方偉 易良斌

[摘 要] 三角函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中一類特殊的函數(shù).運(yùn)用三角函數(shù)解決問(wèn)題既溝通了函數(shù)與幾何，又無(wú)形中滲透抽象能力和幾何直觀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章以中考題為例，研究三角函數(shù)在解題中的關(guān)鍵作用，并得出一些結(jié)論和反思.

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng)；三角函數(shù)；中考鏈接

2022年4月，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“新課標(biāo)”）正式頒布.“新課標(biāo)”指出，初中階段需要培養(yǎng)學(xué)生的9個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而抽象能力和幾何直觀是其中兩個(gè)重要的部分.抽象能力指的是從較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目中抽象出若干個(gè)基本模型，從而把較復(fù)雜的問(wèn)題分解成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，利用基本模型的結(jié)論解決問(wèn)題.借助幾何直觀，可以建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.

三角函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中一類特殊的函數(shù)，它是函數(shù)與幾何之間的紐帶.在解決涉及三角形、四邊形、圓、全等、相似等知識(shí)的綜合題型中往往可以運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).在直角三角形中利用三角函數(shù)構(gòu)建邊長(zhǎng)之間的比例關(guān)系，往往成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，從而把代數(shù)與幾何有效地結(jié)合起來(lái).幾何中解決線段的計(jì)算問(wèn)題時(shí)可以借助方程這個(gè)代數(shù)工具.本文以2022年麗水卷第10題和杭州卷第23題為例，在核心素養(yǎng)的視角下，對(duì)中考中有關(guān)三角函數(shù)的試題進(jìn)行分析和研究.

試題再現(xiàn)

解題分析

此題是2022年麗水中考選擇題的壓軸題，題干和圖形都不是很復(fù)雜，但僅利用已有圖形并不能夠立即解決.解決此題的基本思路是通過(guò)添加有效的輔助線構(gòu)造基本圖形，再?gòu)妮^復(fù)雜的圖形中抽象出幾個(gè)基本的幾何模型，建立形與數(shù)的聯(lián)系，找到等量關(guān)系列方程計(jì)算.主要有以下三種基本思路：

第一種思路，利用已知條件中的平行，延長(zhǎng)線段構(gòu)造相似的基本圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定，假設(shè)未知數(shù)列方程計(jì)算線段長(zhǎng)度.

第三種思路，通過(guò)連接線段構(gòu)造相似的等腰三角形，或通過(guò)作垂線段構(gòu)造相似的直角三角形，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程計(jì)算線段長(zhǎng)度.

1.構(gòu)造相似的基本圖形

解法一基本思路：如圖2，作垂線段AH得到BH=EH，由中垂線的性質(zhì)可知，AB=AE=4.由平行和角平分線得到等角∠EAP=∠P，再得等邊AE=PE.向外延長(zhǎng)線段AF和BC交于點(diǎn)P構(gòu)造相似的基本圖形，可得△AFD與△PFC相似且相似比為2∶1，推導(dǎo)出另一對(duì)相似三角形（△AGF與△AEP）的相似比為2∶3，從而利用相似比計(jì)算FG的長(zhǎng)度.

解法二基本思路：如圖3，向外延長(zhǎng)線段AE和DC，它們交于點(diǎn)P，補(bǔ)全三角形，利用已知平行構(gòu)造相似三角形.由平行和角平分線得到等角∠GAF=∠GFA，得到等邊AG=FG.假設(shè)AG=FG=x，在相似比未知的情況下利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列比例式進(jìn)行線段計(jì)算.這里可用于列方程的相似三角形有三對(duì)，分別是△PEC與△PGF，△ABE與△PFG，△PGF與△PAD.

2.構(gòu)造直角三角形，巧用三角函數(shù)

杭州中考鏈接

把近6年杭州中考題中考查三角函數(shù)的題目進(jìn)行統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，2016年填空題（第11題，4分），2017年選擇題（第10題，3分），2018年解答題（第23題第（2）問(wèn)，4分），2019年選擇題（第9題）和填空題（第14題）共7分，2020年選擇題（第4題）和填空題（第14題）共7分，2021年填空題（第11題，4分），2022年選擇題（第10題）和解答題（第23題最后一問(wèn)）共7分.

除2021年出現(xiàn)回落以外，在有關(guān)三角函數(shù)題目的命題上出現(xiàn)以下幾個(gè)明顯特征：從選擇題、填空題到解答題都有涉及；分值從3分或4分漲到7分；難度從簡(jiǎn)單逐漸過(guò)渡到中等再到復(fù)雜；考查的知識(shí)點(diǎn)從涉及單一知識(shí)點(diǎn)過(guò)渡到與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合.例如2022年杭州中考題的最后一問(wèn)：

研題反思

1.巧用三角函數(shù)，突破解題難點(diǎn)

從上文的分析中可以發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)在中考命題中的地位在不斷提高.三角函數(shù)在浙教版初中教材中只在九年級(jí)下冊(cè)第一章出現(xiàn)，但是在高中教材中有大量三角函數(shù)的延伸知識(shí).中考作為初高銜接的橋梁，增加三角函數(shù)的試題分值和難度也在情理之中.三角函數(shù)是在直角三角形中利用兩邊長(zhǎng)的比值與角度之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系而構(gòu)建的一種特殊函數(shù).它能夠有效地溝通形與數(shù)，滲透幾何直觀的核心素養(yǎng).三角函數(shù)定義中體現(xiàn)的線段之間的比值，與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例不謀而合.有關(guān)相似的壓軸題通常是幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，而三角函數(shù)在解題思路中往往起著關(guān)鍵性的紐帶作用.構(gòu)造合適的直角三角形，活用等角的三角函數(shù)值相等，巧用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系往往能夠突破問(wèn)題的難點(diǎn).

2.落實(shí)核心素養(yǎng)，提高綜合能力

“新課標(biāo)”指出，課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.從這兩道中考題中可以發(fā)現(xiàn)，在“雙減”政策的引領(lǐng)下，雖是選擇題和解答題的壓軸題，但難度并不是很大，有多種思路解法.學(xué)生只要抓住解題的關(guān)鍵條件，添加合適的輔助線就能夠找到解題方法.這兩道題在菱形和正方形的基本框架之下，學(xué)生會(huì)覺(jué)得圖形比較熟悉，但題型的條件設(shè)置和問(wèn)法又比較新穎，學(xué)生會(huì)感到陌生，可以說(shuō)是恰到好處的壓軸.學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題，從已知條件得到一些中間結(jié)論，把幾何圖形分解成若干個(gè)基本模型，再用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合列方程求解，充分利用三角函數(shù)建立起幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系.整個(gè)過(guò)程無(wú)形中滲透并落實(shí)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也提高了學(xué)生應(yīng)對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)綜合能力.

3.調(diào)整教學(xué)模式，重視方法滲透

“新課標(biāo)”指出，課程內(nèi)容組織重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系；重視學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的形成，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系.在“新課標(biāo)”的引領(lǐng)下，教師在平時(shí)教學(xué)中可以從以下幾方面進(jìn)行完善：第一，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，要注重各教學(xué)模塊之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)應(yīng)對(duì)較難問(wèn)題.第二，要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或者哪個(gè)知識(shí)卡殼了，有目的性、有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生不斷突破難點(diǎn)，并提供鞏固難點(diǎn)的變式練習(xí)，將難點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)化成熟練點(diǎn).第三，不要一味地灌輸，要留有足夠的時(shí)間和空間讓學(xué)生思考探索不同的思路方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)討論探究發(fā)現(xiàn)新解法，幫助學(xué)生不斷鞏固舊知并獲取新方法.學(xué)生通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)的知識(shí)方法更能夠保持長(zhǎng)久記憶，被動(dòng)接受的方法比較容易遺忘，這就是直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的區(qū)別.第四，要注重解題方法的歸納小結(jié)，解題思路的整理延伸，幫助學(xué)生厘清問(wèn)題主線，形成解題的思維框架.