谷周波

[摘 要] 探究性學(xué)習(xí)是一種積極主動的思維活動，學(xué)生在探究過程中不僅能有效提高邏輯思維能力，還能不斷積累探究經(jīng)驗，為形成終身可持續(xù)性發(fā)展的探究能力奠定基礎(chǔ).文章以“三角形的中位線”的教學(xué)為例，具體從“情境導(dǎo)入，初露端倪”“幾何推理，步入正軌”“借助圖形，引發(fā)思辨”“逐層深入，訓(xùn)練思維”四個方面談?wù)勅绾慰茖W(xué)合理地設(shè)計教學(xué)活動，幫助學(xué)生積累探究經(jīng)驗.

[關(guān)鍵詞]探究；教學(xué)設(shè)計；中位線

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度初中專項課題“指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實踐研究”（Ec/2021/39）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡稱“新課標(biāo)”）提出要將數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗的積累與建模活動作為課堂教學(xué)的主線，貫穿整個教學(xué)過程[1].這對教師的教學(xué)設(shè)計也提出了更高的要求.在實際教學(xué)中，探究活動經(jīng)驗的積累常常受諸多因素的影響，教材所配備的探究資源未必與學(xué)情相匹配，這就要求教師靈活整合教材資源與學(xué)情合理設(shè)計教學(xué)，提高學(xué)生探究經(jīng)驗積累的成效.

情境導(dǎo)入，初露端倪

初中階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的生活閱歷，積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.在課堂導(dǎo)入時，教師可緊貼學(xué)生的認(rèn)知水平，緊扣教學(xué)內(nèi)容所傳遞的數(shù)學(xué)思想方法與內(nèi)涵等，通過通俗易懂的方式實施情境導(dǎo)入，為一節(jié)課順利進(jìn)行做鋪墊.

三角形的中位線是在學(xué)生對三角形與四邊形有所了解后進(jìn)行的教學(xué)，大部分教材都是以旋轉(zhuǎn)、剪拼或重疊等方式來驗證一些線段、角之間的關(guān)系.順著教材的思路進(jìn)行教學(xué)，操作簡便，學(xué)生也容易理解，但在實際操作過程中，有學(xué)生提出以下幾個問題：①沿著三角形兩邊中點連線進(jìn)行剪切是怎么想到的呢？②這種剪切方法與之前所學(xué)的知識有什么關(guān)系？

為解開學(xué)生的疑惑，教師在教學(xué)設(shè)計時，特地設(shè)計了如下充滿數(shù)學(xué)味的導(dǎo)入情境.

要求學(xué)生從認(rèn)知儲備中提取已知的關(guān)于三角形的線段，學(xué)生很快就整理出三角形的三條邊、角平分線、高以及中線.在此基礎(chǔ)上，教師提出以下問題，并引導(dǎo)學(xué)生回答.

問題1 如圖1，在△ABC中，已知D為AB的中點，連接CD，可以獲得什么結(jié)論？

生1：△ACD和△BCD的面積相等.

問題2 如圖2，若E為AC的中點，連接ED又能獲得什么結(jié)論呢？

生2：ED為△ACD的中線，因此△AED與△DEC的面積相等.

師：非常好！若將圖2中的線段CD去掉，有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：如圖3，△AED的面積與四邊形CEDB的面積之比為1∶3.

師：非常好！以上內(nèi)容為本節(jié)課我們即將探索的主題“三角形的中位線”的基礎(chǔ).現(xiàn)在請大家來看三角形中位線的概念.（多媒體直接展示，要求學(xué)生分組合作討論其可能存在的性質(zhì)）

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科，知識與知識之間有著一定的聯(lián)系，舊知為新知的基礎(chǔ)，新知又是舊知的延伸.因此，教師在導(dǎo)入新知時，應(yīng)致力于將新知與學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗和結(jié)構(gòu)建立一定的聯(lián)系，通過一些鋪墊性問題的設(shè)置為新知學(xué)習(xí)搭建“腳手架”，讓學(xué)生順利實現(xiàn)新舊知識的銜接，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

本節(jié)課的情境導(dǎo)入，教師以問題串的形式，帶領(lǐng)學(xué)生從“三角形中線平分面積”這一知識點出發(fā)，揭露了三角形兩邊中點的連線可將原三角形分割成面積比為1∶3的兩個圖形.數(shù)學(xué)的思維自然而然地從三角形“中線”轉(zhuǎn)化到“中位線”，不僅順利完成了概念的導(dǎo)入，還為中位線性質(zhì)的猜想奠定了基礎(chǔ).這種低起點、小步子、高觀點的巧妙設(shè)計，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生的探究活動有據(jù)可循、層次分明、初露端倪.

幾何推理，步入正軌

定理是幾何體系的基礎(chǔ)與核心，也是學(xué)生認(rèn)識與解決幾何問題的依據(jù).基于幾何定理本身來說，所有定理都由嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C而來，具有典型性與抽象性，且定理的求證過程也極具代表性，是積累探究經(jīng)驗的主要渠道[2].

例如本節(jié)課，對三角形中位線定理的證明，可從以下思路出發(fā)：

師：非常好！思路清晰、條理清楚，生6構(gòu)造一對全等三角形作為思維的“切入點”，順利推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論.現(xiàn)在請大家分析一下，是否存在其他方法可以證明四邊形FCBD為平行四邊形呢？

師：這種跨越三角形全等的證明方法，優(yōu)化了解題思路，讓證明過程變得更加簡便，值得推廣.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題探究是指帶領(lǐng)學(xué)生基于數(shù)學(xué)的視角應(yīng)用數(shù)學(xué)眼光思考與解決問題，形成解決問題的能力，積累探究經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識的過程.因此，教師在課堂中應(yīng)給予學(xué)生充足的思考與探索時間，讓學(xué)生有更多操作與實踐的機會，為積累探究經(jīng)驗奠定基礎(chǔ).

中位線定理的探究主要從如下幾點著手：①利用三角形全等來求證角度與線段分別相等，得到平行或倍分關(guān)系；②結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，證明平行與倍分關(guān)系.這兩種方法作為幾何論證最常用的方法，屬于學(xué)生必備技能.因此，課堂探究活動需圍繞這兩種方法逐層深入地進(jìn)行，以促進(jìn)學(xué)生思考，幫助學(xué)生積累解決幾何問題的基本活動經(jīng)驗.

借助圖形，引發(fā)思辨

幾何定理教學(xué)不僅要引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、理解并掌握定理，更要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理解決實際問題.當(dāng)學(xué)生順利完成定理的推導(dǎo)后，為了鞏固學(xué)生對知識的掌握與應(yīng)用，教師要通過相應(yīng)的習(xí)題幫助學(xué)生厘清定理的應(yīng)用過程，獲得解題技巧，發(fā)展邏輯思維能力.事實證明，借助圖形進(jìn)行解題訓(xùn)練常能有效地揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的整體性、條理性與系統(tǒng)性特征，為建構(gòu)良好的知識脈絡(luò)奠定基礎(chǔ).

例1 （1）如圖7，在△ABC中，已知D，E分別為AB，AC的中點，連接DE，如果BC=4 cm，∠B=40°，求∠ADE的度數(shù)以及DE的長度.

（2）如圖8，在△ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點，分別連接DE，EF，如果△ABC的面積是8 cm2，那么四邊形BDEF的面積是多少？

（3）如圖9，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點，分別連接DE，EF，DF，如果△ABC的周長是6，那么△DEF的周長是多少？

（學(xué)生獨立思考并解題，教師巡視，展示學(xué)生的結(jié)論，此略）

當(dāng)學(xué)生順利完成解題任務(wù)后，教師挑選幾個思路清晰、書寫過程規(guī)范的解法投影（略），并提出以下幾個問題：①在圖7中，四邊形CBDE是什么四邊形？②在圖8中，△AED與△ECF全等嗎？四邊形 FBDE是平行四邊形嗎？③在圖9中，四個小三角形全等嗎？

畫圖、讀圖與識圖是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，圖形傳遞出大量的信息是引發(fā)聯(lián)想的關(guān)鍵.解題中，新圖形的形成與應(yīng)用，常能有效開闊學(xué)生的視野，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展.

教師針對以上三個圖形所補充的問題，讓學(xué)生對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容獲得了進(jìn)一步認(rèn)識.隨著對核心知識的提煉與梳理，學(xué)生自主將三角形中位線相關(guān)的知識羅列在一張網(wǎng)上，形成一個有序化、條理化的整體.烏申斯基認(rèn)為：組織良好的知識體系是真正的智慧.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生將知識進(jìn)行了縱橫溝通，編織出一張層次分明、條理清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，積累了豐富的探究經(jīng)驗.

逐層深入，訓(xùn)練思維

知識的應(yīng)用是外化的過程，概念的學(xué)習(xí)最終都要為解題服務(wù)，若想更深層次地訓(xùn)練學(xué)生的思維，實現(xiàn)學(xué)生探究經(jīng)驗的內(nèi)化，教師要設(shè)計與知識相匹配的問題引導(dǎo)學(xué)生展開深入思考，讓學(xué)生在概念的實際應(yīng)用中進(jìn)行比較、分析與推理，實現(xiàn)新舊知識的整合與聯(lián)系.

例2 填空.

（1）如圖10，在△ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點，M，N分別是線段DB，BF的中點，若NM=a，則AC= .

（2）如圖11，已知AF為△ABC的中線，DE為△ABC的中位線，線段DE與AF相交于點G，AF=5，GF= .

（學(xué)生解題，教師巡視，邀請幾個學(xué)生簡單地與大家分享解題方法）

生8：連接圖10中的DF，則NM為△DBF的中位線，F(xiàn)D=2NM=2a.同理可知AC=2FD=4a.

師：通過解決這道題發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線能為解題創(chuàng)造出有利條件，誰來分享下第（2）題的解法呢？

概念、定理、法則等的應(yīng)用是將知識轉(zhuǎn)化為能力的主要途徑，經(jīng)典例題能深化學(xué)生對知識的理解程度，形成解題技巧，在思維訓(xùn)練中完善思維品質(zhì)[3].因此，教師在例題設(shè)計或選擇時，應(yīng)基于學(xué)生探究經(jīng)驗積累擇優(yōu)而行，讓學(xué)生通過解題了解知識本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，感知解題帶來的成就感，讓學(xué)生從真正意義上喜歡數(shù)學(xué)探究活動.

總之，探究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義.在日常教學(xué)中，我們應(yīng)將探究活動與最基礎(chǔ)的概念、定理、法則等的學(xué)習(xí)自然地融合在一起，幫助學(xué)生積累探究經(jīng)驗，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣所在，為形成良好的學(xué)習(xí)能力奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 沈木勇.“雙減”背景下提升初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（02）：91-93.

[3] 俞宏毓，朱向陽，顧冷沅.探究教學(xué)的設(shè)計與改進(jìn)——以“面積與周長的關(guān)系”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（01）：68-71.