趙亞文

【摘? 要】? 二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.作為基本要素之一，二次函數(shù)的解析式是打開(kāi)函數(shù)世界的一把關(guān)鍵“鑰匙”，因此解析式的求解是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵與重點(diǎn).常見(jiàn)的二次函數(shù)解析式形式有一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，掌握所有表達(dá)式對(duì)應(yīng)的解題思路和方法，才能夠提高解題效率，達(dá)到解題目的.本文主要對(duì)三種不同的二次函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)例題得到一些解題的通法，提供給更多經(jīng)驗(yàn)以便學(xué)生學(xué)習(xí)和思考.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題技巧

1? 一般式

形如的表達(dá)式被稱為二次函數(shù)的一般表達(dá)式，是三種不同表達(dá)形式中最基礎(chǔ)、最常見(jiàn)的一種形式.待定系數(shù)法是解答二次函數(shù)一般式的常見(jiàn)方法，即找到三組已知的點(diǎn)坐標(biāo)，將對(duì)應(yīng)的代入解析式中，通過(guò)解三元一次方程求出具體的值.

解答二次函數(shù)一般解析式的具體步驟為：①根據(jù)已知條件找到函數(shù)上具體的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)函數(shù)解析式為；②將坐標(biāo)中值代入假設(shè)的解析式中，得到三元一次方程；③運(yùn)算求得大小，即可得知二次函數(shù)的具體解析式.

例1? 如圖1，二次函數(shù)（）圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為_(kāi)____.

剖析? 沒(méi)有在問(wèn)題中給出明確的坐標(biāo)，首先需要結(jié)合圖形找出經(jīng)過(guò)函數(shù)的三個(gè)具體坐標(biāo)值，其次將這些坐標(biāo)代入解析式中，解三元一次方程組即可求得函數(shù)的一般形式解析式.

解析? 由圖1可知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，

將其代入解析式中，

可得，

解方程組可知，

故拋物線解析式為.

2? 頂點(diǎn)式

形如（）被稱為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，也是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種二次函數(shù)表達(dá)形式，求解該解析式需要明確頂點(diǎn)坐標(biāo)和其他點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入假設(shè)的頂點(diǎn)形式解析式中，求得的大小，即可得知具體的函數(shù)解析式.

求解二次函數(shù)頂點(diǎn)式問(wèn)題，具體解題步驟為：①假設(shè)二次函數(shù)解析式為；②根據(jù)所給條件和已知圖象，代入假設(shè)的解析式中得到方程組；③運(yùn)算求出的大小，即可得知具體的頂點(diǎn)式.

例2? 如圖2所示，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，已知△是邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，求該二次函數(shù)的解析式.

剖析? 首先假設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，其次結(jié)合三角形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和已知對(duì)稱軸求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，將的具體坐標(biāo)值代入假設(shè)的解析式中，求得的大小，即可得知具體二次函數(shù)解析式.

解析? 如圖2所示，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，

假設(shè)函數(shù)解析式為（），

因?yàn)椤魇沁呴L(zhǎng)為的等腰直角三角形，

所以，

此時(shí)點(diǎn)、，

代入解析式中可得：，，，

故二次函數(shù)解析式為，

即.

3? 交點(diǎn)式

形如的解析式被稱為二次函數(shù)的交點(diǎn)表達(dá)式，其中對(duì)應(yīng)函數(shù)與軸的交點(diǎn).作為常見(jiàn)的一種二次函數(shù)解析式，求解時(shí)需要知道交點(diǎn)坐標(biāo)和其他任意一點(diǎn)坐標(biāo)，即可對(duì)解析式做出解答.

求解二次函數(shù)的交點(diǎn)形式解析式，具體解題步驟為：①假設(shè)二次函數(shù)解析式為交點(diǎn)形式；②根據(jù)所給條件，找出與軸相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)和其他一點(diǎn)坐標(biāo)；③將坐標(biāo)值帶入假設(shè)的解析式中，求出的值，即可求得具體坐標(biāo)解析式.

例3? 已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，若分別是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（如圖3），且拋物線與軸交于點(diǎn)，求拋物線的具體解析式.

剖析? 拋物線與軸相交的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，首先假設(shè)拋物線解析式為交點(diǎn)形式，解方程求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式中求得的值，其次根據(jù)點(diǎn)求出的值，即可得知函數(shù)的具體解析式.

解析? 假設(shè)二次函數(shù)解析式為（），

因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，

因?yàn)椋?/p>

所以，，

因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，

所以，

解得，

所以二次函數(shù)解析式為，

即.

4? 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述例題分析，一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式都需要找到具體點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入假設(shè)的解析式中運(yùn)算，即可求得具體函數(shù)表達(dá)式.三種不同形式的函數(shù)表達(dá)式分別展示了二次函數(shù)解析式求解的不同思路，每一種表達(dá)式對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)各不相同，且都是學(xué)生們必須全部掌握和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)生們?cè)趯?shí)踐過(guò)程中，需要結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)求坐標(biāo)具體值，因此熟練掌握基本知識(shí)點(diǎn)，是解答函數(shù)解析式問(wèn)題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1]何光源.淺談求二次函數(shù)的解析表達(dá)式[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（S1）：91-92.

[2]李大平.課堂隨筆——靈活運(yùn)用二次函數(shù)的表達(dá)式求二次函數(shù)的解析式[J].新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育），2011（01）：277.

[3]李代莉.淺談巧設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（27）：95.