［摘? 要］ 文章從直觀想象素養(yǎng)的內涵與構成出發(fā)，以“直線與平面垂直”為例，從“問題驅動獲得定義”“探索線面垂直概念”“活動辨析判定定理”“類比分析性質定理”四方面展開教學，剖析學生直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的措施，并從“突出學生的主體地位”“重視學生的直觀感知”“關注知識間的聯(lián)系”三方面談一些思考.

［關鍵詞］ 直觀想象；幾何直觀；空間想象

直觀想象素養(yǎng)作為數(shù)學核心素養(yǎng)的六要素之一，在數(shù)學教學中具有重要作用. 事實告訴我們，基于“數(shù)”與“形”兩個維度，為數(shù)學知識建立相應的聯(lián)系是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的重要途徑之一. 因為直觀的幾何圖形或模型，能將一些抽象且令人難以理解的復雜問題變得簡單形象，讓學生基于視覺感官中就能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘. 然而，當前仍有部分教師忽略對學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，將所有的時間和精力都放在邏輯思維的發(fā)展上，導致學生遇到實際問題時，難以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決辦法.

為此，筆者在近些年特地對直觀想象素養(yǎng)的內涵、構成以及培養(yǎng)措施進行了大量研究，取得了階段性的成效.

直觀想象素養(yǎng)的內涵與構成

1. 構成

幾何直觀在《辭?！分械亩x為一種感性認識，從數(shù)學領域來看，有著不同的解釋. 如克萊因提出，數(shù)學直觀是對數(shù)學概念或證明等的直接把握，數(shù)學學科的發(fā)展依靠的是正確的直觀，而非邏輯. 那么，幾何直觀的構成是怎樣的呢？如圖1所示，直觀想象素養(yǎng)由“數(shù)形聯(lián)系”“描述問題”“理解問題”“認識事物”四個方面構成.

2. 水平劃分

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》基于不同維度對直觀想象素養(yǎng)水平劃分為三層：第一層與高中階段的會考要求相對應；第二層與高考要求相對應；第三層則與強基要求相對應. 從這三個水平層次來看，不同的水平層次對學生思維的要求也各不一樣. 明晰各個水平層次在直觀想象素養(yǎng)構成方面所對應的要求，對發(fā)展學生的關鍵能力具有指導意義.

（1）數(shù)形聯(lián)系.

數(shù)形結合思想是數(shù)學學科中重要的思想方法之一. 建立“數(shù)”“形”之間的關系是提煉數(shù)形結合思想的首要步驟，不論兩者誰轉向于誰，均體現(xiàn)出直觀想象素養(yǎng)的水平一. 在課堂中，最常見的是要求學生從教學情境中自主將一些物品的幾何圖形抽象出來，將實際物品與抽象而來的圖形建立相對應的關系，初步感知其中的內在聯(lián)系. 若想達到直觀想象素養(yǎng)水平二的層次，則需要在關聯(lián)的基礎上，自主構建圖形，學生的思維能力則隨著圖形的建構而提升.

（2）描述問題.

完成初始的數(shù)形結合，則步入利用圖形描述問題的階段，只要順利完成描述過程，就能為提高幾何直觀賦能. 從水平層次來看，主要體現(xiàn)在如下幾方面：水平一，能用數(shù)學語言描述一些簡單圖形間的位置與數(shù)量關系，從圖形中發(fā)現(xiàn)相應的數(shù)學問題；水平二，通過對圖形的觀察與想象，發(fā)現(xiàn)并提出相應的問題；水平三，基于綜合化的情境想象出豐富的數(shù)學問題.

（3）理解問題.

在“數(shù)形聯(lián)系”與“描述問題”的基礎上，可以深化學生的幾何直觀能力，使學生對數(shù)學問題產生更深刻的理解. 具體表現(xiàn)在如下幾個層次：水平一，從圖形性質出發(fā)，從中探索出蘊含的數(shù)學規(guī)律，并借助圖形對數(shù)學問題進行描述，初步形成解題思路；水平二，探索“圖圖”與“圖數(shù)”之間的聯(lián)系，借助圖形分析解題方法，感知幾何直觀的重要性；水平三，基于數(shù)形結合的維度進行跨學科的聯(lián)系，在建模的同時形成相應的理論體系.

（4）認識事物.

在空間想象的基礎上對數(shù)學事物產生深刻認識，主要體現(xiàn)在如下幾個層次：水平一，從貼近認知體系的情境中抽象圖形；水平二，基于課堂合作與互動，借助直觀想象來探討問題；水平三，基于想象的視角直觀表達問題，揭露其中所蘊含的本質，形成解題技巧.

教學實踐

1. 問題驅動獲得定義

問題1 說一說圓錐軸與圓錐底面的位置關系.

此問的提出，意在讓學生從直觀角度中提出自己對“線面垂直”的看法. 與預設一樣，學生觀察圓錐圖后一致認為，圓錐軸與圓錐底面為垂直的關系. 這是學生所提出的猜想，至于如何確定直線與平面垂直的關系，仍需進一步研究.

問題2 借助線線垂直的研究方法，思考圓錐軸與圓錐底面內哪些直線為垂直的關系，能否確定圓錐軸與圓錐底面內任意一條直線都是垂直的？

教師借助多媒體，展示圓錐旋轉模型，讓學生直觀發(fā)現(xiàn)圓錐在旋轉時，其軸垂直于底面是恒定不變的.

問題3 通過觀察與思考，嘗試給“直線與平面垂直”下定義.

學生通過肉眼觀察，從直觀中獲得了線面垂直的結論. 在此基礎上，教師引導學生回顧并類比線線垂直的研究方法，轉化與化歸思想的應用使得學生自主探尋出線面垂直的定義. 雖說學生無法用規(guī)范、精準的語言進行描述，但隨著問題的驅動，學生的思維由感性向理性逐漸發(fā)展. 在此過程中，學生通過二維平面和三維空間的類比，有效提升了數(shù)學空間想象素養(yǎng).

2. 探索線面垂直概念

數(shù)學教學離不開用定義解題的訓練環(huán)節(jié)，這是提升學生數(shù)學思維的基本策略，也是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的重要途徑. 借助線面垂直的定義來研究空間直線、平面之間的位置關系，不僅能有效增強學生對空間圖形位置關系的辨析能力，還能幫助學生更準確地建構空間圖形，發(fā)展推理論證能力.

問題4 已知直線AB⊥α，直線l是平面α內的一條直線. 根據(jù)這兩個條件，你能獲得什么結論？

通過這個問題的探索，學生從中獲得了一條新的性質：若一條直線與一個平面為垂直的關系，那么這條直線與這個平面內所有的直線都垂直. 顯然，此問加深了學生對線面垂直的理解. 此時，學生又提出如下問題：在一個空間內，過一點存在幾條直線（或平面）與已知平面（或直線）為垂直的關系？

上述兩個問題，屬于從已知到未知的探索過程，解決問題能逐漸增強學生的空間想象素養(yǎng)，突破思維定式. 隨著對問題直觀且深入的探索，師生共同總結出“點到平面的距離”的定義.

問題5 若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線一定平行嗎？

證明此問最理想的方法是“反證法”，但對初次接觸線面垂直關系的學生而言，確實存在一定的困難，這就需要教師加以點撥與引導.

此問的實質是對“線面垂直性質定理”的探索，將這個探索活動前置的原因在于順應數(shù)學研究的一種內在邏輯關系，讓幾個問題能夠一脈相承，使得學生的思維順流而下，自然而然地在問題的探索中深度前行.

問題6 如何表述問題5所得命題的逆命題？請分別用文字語言、符號語言、圖形語言加以描述.

這就要求學生先自主畫圖，并標注已知條件，然后進行證明與表述.

生1：逆命題是：已知a∥b，a⊥α，則b⊥α.（文字、圖形描述略）

生2：證明這個逆命題看似簡單，但我感到無從下手.

師：那先不著急證明，我們一起來閱讀這個逆命題的條件，其中存在哪些數(shù)學知識內容？

生3：有線面垂直的知識內容.

師：不錯，從線面垂直的定義出發(fā)，我們可以怎樣利用它來證明這個逆命題呢？

生4：是不是可以在平面α內任意作一條直線c，使之與直線a垂直，再結合題設條件，想辦法來判斷直線b，c之間的位置關系？

生5：由線面垂直的定義可知，如果直線b與平面α內的任意直線（包括直線c）都是垂直的關系，那么直線b與平面α必然是垂直的關系.

基于以上互動，學生自主整理并書寫出完整的證明過程（略）.

3. 活動辨析判定定理

從線面垂直的定義出發(fā)，判斷一條直線與一個平面垂直，需要證明該直線與平面內的所有直線都是垂直的關系，這是難以完成的任務. 想要突破這個障礙，可以考慮從平面內直線的數(shù)量著手，引導學生通過一系列活動化繁為簡、以少勝多，將“證明直線與平面內的所有直線垂直”這個復雜問題轉化成“證明直線與平面內兩條相交直線垂直”這個簡要問題，以提高教學效率.

活動1 要求學生用一支筆作為一條直線，將桌面視為一個平面，探尋有幾條能夠滿足線面垂直定義的直線.

活動2 小組交流，對結論進行辨析.

活動3 討論完畢后各組將結論進行展示，并提煉討論過程中涉及的思想方法與解題策略等.

上述三個活動遵循著學生的認知發(fā)展規(guī)律，由淺入深地引導學生操作、思考、交流、提煉和總結，讓學生自主構建數(shù)學模型，拓展想象空間. 隨著思維的深入，學生充分感受到，在運動中，該如何科學合理地構建數(shù)學模型，并通過正反辨析法來構造反例.

活動結束后，教師將各組學生討論的結果投影展示，并要求各組派一名代表分別用不同的數(shù)學語言（圖形語言與符號語言）來描述直線與平面垂直的判定定理，以深化學生對本節(jié)課教學內容的認識，從真正意義上促進學生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

4. 類比分析性質定理

師：之前學習直線與平面平行時，獲得其判定定理后進入的又是什么研究環(huán)節(jié)？

生（眾）：性質定理的研究.

師：剛剛我們研究了直線與平面垂直的判定定理，接下來是不是該研究其性質定理了呢？結合以前的學習經驗，大家能否推斷出相應的結論？

其實，“探索線面垂直概念”的環(huán)節(jié)已涉及線面垂直性質定理相關內容，只是沒有特別提煉出來而已. 此處，教師與學生一起回顧，讓當前探索內容與之前所涉及的內容遙相呼應，增強學生自主學習能力的同時，還有效啟發(fā)學生的思維，增進學生對立體幾何研究方法的認識.

幾點思考

1. 突出學生的主體地位

基于新課標發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)，首先要突出學生在課堂中的主體地位. 任何教學活動都要站在學生的視角去設計，以學生實際認知水平為出發(fā)點實施開展. 只有充分調動學生的主觀能動性，才能讓學生主動去觀察、感知、體驗.

“以生為本”的教學活動需以問題作為激趣啟思的紐帶，借助由淺入深的問題串來開啟學生的智慧之門. 引導學生在解決問題的過程中感知、體驗知識的形成過程，建構完整的認知結構，為直觀想象素養(yǎng)的形成奠定基礎.

2. 重視學生的直觀感知

點、線、面的位置關系屬于立體幾何初步內容，是后續(xù)學習的基礎. 課堂上除了關注學生對知識與技能的掌握情況以外，還要注重學生對幾何模型的建立. 教師可將“空間點、直線、平面之間的位置關系”作為教學載體，提升學生的直觀感知能力.

新課標強調：高中數(shù)學教學不僅要引導學生根據(jù)幾何圖形想象出實際物體，還要想象出物體之間的位置關系與方位等，能夠準確描述圖形的運動與變化，并運用精準卻又不一樣的語言來刻畫圖形. 這句話明確提出數(shù)學教學應注重學生空間想象能力的培養(yǎng)，以發(fā)展學生的直觀感知. 空間想象能力作為立體幾何教學的重中之重，需引起師生的足夠重視.

3. 關注知識間的聯(lián)系

數(shù)學是一個有機的整體，知識間存在著一定的內在聯(lián)系. 立體幾何的教學，需注重空間圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，突出數(shù)學轉化與化歸思想. 一般情況下，可將空間問題轉化成平面問題來解決，降低解題難度，提高解題效率.

總之，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)能有效幫助學生從幾何直觀中感知并理解數(shù)學事物，從理性的角度來提升空間想象能力與直觀感知能力，而空間想象與直觀感知的有機融合是有效促進學生思維能力發(fā)展的基礎.

作者簡介：陸娟（1982—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.