摘 要：本文對2023年湖南高考物理第15題進(jìn)行了分析，在利用參考系變換簡化問題的基礎(chǔ)上，使用微元法、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理兩種方法求解軌跡方程，利用多種數(shù)學(xué)方法拓展問題解決的思路，并從提升學(xué)生模型建構(gòu)與遷移能力的角度出發(fā)，對試題模型進(jìn)行了溯源分析。

關(guān)鍵詞：高考物理；核心素養(yǎng)；解法拓展；人船模型

物理學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生具備建構(gòu)理想模型的意識(shí)和能力，能正確運(yùn)用科學(xué)思維方法，從不同角度思考問題，將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程簡單化。^{［1］［2］}本文將從多個(gè)角度解析2023年湖南高考物理卷第15題，給出多種不同于標(biāo)準(zhǔn)答案的解答思路，旨在提升學(xué)生的科學(xué)推理、模型建構(gòu)等學(xué)科核心素養(yǎng)。

1 試題分析

如圖1所示，質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內(nèi)有一個(gè)半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b，長軸水平，短軸豎直。質(zhì)量為m的小球，初始時(shí)刻從橢圓軌道長軸的右端點(diǎn)由靜止開始下滑。以初始時(shí)刻橢圓中心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy，橢圓長軸位于x軸上。整個(gè)過程凹槽不翻轉(zhuǎn)，重力加速度為g。

（1）小球第一次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)時(shí)，求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程；

（3）若Mm＝ba－b，求小球下降h＝b2高度時(shí)，小球相對于地面的速度大小（結(jié)果用a、b及g表示）。

分析：該題以最初相對于地面靜止的球和凹槽為問題情境，要求學(xué)生能以球、凹槽為系統(tǒng)，建構(gòu)并分析相應(yīng)模型，結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律求解問題，考查學(xué)生建構(gòu)模型的能力。題目要求學(xué)生利用參考系變換的思想處理相對運(yùn)動(dòng)，求解小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，考查學(xué)生數(shù)學(xué)分析和靈活處理問題的能力與科學(xué)思維水平；題目還進(jìn)一步要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)動(dòng)的合成與分解求得小球速度，并能利用運(yùn)動(dòng)分解和數(shù)理結(jié)合的方法處理小球的運(yùn)動(dòng)問題。

2 解法呈現(xiàn)及拓展

原題有３個(gè)設(shè)問，第一問難度較低，下面?zhèn)戎貙Φ诙?、三問的解法進(jìn)行拓展。其中，第二問的標(biāo)準(zhǔn)答案是利用人船模型的結(jié)論進(jìn)行求解，較為簡略，有關(guān)參考系變換思想、微元思想等都無法在答案中完整體現(xiàn)?；诖耍疚脑谏钊胙芯吭囶}的基礎(chǔ)上，利用微元法、數(shù)形結(jié)合、隱函數(shù)求導(dǎo)等方式解決問題，讓學(xué)生通過新的解法拓寬學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

2.1 第二問解法

以凹槽為參考系，小球的軌跡方程為

x′2a2＋y′2b2＝1，①

以地面為參考系，設(shè)小球的坐標(biāo)為（x，y），則有

y＝y(tǒng)′。②

解法一：微元法

任何時(shí)刻小球和凹槽水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取向右為正，則

mvmx＋MvMx＝0，③

在每一微小時(shí)間段Δt內(nèi)，小球、凹槽水平速度vmx、vMx可近似看成勻速，故有

mvmxΔt＋MvMxΔt＝0，

累計(jì)可得

mΔxm＋MΔxM＝0。

已知小球的水平位移Δxm＝x－a，則有

m（x－a）＋M（xM－0）＝0，④

經(jīng)分析可知

x′＝x－xM，⑤

聯(lián)立④、⑤式可得

x′＝M＋mMx－mMa，⑥

將②、⑥式代入①式可得

［x（M＋m）－ma］2M2a2＋y2b2＝1。⑦

點(diǎn)評：對小球和凹槽構(gòu)成的系統(tǒng)進(jìn)行分析，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒關(guān)系及微元思想，建構(gòu)水平方向的“人船模型”，這種解法是大多數(shù)考生會(huì)選用的處理方法，屬于該題的常規(guī)解法；分析小球的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，考生需要將固定于地面的參考系轉(zhuǎn)換為隨凹槽運(yùn)動(dòng)的參考系，利用相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系推知小球、凹槽之間的相對運(yùn)動(dòng)情況，對考生的思維能力有較高的要求。

解法二：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

小球與凹槽構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，且剛開始系統(tǒng)靜止，因此在整個(gè)過程中，系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向上保持不變。

開始時(shí)，凹槽的質(zhì)心位置在原點(diǎn)，小球在x＝a處，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

ma＋M·0m＋M＝mx＋MxMm＋M，

mx＋MxM＝ma，⑧

經(jīng)分析可知

x′＝x－xM＝M＋mMx－mMa，⑨

將②、⑨式代入①式可得

［x（M＋m）－ma］2M2a2＋y2b2＝1。⑩

點(diǎn)評：小球和凹槽構(gòu)成的系統(tǒng)初動(dòng)量為零，水平方向不受外力，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置保持不變，從而將復(fù)雜的物體運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡單的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理不屬于高中物理的知識(shí)，這要求使用該解法的考生需具備一定的競賽基礎(chǔ)。實(shí)際上，遇到一些系統(tǒng)內(nèi)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)題目時(shí)，教師可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生傳授其原理及應(yīng)用，這樣不僅可以拓寬學(xué)生的物理視野和物理思維，還能在這一過程中不斷提升學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng)。

2.2 第三問解法

將Mm＝ba－b代入小球的軌跡方程化簡可得

［x－（a－b）］2＋y2＝b2，B11

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得

mgb2＝12mv2m＋12Mv2M，B12

由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒可得

mvmx＋MvM＝0。B13

解法一：利用數(shù)形結(jié)合思想求解（評分標(biāo)準(zhǔn)中的解析）。

點(diǎn)評：小球軌跡是圓的一部分，可利用圓的性質(zhì)，求解小球下降h＝b2高度時(shí)小球速度與水平方向的夾角。本解法基于數(shù)形結(jié)合思想，利用圓的幾何性質(zhì)來得到小球速度的方向，進(jìn)而求解小球速度的大小；這是本題的常規(guī)解法，難度較低，適用于大多數(shù)考生，類似解法還有運(yùn)用圓的切線斜率公式或參數(shù)方程求解，這一類解法都是利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解。

解法二：隱函數(shù)求導(dǎo)

對B11式的兩側(cè)分別求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)有

［x－（a－b）］dxdt＋ydydt＝0，

vyvx＝－x－a＋by，B14

將y0＝－b2代入軌跡方程得

x0＝a－b＋32b或x0＝a－b－32b（依題舍去第二項(xiàng)），

再代入B14式得

vyvx＝3＝tanπ3，

可知此時(shí)有

vmx＝vmcosπ3，B15

聯(lián)立B12、B13、B15式可得

vm＝2bga＋3b。B16

點(diǎn)評：對軌跡方程求導(dǎo)，得到小球水平速度和垂直速度的關(guān)系。此種解法完全脫離了圓的性質(zhì)，不依賴于小球特殊的運(yùn)動(dòng)軌跡，是此類問題的通用解法；相比直接利用圓的性質(zhì)求解，此種解法更為復(fù)雜，難度較大，但教師適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生教授其原理及應(yīng)用，可使學(xué)生在滿足學(xué)業(yè)水平等級考試要求的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升自身的學(xué)習(xí)能力。

3 模型溯源

只從高中內(nèi)容上看，該題本質(zhì)上屬于人船模型。人船模型求解法在高中階段較為重要，學(xué)生需要掌握運(yùn)用人船模型求解的條件、方法，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)加以拓展。^［3］

3.1 經(jīng)典的人船模型

平靜的水面上停有一質(zhì)量為M、長為L的船，質(zhì)量為m的人從船的前端走到末端，不計(jì)水的阻力，求人和船相對于水面的位移大小。

分析過程可見徐建強(qiáng)、左開發(fā)撰寫的論文《深究人船模型本質(zhì) 遷移模型深度應(yīng)用》^［4］，最終可得運(yùn)動(dòng)過程中人、船的位移大小為x人＝MLm＋M，x船＝mLm＋M。

實(shí)際上，只要知道某一過程人與船的相對位移Δx＝x人＋x船，可求得此過程人和船相對于水面移動(dòng)的距離x人＝MΔxm＋M，x船＝mΔxm＋M。

3.2 人船模型的變形

人船模型的建模條件：只要一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)物體組成，某一方向系統(tǒng)初動(dòng)量為零；系統(tǒng)內(nèi)物體之間有相對運(yùn)動(dòng)，相對運(yùn)動(dòng)過程中此方向動(dòng)量守恒，滿足上述條件的系統(tǒng)都可稱之為“人船模型”。^［5］

根據(jù)上述條件，可對人船模型做多種變形。^［6］其中一類變形為“曲面船”，試題所采用的物理模型便屬于這類變形，其系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中滿足水平方向動(dòng)量守恒，水平位移過程符合人船模型。

4 啟示

縱觀幾種拓展解法，可以看到利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可以凸顯系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)特征，有利于學(xué)生把握運(yùn)動(dòng)特征、深究物理本質(zhì)；利用隱函數(shù)求導(dǎo)可以延伸到各種軌跡方程的求解，實(shí)現(xiàn)“多題一解”，培養(yǎng)學(xué)生分析歸納能力和問題解決能力。因此，在教學(xué)過程中，教師要對試題解法進(jìn)行合理拓展，從常規(guī)解法入手，逐步幫助學(xué)生提升思維的層次、理解物理的本質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

通過深入研究人船模型及其建構(gòu)條件，可對人船模型進(jìn)行變形和遷移，有助于學(xué)生建構(gòu)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析物理模型的能力和知識(shí)遷移能力。因此，教學(xué)過程中教師需設(shè)置針對性訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生識(shí)別模型、建構(gòu)模型、歸納模型、應(yīng)用模型的能力，讓學(xué)生能在新情境中靈活建構(gòu)物理模型解決問題。

參考文獻(xiàn)

［1］陳顯盈，尤愛惠.建構(gòu)不同物理模型 提升學(xué)科核心素養(yǎng)——以“2020年全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第11題”為例［J］.物理教師，2021，42（5）：94-96．

［2］王金兵.一道高考壓軸題題眼的剖析及啟示——以2022年山東省高考物理壓軸題為例［J］.物理教師，2022，43（12）： 83-85，88．

［3］宋松明，王值鋒.人船模型中運(yùn)動(dòng)軌跡的深度求解［J］.物理通報(bào)，2019（S2）：129．

［4］［6］徐建強(qiáng)，左開發(fā).深究人船模型本質(zhì) 遷移模型深度應(yīng)用［J］.理科考試研究，2022，29（3）：45-48．

［5］趙財(cái)昌.形色各異的“人船模型”［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（8）：53-56．