作者簡介：徐燕（1979～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山區(qū)第三高級(jí)中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

摘? 要：文章基于核心素養(yǎng)背景下，針對高三二輪復(fù)習(xí)，以探究“多元變量最值問題”，給出微專題的實(shí)踐探究——立足基礎(chǔ)，探究本質(zhì)；類比歸納，尋求創(chuàng)新；鏈接拓展，提升品質(zhì)，探究多元變量最值的解題策略。學(xué)生掌握消元法、判別式法、三角換元法、基本不等式等常用方法，了解齊次式、幾何法（余弦定理、幾何意義）、向量法等特殊解法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識(shí)的融合和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：微專題；多元變量最值；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1673-8918（2024）08-0076-05

一、 問題的提出

對于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等能力。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。高三復(fù)習(xí)課的任務(wù)是幫助學(xué)生整合知識(shí)和方法，形成知識(shí)體系與方法策略，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。但是在高三二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，對專題復(fù)習(xí)筆者有以下三點(diǎn)困惑：①專題復(fù)習(xí)定位高，部分高三教師對高考的命題耳熟能詳，力圖使自己的教學(xué)一步到位，故選題定位過高，這些專題“?！倍弧拔ⅰ?，學(xué)生望塵莫及，失去學(xué)習(xí)信心；②高三二輪專題復(fù)習(xí)時(shí)間緊，綜合性強(qiáng)，思維前后跨度大，部分教師只顧訓(xùn)練題型，忽略思維關(guān)聯(lián)，不去突破“類”的束縛，對提高解題能力沒有多大幫助；③專題復(fù)習(xí)是再炒一遍“冷飯”，教師經(jīng)常是講壓軸題，就題講題，直接灌輸解題方法，專題課復(fù)習(xí)任務(wù)繁重，學(xué)生也提不起學(xué)習(xí)的興趣。如何改善這些現(xiàn)象，更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力，筆者在專題的選擇和研究上做了嘗試和改進(jìn)，復(fù)習(xí)教學(xué)中設(shè)計(jì)“微專題”來研究解題策略，更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值。

二、 微專題概念界定

微專題是針對一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或一類問題進(jìn)行探究和定點(diǎn)突破的專項(xiàng)研究，也是圍繞復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)的。通常選擇一些角度新、切口小、熱點(diǎn)高、針對性強(qiáng)的復(fù)習(xí)專題，力求解決復(fù)習(xí)課中的小問題、真問題和實(shí)際問題。

基于核心素養(yǎng)的微專題的特點(diǎn)是教學(xué)不受教材限制，具有靈活性和時(shí)效性。靈活性體現(xiàn)在內(nèi)容上，其不受當(dāng)前的章節(jié)內(nèi)容制約，其次是時(shí)間上的靈活性，可以在復(fù)習(xí)的任何階段出現(xiàn)。時(shí)效性是關(guān)注學(xué)生當(dāng)前的學(xué)情，不生搬硬套復(fù)習(xí)教材，隨時(shí)幫助學(xué)生整合自己已學(xué)過的知識(shí)，優(yōu)化和構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

基于核心素養(yǎng)的微專題教學(xué)對高三的二輪復(fù)習(xí)更加行之有效，下面筆者以“多元變量最值問題”為例，探究其解題策略。

三、 核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)“微專題”復(fù)習(xí)的實(shí)踐探究

（一）立足基礎(chǔ)，探究本質(zhì)

“微專題”不等同于“專題”，專題可以分為大專題、小專題和微專題。要設(shè)計(jì)一個(gè)好的微專題，則應(yīng)根據(jù)整合知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容，關(guān)鍵是選擇好題型或知識(shí)點(diǎn)，題不在多，而在于精，即所選的例題和習(xí)題不但能把握高考考向，還要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心知識(shí)、方法和思想。精選“微專題”的最終目的是幫助學(xué)生解決一輪復(fù)習(xí)中的缺陷。因此，如何選擇好的微專題，用微專題去解決什么，期望微專題教學(xué)后能達(dá)到什么效果，教師在設(shè)計(jì)微專題的時(shí)候都要預(yù)設(shè)好，在課前要充分挖掘教材，掌握學(xué)生的學(xué)情，做好題型的整合。

縱觀近幾年的全國高考卷中，很多題型源于教材，是基礎(chǔ)知識(shí)的整合、加工和改編，目的是回歸學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鞏固原有知識(shí)與方法，出題充分體現(xiàn)了以課本為本的原則。高三教師要深度挖掘教材例題、習(xí)題，從課本出發(fā)，設(shè)計(jì)微專題，使二輪復(fù)習(xí)更加行之有效。

【典例1】雙變量是近年來求最值問題的命題熱點(diǎn)，這類問題形式多樣，解法靈活，值得我們?nèi)ヌ骄?。下面我們來看一個(gè)例題。已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-xy=3，求x+y的最小值為??? 。

師：已知條件為二元含一次、二次的非齊次式，目標(biāo)是求二元一次的最值。我們可以采用什么方法求最值？

生異口同聲說：可以采用消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

師：下面我們進(jìn)行分小組討論，可以采取哪些方法？看哪個(gè)小組方法最多？

生1：消元從函數(shù)的角度入手，通過消元或其他手段把原問題變成一元函數(shù)的最值問題。

可根據(jù)條件“x+y-xy=3”，通過變形化簡y=x+3x-1，因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，x>0（x+3）（y-1）>0，x>1，y>1。

x+y=x-1+4x-1+2≥2（x-1）·4x-1+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)，x+y最小等于6。

師：很好，通過消元轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值，那解決函數(shù)最值我們還有其他解法嗎？

生2：老師我也要補(bǔ)充，當(dāng)前面一個(gè)同學(xué)轉(zhuǎn)化成f（x）=x+y=x+x+3x-1時(shí)，我們也可以用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值f′（x）=（x+y）′=1+-4（x-1）2（x>0），f（x）在（0，3）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）在x=3時(shí)取到最小值6。

師：很好，還有其他解法嗎？

生3：從配湊基本不等式入手，通過條件“x+y-xy=3”轉(zhuǎn)化成（x-1）（y-1）=4，則令x-1=t，則y-1=4x-1，解得t>0，原式可轉(zhuǎn)化為t+4t+2≥2t·4t+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)，x+y最小等于6。

生4：老師，我也有補(bǔ)充，利用不等式思想將積轉(zhuǎn)化為和的形式，再解不等式方程。由題可知x+y=xy+3≤x+y22-3，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，于x+y>0，解得x+y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y=3”時(shí)取等號(hào)，故x+y的最小值為6。也可以利用和轉(zhuǎn)化為積，即x+y=xy-3≥2xy，得（xy）2-2xy-3≥0，xy≥3，x+y≥2xy≥6，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y=3”時(shí)取等，故x+y的最小值為6。

生5：老師，可以從方程思想入手，令x+y=t>0，則x=t-y，將其代入題設(shè)x+y-xy=3中，并化簡得y2-ty+t+3=0，把它看成關(guān)于y的一元二次方程，方程有正根，而y+y=t>0，yy=t+3>0，因此只需Δ=t2-4×（t+3）≥0（t>0）即可，解得t≥6，所以x+y的最小值為6。

【設(shè)計(jì)意圖】題中含有兩個(gè)變量，且約束條件的方程只有一個(gè)，無法求解兩個(gè)變量的值，因此，消元是求解的一個(gè)突破口。消元法和換元法都是從這個(gè)思想出發(fā)的。利用函數(shù)思想和導(dǎo)數(shù)思想將題目轉(zhuǎn)化為解決函數(shù)最值的問題，其中將涉及函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的定義域、單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)遷移與融合，培養(yǎng)了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想。利用判別式法則體現(xiàn)了方程的思想，利用方程有解求解目標(biāo)的范圍。利用基本不等式法是考查學(xué)生的變形能力和配湊能力，充分培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。所以需要仔細(xì)研究再設(shè)計(jì)微專題，從學(xué)生復(fù)習(xí)思維發(fā)展區(qū)出發(fā)，挖掘?qū)W生在復(fù)習(xí)階段的知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，從而能引起學(xué)生知識(shí)上的增長，也能激發(fā)學(xué)生的探究熱情，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生更好地回歸出題的本質(zhì)。

（二）類比歸納，尋求創(chuàng)新

設(shè)計(jì)“微專題”的最終目的是要達(dá)到學(xué)生“做一題，通一類”的效果，形成一套基本解題策略。不能單一地停留在就題論題，不分析、不歸納、不總結(jié)解題方法。所以還需設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的“微專題”，在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生能夠自主嘗試對問題進(jìn)行探究，建立合適的數(shù)學(xué)模型，歸納出新的解題方法，將數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到新的數(shù)學(xué)情境中，體會(huì)數(shù)學(xué)思想在一般性的基礎(chǔ)上拓展學(xué)生的思維能力。因此，在研究本例題以后，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過類比歸納，提升自我，尋求創(chuàng)新的解題策略。

師：如果將條件改為二元二次齊次式，目標(biāo)是求解二元一次的最值，我們將如何處理？

【典例2】（2022年·全國·高三專題練習(xí)）已知x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2=1-xy，則2x+y的最大值是??? 。

師：此題條件下判別式法和基本不等式法是否仍然適用？消元法與方程換元法是否仍能求解？有沒有更好的處理方法？請同學(xué)們小組討論。

生1：利用判別式法可以求解，令2x+y=t，則y=t-2x，將其代入題設(shè)4x2+y2=1-xy中，并化簡得6x2-3tx+t2-1=0，把它看成關(guān)于x的一元二次方程且x為任意的實(shí)數(shù)，所以由方程有解，Δ=（3t）2-4×6（t2-1）≥0，可得-2105≤2x+y≤2105，故2x+y的最大值為2105。

生2：利用基本不等式先求解xy的范圍，從而求解（2x+y）2的范圍。

1=4x2+y2+xy≥4xy+xy=5xy，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=105時(shí)取等號(hào)，可得xy≤15，（2x+y）2≤85，即-2105≤2x+y≤2105，∴2x+y≤2105。

生3：還可以利用三角換元，從平方關(guān)系“sin2θ+cos2θ=1”出發(fā)，觀察題設(shè)條件4x2+y2=1-xy，配方可得152x2+y+x22=1，設(shè)152x=cosθ，y+x2=sinθ，從而x=215cosθ，y=sinθ-cosθ15，則2x+y=315cosθ+sinθ=2105sin（θ+φ），sin（θ+φ）SymbolNC@［-1，1］，2x+y∈-2105，2105，故2x+y的最大值為2105。

生4：可以利用齊次式，觀察題設(shè)條件為二元二次齊次式，將結(jié)論“2x+y”平方后也得到二元二次齊次式，利用1的代換得（2x+y）2=（2x+y）21=4x2+y2+4xy4x2+y2+xy，上下同除y2，（2x+y）2=4xy2+4xy+14xy2+xy+1，換元令xy=t，利用函數(shù)分離思想求最值，f（t）=4t2+1+4t4t2+1+t=1+3t4t2+1+t，設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，f（t）=1；當(dāng)t≠0時(shí)，f（t）=1+34t+1t+1，因?yàn)?t+1t∈（-∞，-4］∪［4，+∞），所以f（t）∈［0，1）∪1，85，所以f（t）SymbolNC@0，85，故2x+y的最大值為2105。

生5：從構(gòu)造余弦定理入手，由4x2+y2=1-xy整理得（2x）2+y2-12=2（2x）y·-14，不妨設(shè)x>0，y>0，則令a=2x，b=y，c=1，cosC=-14，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosθ，要求2x+y的最大值即求a+b的最大值為2105。

觀察下圖，由幾何直觀易知當(dāng)a=b時(shí)a+b取到最大值，此時(shí)a2+b2-c2=-12ab，計(jì)算可得a=105，故（2x+y）max=2a=2105。

生6：從向量入手，由題可知152x2+y+x22=1，令a=x2+y，152x，b=1，315，則｜a｜=1，所以2x+y=a·b≤｜a｜·｜b｜=｜b｜=12+3152=2105，故2x+y的最大值為2105。

【設(shè)計(jì)意圖】此例題具有典型意義、一題多解，通過該例題的研究，學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度將問題進(jìn)行分析、思考，轉(zhuǎn)化為一般問題，從而提升自身的轉(zhuǎn)化與化歸能力以及邏輯推理能力，滲透數(shù)學(xué)邏輯推理的核心素養(yǎng)。方法總結(jié)：對形如Ax2+By2+Cxy+D=0（其中A，B，C，D為常數(shù)）的形式，求mx+ny的最值（其中m，n為常數(shù)），常規(guī)的選用判別式法，令mx+ny=t，消元后代入原方程，利用一元二次方程有解求判別式；一般如果可以配方，也可以選擇三角換元，換元后求利用三角函數(shù)的取值范圍最值問題，進(jìn)而提升學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，這兩種方法學(xué)生較容易掌握，操作簡便。另外，當(dāng)A，B同號(hào)時(shí)，也可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這也是比較直觀的方法，從而可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，利用圖形較直觀地進(jìn)行求解；如果是特殊情形，可以采用齊次式和向量進(jìn)行求解，但比較局限。通過這個(gè)典型題例，學(xué)生能掌握多元最值問題解法的多種形式，在解題中進(jìn)行策略探索，不斷建構(gòu)自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，完善自己的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和模型，從而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)。

（三）鏈接拓展，提升品質(zhì)

數(shù)學(xué)中的一些新的解題思路和方法是對已有的通性通法的改進(jìn)和拓展，是為了啟發(fā)學(xué)生多層次、多角度地感受數(shù)學(xué)問題的異曲同工之妙。一題多解，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生良好的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)。微專題的設(shè)計(jì)要充分考慮學(xué)生已有的數(shù)學(xué)水平，用以滿足不同層次的學(xué)生的需求，保證每一位學(xué)生在復(fù)習(xí)中達(dá)到收益最大化。因此，教師通過“鏈接拓展，提升品質(zhì)”的微專題設(shè)計(jì)來滿足學(xué)生的分層需求，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的探究新知能力。

師：我們將條件變成三元變量的齊次式，但目標(biāo)是三元非齊次式，再來求最值。同學(xué)們，解決此類問題的核心思想是什么？你會(huì)選擇用哪種方法？

【典例3】（2021年4月·杭州二模·T15）已知x>0，y>0，z>0，且x2+y2+z2=1，則（z+1）22xyz的最小值為??? 。

生：解決求三元非齊次分式的最值，基本方法還是消元，利用不等式消元，1-z2=x2+y2≥2xy，所以（z+1）22xyz≥（z+1）2（1-z2）z=z+1（1-z）z。由于已知條件與目標(biāo)均為三元變量，可以利用基本不等式進(jìn)行消元，現(xiàn)目標(biāo)為不齊次的分式函數(shù)，可利用換元法或者配湊法將其轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)，從而求解函數(shù)最值。設(shè)m=z+1∈（1，2），則z=m-1，所以z+1（1-z）z=m（2-m）（m-1）=m-m2+3m-2=1-m+2m+3≥1-22+3=3+22，當(dāng)且僅當(dāng)“m=2”時(shí)取等，故（z+1）22xyz的最小值為3+22。

利用方程思想設(shè)z+1（1-z）z=m，則mz2+（1-m）z+1=0，則可以看成是關(guān)于z的一個(gè)一元二次方程有正實(shí)數(shù)根z1+z2=m-1m>0z1z2=1m>0Δ=（1-m）2-4m≥0，則解得m≥3+22。

【設(shè)計(jì)意圖】“微專題”注重學(xué)生獲取處理數(shù)學(xué)問題的能力，通過三元變量求最值，學(xué)生能領(lǐng)悟目標(biāo)思想的重要性，正確掌握消元的方法，再根據(jù)目標(biāo)挑選適合的解法。掌握多種解題思路有助于鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析解決問題的能力，學(xué)會(huì)從多種方向、角度思考問題，靈活解題，不斷鞏固基本知識(shí)與方法，增強(qiáng)運(yùn)算能力，提升轉(zhuǎn)化與化歸的思想，自然突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到“潤物細(xì)無聲”的效果。

通過以上3個(gè)典例的實(shí)踐探究，筆者總結(jié)了解決多元變量最值的方法。

方法一：代數(shù)法

①多個(gè)變量先消元到兩個(gè)變量（消元前必須先找到變量間的等量關(guān)系或不等關(guān)系）。

②兩個(gè)變量可以用：基本不等式：兩個(gè)正數(shù)和與積的形式。

三角換元：形如（x-a）2+（y-b）2=r2。

判別式：關(guān)于變量的二次方程有解Δ≥0。

方程換元：積為定值的雙變量方程等（能因式分解）。

整體消元：齊次分式、齊次方程等。

向量：利用相應(yīng)向量數(shù)量積運(yùn)算、模長。

③若不行，再消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量：研究函數(shù)最值：基本函數(shù)（圖象）、復(fù)合函數(shù)（換元）、其他函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）。

方法二：幾何法（將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用幾何直觀求最值）。

四、 結(jié)論

微專題形式的復(fù)習(xí)課在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，能細(xì)微精準(zhǔn)地聚焦考點(diǎn)，高效地針對某一具體知識(shí)點(diǎn)開展復(fù)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。本研究通過微專題復(fù)習(xí)的形式，探究多元變量最值問題的解題策略，不僅能夠?qū)⒏鱾€(gè)方面的知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系起來，還有助于我們探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，具有深刻的意義。而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升也不是一蹴而就的，教師需要在日常教學(xué)中不斷滲透和落實(shí)。通過對多元變量最值問題解題策略的探索，學(xué)生能不斷提高解題能力，借助運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。微專題不是小問題，也不是幾個(gè)類似的問題簡單組合而成，其是知識(shí)的再構(gòu)建，是一種為學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)而構(gòu)建的復(fù)習(xí)策略，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更能把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方向，更容易突破重點(diǎn)、難點(diǎn)。通過微專題教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于提高學(xué)生思維品質(zhì)。

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