袁佳俊 劉 娟 康軒源 雷翔霄

（長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor,PMSM）因其具有體積小、效率高、過(guò)載能力強(qiáng)等諸多優(yōu)勢(shì)，在電動(dòng)汽車(chē)、數(shù)控機(jī)床等多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮了巨大作用，尤其是在先進(jìn)制造領(lǐng)域傳動(dòng)系統(tǒng)、大型艦船電力推進(jìn)系統(tǒng)領(lǐng)域具有巨大的發(fā)展?jié)摿1-3]。為了提高PMSM的控制性能，矢量控制技術(shù)被廣泛應(yīng)用于調(diào)速系統(tǒng)，并取得了良好的系統(tǒng)性能。然而，這種控制技術(shù)通常需要精確位置信息，通常是由高精度的位置傳感器來(lái)實(shí)現(xiàn)。但位置傳感器的使用也存在一些弊端，如增加電機(jī)的體積、成本和降低運(yùn)行可靠性。為了解決這些問(wèn)題，用觀測(cè)器來(lái)替代位置傳感器成為電機(jī)控制領(lǐng)域的重要研究方向。

主流的觀測(cè)器有模型參考自適應(yīng)法（Model Reference Adaptive System,MRAS）、擴(kuò)展卡爾曼濾波法（Extended Kalman Filter,EFK）和滑模觀測(cè)器（Sliding mode observer,SMO）等[4-7]。由于MRAS和EFK算法對(duì)電機(jī)參數(shù)十分敏感，導(dǎo)致魯棒性較差。與之相比，SMO由于具有滑?？刂频奶匦裕軌蚩焖龠_(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，具有參數(shù)不敏感性，因此具有更強(qiáng)的參數(shù)魯棒性和較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。然而，滑?？刂票旧頃?huì)導(dǎo)致抖振問(wèn)題，且觀測(cè)到的轉(zhuǎn)子位置信息易受抖振影響，導(dǎo)致觀測(cè)精度降低。因此，改善SMO的高頻抖振問(wèn)題成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)[8]采用變指數(shù)趨近律結(jié)合非奇異快速終端滑?？刂品椒ㄓ行p小系統(tǒng)抖振，提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力和抗干擾能力。文獻(xiàn)[9]則使用sigmoid函數(shù)替換傳統(tǒng)滑模觀測(cè)算法中的開(kāi)關(guān)函數(shù)，減輕了固有的抖振，且省略濾波環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)[10]利用分段指數(shù)型函數(shù)替代開(kāi)關(guān)函數(shù)，分段調(diào)節(jié)邊界層厚度，有效降低了高頻抖振。文獻(xiàn)[11]采用自適應(yīng)算法略去了傳統(tǒng)的低通濾波器，提高了觀測(cè)精度，顯著減弱了系統(tǒng)抖振。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種新型分?jǐn)?shù)階趨近律，并采用改進(jìn)的非線性轉(zhuǎn)速環(huán)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)獲取精確的轉(zhuǎn)子速度信息。文獻(xiàn)[13]則用雙曲正切函數(shù)替換傳統(tǒng)滑模觀測(cè)算法中的開(kāi)關(guān)函數(shù)，提高了速度和位置觀測(cè)的精度。這些研究主要通過(guò)改變或優(yōu)化開(kāi)關(guān)函數(shù)或增加低通濾波功能來(lái)減輕抖振問(wèn)題。

本文主要是通過(guò)改善滑模面來(lái)改善高頻抖振，提高觀測(cè)精度，提出了一種新型SMO。該新型SMO達(dá)到了省略低通濾波器、減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差、削弱抖振的效果。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 靜止坐標(biāo)系下PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM在α、β兩相靜止坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型為：

其中：Ld、Lq為d軸、q軸電感；ωe為電角速度；R為定子電阻；微分算子；[uαuβ]T為定子電壓；[iαiβ]T為定子電流；[EαEβ]T為擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)（EMF），且滿足：

其中：ψf為磁鏈。

對(duì)于表貼式三相PMSM(Ld=Lq=Ls)表達(dá)式（2）為僅與電機(jī)的轉(zhuǎn)速有關(guān)，則能從其中提取轉(zhuǎn)子電角速度ωe和電角度θe，即：

2 新型SMO設(shè)計(jì)

2.1 靜止坐標(biāo)系下SMO構(gòu)造

靜止坐標(biāo)系下Eα、Eβ可以通過(guò)構(gòu)建的SMO估算得到，估算到的擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)Eα、Eβ可以通過(guò)式（3）反正切函數(shù)計(jì)算出位置信息，則將式（1）改寫(xiě)成電流的狀態(tài)方程形式：

傳統(tǒng)SMO的設(shè)計(jì)通常如下：

將式（4）和式（5）作差，可得定子電流的誤差方程有：

設(shè)計(jì)滑模面函數(shù)：

設(shè)計(jì)滑模控制律為：

其中：

圖1 傳統(tǒng)SMO算法的實(shí)現(xiàn)原理框圖

2.2 一階系統(tǒng)積分滑模函數(shù)

傳統(tǒng)SMO中是使用s=ce的滑模面函數(shù)和等速趨近律=-εsgns的組合，速度跟蹤精度不夠，由式（6）可得本文研究系統(tǒng)是一階系統(tǒng)隸屬于式（10）：

其中：u(t)為控制輸入。本文針對(duì)一階系統(tǒng)引入積分設(shè)計(jì)滑模函數(shù)和指數(shù)趨近律的組合，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，有效抑制抖振，并且不會(huì)出現(xiàn)變量的二階導(dǎo)數(shù)。

其中：c>0

跟蹤誤差為e1=x-xd，其中xd為理想信號(hào)，定義Lyapunov函數(shù)為：

其中，k>0。

將式（14）代入式（13）中得：

對(duì)式（12）求導(dǎo)得結(jié)合式（11）、式（13）：

不等式方程（16）的解為：

本文采用式（18）積分滑模函數(shù)，即：

其中：c1>0,c2>0。本文選取c1=20,c2=1000。

其中：=-Ks是指數(shù)趨近項(xiàng)，其解為s=s(0)e-Ks。

在指數(shù)趨近律中，為了保證快速趨近的同時(shí)削弱抖振，本文選取K=2000,ε=20。

使用積分設(shè)計(jì)滑模函數(shù)和指數(shù)趨近律的組合代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模函數(shù)，則將式（7）、（9）改寫(xiě)為：

2.3 sigmoid函數(shù)SMO構(gòu)造

傳統(tǒng)的SMO采用不連續(xù)的開(kāi)關(guān)函數(shù)，盡管一些改進(jìn)型的控制策略采用飽和函數(shù)來(lái)替代，以緩解由開(kāi)關(guān)函數(shù)突變引起的抖振問(wèn)題，但抖振現(xiàn)象依然顯著。本文深入對(duì)比分析了sgn、sat、sigmoid和tanh這四種常用的切換函數(shù)，如圖2所示。開(kāi)關(guān)函數(shù)以0為界，當(dāng)輸入值出現(xiàn)小擾動(dòng)時(shí)，輸出值變化加劇，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)高頻抖動(dòng)。sat函數(shù)是一條線性變化的直線，這樣可以大大減弱抖振但魯棒性能減弱；sigmoid函數(shù)是一條連續(xù)變化的曲線，因其能在保證魯棒性的程度下又能為了最大程度減弱抖振問(wèn)題，本文采用sigmoid函數(shù)來(lái)替代開(kāi)關(guān)函數(shù)。

圖2 sgn、sat、sigmoid、tanh函數(shù)圖像根據(jù)實(shí)際控制

要求得sigmoid函數(shù)公式：

其中：a是正常數(shù)，它的大小影響函數(shù)的收斂性。

本文對(duì)sigmoid函數(shù)的a值進(jìn)行了深入討論，針對(duì)a取2、10、20、100進(jìn)行了詳細(xì)的圖像分析，如圖3所示。從圖3的波形分析中可以得出，在a>1的條件下，隨著a值的增大，sigmoid函數(shù)的收斂速度加快，滑?？刂葡到y(tǒng)的響應(yīng)速度也隨之提升。然而，a值的增大也導(dǎo)致了函數(shù)邊界層厚度的減小，使得曲線特征更接近sgn函數(shù)，如圖3中a=100的曲線所示，這可能導(dǎo)致滑模抖振的產(chǎn)生。相反，當(dāng)a取值較小時(shí)，sigmoid函數(shù)的邊界層厚度增大，曲線更為平滑，產(chǎn)生的滑模抖振較小，如圖3中a=2的曲線所示。在本文中選取a=20，以滿足系統(tǒng)的精度和魯棒性要求。使用sigmoid函數(shù)來(lái)替代傳統(tǒng)的開(kāi)關(guān)函數(shù)，可以將式（5）進(jìn)行如下改寫(xiě)：

2.4 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

在各種改進(jìn)型的SMO中，最終的目標(biāo)都是使估計(jì)值收斂到滑模面上。為了驗(yàn)證新型SMO的穩(wěn)定性，采用了李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)進(jìn)行判斷。

建立Lyapunov穩(wěn)定性方程為：

對(duì)式（23）求導(dǎo)得：

根據(jù)穩(wěn)定條件，需要滿足：

本文研究對(duì)象為表貼式PMSM有Ld=Lq，將式（6）代入式（25）得：

由于sigmoid函數(shù)性質(zhì)，值域?yàn)椋?1,1），所以εsigmoid(sβ)eq相比于Ksβ可忽略，所以將式（26）改寫(xiě)為：

2.5 反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)

傳統(tǒng)SMO控制量通常為了獲取連續(xù)的擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)估計(jì)值需要加入一個(gè)低通濾波器。但通過(guò)低通濾波處理后觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)會(huì)發(fā)生幅值和相位的變化。因此為了獲取精確轉(zhuǎn)子位置信息，通常將式（3）進(jìn)行補(bǔ)償。

由于濾波處理后會(huì)導(dǎo)致相位延遲，直接影響觀測(cè)精度。為了解決這一問(wèn)題，本文采用sigmoid函數(shù)替代不連續(xù)的高頻切換信號(hào)，從而消除高頻切換信號(hào)的影響。同時(shí)，利用積分滑模面可以實(shí)現(xiàn)濾波的效果，避免了濾波器后觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)發(fā)生的幅值和相位變化，并減少了角度補(bǔ)償環(huán)節(jié)的需求。綜上所述，新型SMO算法的實(shí)現(xiàn)原理如圖4所示：

圖4 新型SMO實(shí)現(xiàn)原理框圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)上，基于一臺(tái)三相永磁同步電機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)仿真，系統(tǒng)參數(shù)詳見(jiàn)表1。選用定步長(zhǎng)ode3（Bogacki-Shampine）算法，并將仿真步長(zhǎng)設(shè)置為2×10-7s。在控制策略方面，采用id=0的電流、轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)控制，并將參考轉(zhuǎn)速設(shè)定為Nref=1000r/min。根據(jù)仿真結(jié)果，進(jìn)一步分析了基于SMO的矢量控制系統(tǒng)的仿真特性。

表1 PMSM-SMO仿真系統(tǒng)參數(shù)

綜上所述，基于SMO的三相PMSM無(wú)位置傳感器矢量控制系統(tǒng)如圖5所示，該系統(tǒng)在傳統(tǒng)的矢量控制技術(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，增加了無(wú)傳感器控制策略。在無(wú)傳感器控制策略中，轉(zhuǎn)速反饋值和轉(zhuǎn)子位置的估計(jì)均依賴(lài)于SMO的輸出，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械傳感器的有效替代。

圖5 基于SMO的三相PMSM無(wú)位置傳感器矢量控制系統(tǒng)

根據(jù)圖5的矢量控制系統(tǒng)，本文構(gòu)建了仿真模型，并進(jìn)行了四組不同觀測(cè)器的仿真實(shí)驗(yàn)，分別為基于開(kāi)關(guān)函數(shù)、飽和函數(shù)、sigmoid函數(shù)SMO以及新型SMO。電機(jī)速度變化曲線如圖6～圖7所示。從圖6可以看出，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，飽和函數(shù)、sigmoid函數(shù)以及新型SMO的速度平穩(wěn)性明顯優(yōu)于開(kāi)關(guān)函數(shù)。進(jìn)一步觀察圖6（a）中的局部放大圖A、B，可以發(fā)現(xiàn)基于新型SMO的系統(tǒng)在啟動(dòng)階段能夠更快地穩(wěn)定到目標(biāo)轉(zhuǎn)速，跟蹤速度快且精度高。

圖6 基于不同SMO矢量控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速變化

圖7 基于不同SMO矢量控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速誤差變化

由圖7可見(jiàn)，相較于基于開(kāi)關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)SMO控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速誤差劇烈波動(dòng)，啟動(dòng)階段的抖振較大?；趕igmoid函數(shù)的傳統(tǒng)SMO控制系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差在1.5~1.9r/min范圍內(nèi)，抖振有明顯的減弱。

而在基于設(shè)計(jì)的新型SMO控制系統(tǒng)中，從啟動(dòng)到穩(wěn)態(tài)的過(guò)渡時(shí)間明顯縮短，且轉(zhuǎn)速誤差在0.1~0.4r/min范圍內(nèi)，抖振有顯著削弱。與上述三種觀測(cè)器相比，新型SMO的效果更佳。從仿真結(jié)果可以看出，電機(jī)在加速到目標(biāo)轉(zhuǎn)速1000r/min過(guò)程中，新型SMO的轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在加速階段有所改善，穩(wěn)定運(yùn)行后轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在0.1附近波動(dòng)。

4 總結(jié)

本文利用sigmoid函數(shù)特性在降低系統(tǒng)抖振的同時(shí)還引入了積分滑模面，旨在提高系統(tǒng)的跟蹤精度并進(jìn)一步削弱抖振?；谶@兩項(xiàng)改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種新型SMO。為了驗(yàn)證其穩(wěn)定性，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性分析，并在MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)上，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)與基于開(kāi)關(guān)函數(shù)、飽和函數(shù)和sigmoid函數(shù)的SMO控制系統(tǒng)進(jìn)行比較，結(jié)果顯示新型SMO在穩(wěn)定運(yùn)行過(guò)程中的速度觀測(cè)誤差在0.01附近波動(dòng)，顯著降低了系統(tǒng)抖振，并提高了觀測(cè)精度。