈍角）三角形全等（這其實推廣了“HL”判定方法）；當兩個條件邊相等且條件角為銳角時，也可以判定兩個（等腰）三角形全等。這樣，通過質疑問難，學生對“三角形全等的判定”有了新的認識。

【案例3】任意的四邊形都有內切圓嗎？

學完“三角形的內切圓”后，教師引導學生回顧相關知識：三角形都有外接圓和內切圓；當且僅當對角互補（對角之和相等）時，四邊形有外接圓。然后讓學生提出問題。學生自然地提出了：四邊形有內切圓嗎？什么時候四邊形有內切圓？這個問題有一定的難度。教師引導學生從特殊情況出發(fā)，畫圖探索。學生先發(fā)現：正方形、菱形、箏形有內切圓，一般的矩形、平行四邊形沒有內切圓。便猜想：當鄰邊相等時，四邊形有內切圓。教師引導學生進一步思考：反過來成立嗎？當鄰邊不相等時，四邊形可能有內切圓嗎？學生想到梯形還沒有研究，于是繼續(xù)畫圖探索，發(fā)現：特殊梯形（如等腰梯形、直角梯形）和一般梯形都可能有內切圓，也可能沒有內切圓。教師引導學生根據內切圓與四條邊都相切，首先由與兩底所在直線（兩條平行線）相切作出可能的內切圓，然后構造梯形，讓兩腰也與所作圓相切（如圖5所示）。然后讓學生思考：在兩腰變化的過程中，梯形的邊或角之間是否存在不變的數量關系？由此，學生能夠發(fā)現：梯形的對邊之和始終相等。

進而，運用切線長定理，便可證明：當且僅當對邊之和相等時，四邊形有內切圓。

（二） 引導發(fā)散思考

創(chuàng)新意識又表現為歸納、類比，從而猜想、發(fā)現。相對于演繹推理，合情推理是一種探索性思維，具有很強的不確定性，或者說發(fā)散性。因此，教師要多鼓勵、引導學生發(fā)散思考、舉一反三，使學生打開思維的大門，從不同的角度展開思考，尤其要使學生不滿足于既有認識與想法，不斷拓寬視野，探索新的理解與思路。為此，在知識教學中，要引導學生轉換表征形式，聯想相關知識，使學生在發(fā)散思考中，完善CPFS結構［7］；以此為基礎，在解題教學中，要使學生在發(fā)散思考中，從“一題多解”走向“一題優(yōu)解”［8］。

【案例4】數字“1”有多少種表達形式？

在一節(jié)復習課上，教師提問：對于數字“1”，你能想到幾種表達形式？在教師的引導下，學生發(fā)散思考，得到：（1） 分數及百分數的形式，如1＝22＝100%；（2） 和的形式，如1＝12＋12＝0.5＋0.5；（3） 積的形式，即互為倒數的兩個數之積；（4） 冪的形式，如1＝12014＝20；（5） 三角函數的形式，如1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°……

【案例5】由等式x2＋y2＝1能想到什么？

在一節(jié)復習課上，教師提問：由x2＋y2＝1，你能想到什么？經過5—8分鐘的思考，學生想到：（1） x=0、y=1等取值情況；（2） 斜邊長是1的直角三角形三邊的數量關系；（3） sin2α＋cos2α＝1；（4） 平面直角坐標系中，以原點為圓心、1為半徑的圓上點的坐標滿足的關系式；（5） 完全平方公式（x＋y）2＝1＋2xy、（x-y）2＝1-2xy。這里，（1）是將等式看作一個二元方程，找到多組解；（2）（3）（4）是把數量關系圖形化（代數問題幾何化），變成“形”結構——初中數學課程中，對三角函數的理解偏向幾何；（5）是對“數”結構的拓展，即由平方和的結構想到和（差）的結構、積的結構。

在此基礎上，教師繼續(xù)提問：x＋y有最大值嗎？是多少？很快，就有學生按照剛剛的理解給出了解決的思路：（1） 根據“數”結構，設x＋y＝t，得（t－y）2 ＋y2＝1，將其看作關于y的一元二次方程，整理成一般形式得2y2－2ty＋t2－1=0，由該方程有解，即判別式大于等于0，易得t的取值范圍。（2） 根據“形”結構，作出圖6，設AB=x，AC=y，BC=1，則點A在以BC為直徑的半圓上，設點D在BA的延長線上，AD=AC，則BD=x＋y，易得∠BDC=45°，因此點D在以BC為弦的優(yōu)弧上，所以，BD為該優(yōu)弧所在圓的直徑時，x＋y最大。這樣，就以發(fā)散思考為基礎，從知識理解走向了問題解決。

（三） 組織綜合實踐

創(chuàng)新意識還表現為探索非常規(guī)的開放性問題。從課程內容的角度看，“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識領域的問題多為指向具體知識鞏固應用的封閉性（結構良好）問題，不是真正意義上（“問題解決”中）的問題；“綜合與實踐”這個非知識領域的問題基本上是開放性（結構不良）問題，才是真正意義上（“問題解決”中）的問題。廣義上，“綜合與實踐”問題是“真實情境”下的問題，基于數學現實，包括數學內部問題和數學外部問題，強調綜合性或實踐性，因而，更不確定，更需要探索，更能凸顯學生個性。因此，教師要多設置“綜合與實踐”問題，多組織綜合實踐活動。

【案例6】將正方形分割成等腰直角三角形

教學“軸對稱圖形”一章后，可以出示人教版初中數學教材配套的教師用書提供的問題：

你能將正方形割成6個等腰直角三角形嗎？如圖7，已經給出了一些畫法，你能繼續(xù)完成一些嗎？

本題具有很強的開放性：條件很簡單，結論卻非常豐富多樣。參考已經給出的樣例，經由教師的引導，學生能夠發(fā)現：連對角線可以得到一些等腰直角三角形；作斜邊上的高可以將已有的等腰直角三角形分割為兩個等腰直角三角形；作與對角線平行的線可以在一個角落分割出等腰直角三角形，并與所平行的對角線夾一個等腰梯形；適當調整與對角線平行的線，可以讓所夾的等腰梯形能分割為若干個等腰直角三角形……然后不斷嘗試，可以得到多種不同的分割方法。

【案例7】繪制學校平面圖

教學“圖形的測量與性質”“圖形的位置與坐標”的相關知識后，教師參考新課標附錄1的例60，提出問題：你能將美麗的校園繪制到圖紙上，利用平面圖形的形狀、大小以及位置關系表明校園中的各個場所和區(qū)域嗎？然后引導學生將其分解為若干個子問題：會用到哪些數學工具？（比例尺、方向的判定、圖形形狀的判定、圖形大小的測量以及圖形位置關系的判定與測量等。）校園內都有什么場所？場所之間是什么區(qū)域？它們都有什么作用？行政樓、教學樓、體育館、操場、景觀、道路等場所或區(qū)域是什么形狀的？有關的長度、角度等怎么測量？（利用正規(guī)的測量工具或因地制宜地采用標準物、“身體尺”等工具；多次測量取平均值）立體的校園如何呈現在平面的圖紙上？……

經過討論，初步解決這些問題后，還要組織學生分工完成測量和繪制。比如：有小組測量建筑場館（可以數地磚）；有小組測量開放區(qū)域（可以數步數、“手拉手”數人數）；有小組搜集資料，匯總數據；還有小組轉換數據，按照適當的比例尺繪圖，等等。此外，還要組織學生交流（相互評價）實踐成果，反思測量、繪制過程，總結經驗教訓。

【案例8】新能源汽車真的普及了嗎？

教學“統(tǒng)計與概率”的有關知識后，教師與學生談論時下的熱點話題——新能源汽車。出示新聞：“根據網絡數據顯示，2024年上半年新能源汽車的總銷量已累計達到389萬輛，比去年增長32.5%。”然后提問：這樣的數據在本地是否有可信度？可以采取怎樣的手段證實或證偽這一點？經過課堂討論，教師組織學生課外分工展開調查：（1） 對比分析網上各地新能源汽車的比例；（2） 在多個小區(qū)停車場數綠牌車和藍牌車的數量；（3） 在某個交通要道早、中、晚三個時間段分別統(tǒng)計10分鐘以內綠牌車和藍牌車的數量。（4） 設計調查問卷，統(tǒng)計汽車出行人員的車輛信息。獲得數據后，組織學生在課堂上選擇合適的統(tǒng)計圖表整理數據，進行分析，作出判斷，同時比較不同調查方式所得結果的異同，感悟數據的隨機性和規(guī)律性。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：11.

［2］ 愛因斯坦，英費爾德.物理學的進化［M］.周肇威，譯.長沙：湖南教育出版社，1999：59.

［3］［6］ 蔡金法，王濤.體現和落實核心素養(yǎng)：解讀新課標中的“問題提出”［J］.教育研究與評論，2022（10）：412.

［4］［5］ 孫旭花.數學問題設計的誤區(qū)和出路［J］.教育研究與評論，2023（3）：5156.

［7］ 傅贏芳，喻平.CPFS結構理論及其對數學概念教學的啟示［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2020（6）：2833.

［8］ 顧鋒，寧連華.數學解題教學：從“一題多解”到“一題優(yōu)解”［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（7）：712.