王靜 李金梅

摘要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，在小學(xué)階段應(yīng)進(jìn)行模型意識(shí)的滲透。針對(duì)當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)建模意識(shí)缺失的問題，教師可通過放慢數(shù)學(xué)建模過程、適時(shí)滲透數(shù)學(xué)模型、強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問題的過程中感受數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)問題解決的重要策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；模型意識(shí)；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2024）03-0113-04

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)模型在不同階段均有所體現(xiàn)，特別是在中、高年級(jí)階段，利用數(shù)學(xué)模型分析問題是問題解決的一種重要策略，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型架構(gòu)下的數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用。數(shù)學(xué)模型是刻畫數(shù)學(xué)問題的重要方式，也是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)方式。數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)重要地位，是學(xué)生必備的基本能力，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有目的地滲透數(shù)學(xué)模型意識(shí)。

一、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模意識(shí)缺失的歸因分析

當(dāng)前，一些教師注重對(duì)學(xué)生考試技能的訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)題型的探索。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中往往處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，通過大量機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，他們的應(yīng)試能力得到提升，而往往忽略了數(shù)學(xué)建模意識(shí)的發(fā)展。究其原因，主要存在以下問題。

（一）目標(biāo)單一，忽略數(shù)學(xué)模型的價(jià)值

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科從基本的數(shù)學(xué)概念到復(fù)雜的問題應(yīng)用、幾何圖形的證明，無論“數(shù)量關(guān)系”還是“空間形式”，都以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，用不同數(shù)學(xué)模型直觀呈現(xiàn)問題，并利用這些模型來分析解決問題。無論涉及數(shù)學(xué)學(xué)科中哪個(gè)方面的知識(shí)，數(shù)學(xué)模型都是學(xué)習(xí)與探索的重要工具。數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供了有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問題提供了重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的意義。

然而在現(xiàn)實(shí)中，很多教師忽略了數(shù)學(xué)模型的重要價(jià)值，將教學(xué)目標(biāo)定位于數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念等素養(yǎng)的培養(yǎng)，有的小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教師甚至僅僅關(guān)注教學(xué)各種計(jì)算公式。如果數(shù)學(xué)教師長(zhǎng)期忽略數(shù)學(xué)建模的重要價(jià)值，只是追求教學(xué)技能的提升，那么學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中就無法形成數(shù)學(xué)模型意識(shí)。在教學(xué)中，教師只有突出數(shù)學(xué)建模在問題解決中的重要價(jià)值，才能培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、解決問題的能力。教師要從更新觀念入手，在教學(xué)中通過一些常見的問題滲透數(shù)學(xué)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生在思考過程中形成數(shù)學(xué)模型，突顯數(shù)學(xué)模型在解決問題中的重要價(jià)值，從而為將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

（二）眼高手低，忽略模型意識(shí)的滲透

小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力還處于初級(jí)階段，他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)還不夠清晰，有些教師便錯(cuò)誤地認(rèn)為滲透建模意識(shí)沒有必要。數(shù)學(xué)建模是一種相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)，教學(xué)周期較長(zhǎng)且不易產(chǎn)生立竿見影的效果，而傳統(tǒng)的技能機(jī)械訓(xùn)練是學(xué)生易于模仿和掌握的，因此部分教師在課堂上只是將數(shù)學(xué)知識(shí)原原本本地教給學(xué)生，而忽略了模型意識(shí)的滲透。數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，表征研究對(duì)象的主要特征和數(shù)量關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)概念、關(guān)系、運(yùn)算、圖形、數(shù)據(jù)等都源于現(xiàn)實(shí)生活，是對(duì)現(xiàn)實(shí)模型數(shù)學(xué)化的結(jié)果，而當(dāng)這些數(shù)學(xué)對(duì)象被用于解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，又需要借助具體的模型表達(dá)實(shí)際意義。通過建立這種數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向聯(lián)系，學(xué)生可以形成初步的模型意識(shí)[1]。由于小學(xué)生年齡小，認(rèn)知能力弱，模型意識(shí)的發(fā)展以滲透的方式為主，需要教師深入教學(xué)研究、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“形成—建立—求解”的數(shù)學(xué)建模全過程。

（三）顧此失彼，忽略模型內(nèi)涵的特質(zhì)

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)能力的三大核心，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。學(xué)生如果具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象及較高的邏輯推理能力，其建模能力也會(huì)自然得到提升。因此，抽象和推理都是為模型的建立服務(wù)的，通過三者深度融通，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及綜合素養(yǎng)也能夠得到長(zhǎng)足的進(jìn)步。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)模型思想，分不同的階段逐步實(shí)施，旨在通過建模幫助學(xué)生形成模型意識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型增強(qiáng)應(yīng)用能力。但教師在教學(xué)實(shí)踐中，會(huì)跳過數(shù)學(xué)模型，而重點(diǎn)研究數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，忽略模型的內(nèi)涵，弱化了模型在思考問題中的重要意義。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)模型意識(shí)的實(shí)踐研究

模型意識(shí)既是一種數(shù)學(xué)問題解決的重要策略，也是數(shù)學(xué)思維表達(dá)的一種形式。數(shù)學(xué)學(xué)科中無論何種數(shù)學(xué)模型，都需要以數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)為基礎(chǔ)，在問題分析研究中抽象為數(shù)學(xué)模型，并反過來作用于問題，形成系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中滲透模型意識(shí)，學(xué)生才能逐步形成建模觀念，最后形成數(shù)學(xué)建模能力。

（一）“慢”體驗(yàn)、“深”感悟——放慢數(shù)學(xué)建模過程，讓思維走向嚴(yán)謹(jǐn)與深刻

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的一種基本思想[2]。對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的滲透與培養(yǎng)，能夠促進(jìn)學(xué)生“四能”的發(fā)展，從而達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)科教育的目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)夯實(shí)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，使其具備初步的抽象和推理能力，推動(dòng)數(shù)學(xué)模型能力的形成。求解模型的過程有時(shí)比較漫長(zhǎng)，在建模的過程中，既要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身，也要讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)知識(shí)過程中體會(huì)模型的重要內(nèi)涵。

例如，在蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律”的教學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)模型的滲透分以下幾個(gè)步驟：第一步，通過學(xué)生自己舉例運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，同桌之間討論并舉例，通過例舉整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等不同類別數(shù)的運(yùn)算事實(shí)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)論的正確性；接著將之抽象為加法交換律的模型，然后驗(yàn)證模型的正確性。第二步，問題引領(lǐng)，教師提問：“你想用什么方法驗(yàn)證加法交換律是正確的？再寫幾例驗(yàn)證，你能用自己的語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”以上活動(dòng)都為進(jìn)一步驗(yàn)證定律的正確性打好基礎(chǔ)。驗(yàn)證的過程分兩個(gè)層次：第一，學(xué)生通過畫線段圖進(jìn)行驗(yàn)證，畫出線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)，并在圖中標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)值；第二，在線段圖上標(biāo)上相應(yīng)的字母（字母表示數(shù)值）。以上驗(yàn)證活動(dòng)運(yùn)用了線段圖驗(yàn)證的方法，教師適時(shí)追問，讓學(xué)生說出自己的想法，并對(duì)驗(yàn)證方法進(jìn)行質(zhì)疑：“有沒有遇到反例，或者出現(xiàn)不相等的例子？”最后，教師再加以總結(jié)歸納。在這個(gè)案例中，學(xué)生通過“發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證—質(zhì)疑—?dú)w納”的過程，形成對(duì)加法交換律模型的認(rèn)識(shí)，這個(gè)過程非常慢，通過一兩個(gè)例子不能加以肯定，只有通過大量不同的例子才能初步感受其正確性；接著在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生通過兩個(gè)層次的遞進(jìn)認(rèn)識(shí)過程才能加以肯定。筆者利用了圖形表征的方法，從合情推理到演繹推理的過程是數(shù)學(xué)模型的核心所在；從構(gòu)建證明方法到圖形如何證明，這既需要一定的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，也要具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力；從各種不同數(shù)值的驗(yàn)證到抽象字母的模型，學(xué)生的思維活動(dòng)也從數(shù)字直觀上升為數(shù)學(xué)抽象，體現(xiàn)了思維更加嚴(yán)謹(jǐn)與深刻。最后的數(shù)學(xué)質(zhì)疑是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的重要環(huán)節(jié)，也是讓數(shù)學(xué)模型得以完備的重要基礎(chǔ)。建模是培養(yǎng)綜合能力的催化劑和腳手架，需要通過“慢”體驗(yàn)、“深”感悟的過程逐步發(fā)展形成。

（二）“抓”節(jié)點(diǎn)、“找”共性——適時(shí)滲透數(shù)學(xué)模型，讓思維走向延展與變化

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型必須具備一定的數(shù)學(xué)思維能力，不僅體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，問題的分析與解決能力，還包括數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力、數(shù)學(xué)邏輯推理能力以及對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的思考能力等。突出數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，必須抓住學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，從多角度設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，并抓住契機(jī)進(jìn)行總結(jié)歸納，使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，從而滲透必要的數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)模型意識(shí)。在滲透模型意識(shí)時(shí)，教師要緊密聯(lián)系學(xué)生的思維活動(dòng)過程，抓住關(guān)鍵的思維節(jié)點(diǎn)，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模型入手到延展變化模型，在思維逐步深入的同時(shí)，使學(xué)生感受模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到模型的共性，并為其發(fā)展夯實(shí)根基。

例如：在蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”的教學(xué)時(shí)，教師可以先組織學(xué)生計(jì)算教材中的兩道計(jì)算題：（36+24）×15、36×15+24×15 ，再讓學(xué)生交流：“根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然計(jì)算順序不同，但結(jié)果相同。緊接著讓學(xué)生自主列舉出類似的例子，在學(xué)生充分列舉的基礎(chǔ)上，出示圖1。

教師提問：“這是我們?cè)?jīng)研究過的14×12的點(diǎn)子圖，你能看懂這點(diǎn)子圖嗎？”學(xué)生結(jié)合圖形很快給出結(jié)論：上面部分是10行，下面2行，即把12分成10和2，算式表示為14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。緊接著教師追問：“這個(gè)點(diǎn)子圖與你發(fā)現(xiàn)的等式有怎樣的規(guī)律呢？”學(xué)生通過討論得出：計(jì)算一個(gè)數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的和，再乘一個(gè)數(shù)，就等于一個(gè)數(shù)乘這個(gè)數(shù)，加上另一個(gè)數(shù)也乘這個(gè)數(shù)。在此基礎(chǔ)上教師提問：“你還能再舉出生活中一些類似于列出這樣式子的實(shí)例嗎？”學(xué)生舉例后，教師再次拋出一個(gè)問題以引導(dǎo)學(xué)生的思維走向縱深：“你能選擇一種表達(dá)方式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”

上述教學(xué)案例由表及里，從運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律到總結(jié)形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，注重學(xué)生的思維發(fā)展過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)首先從數(shù)學(xué)運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，舉出類似的等式驗(yàn)證其正確性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)等式可以利用圖形來解釋，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)乘法分配律，以生活中的實(shí)例為基礎(chǔ)說明乘法分配律的重要價(jià)值，最后抽象字母表示乘法分配律模型，每一個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)都為模型生成奠定了基礎(chǔ)。在教學(xué)活動(dòng)中，多角度突出數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，并利用圖形表征、語(yǔ)言表征、符號(hào)表征等形式形成對(duì)乘法分配律模型的從直觀到抽象的認(rèn)識(shí)，能逐漸加深學(xué)生對(duì)乘法分配律的認(rèn)同感，使學(xué)生在自我否定和不斷補(bǔ)充完善中抽象出數(shù)學(xué)模型，體會(huì)到模型的重要價(jià)值，并親身經(jīng)歷建構(gòu)模型的整個(gè)過程，感受更加深刻[3]。

（三）“強(qiáng)”認(rèn)知、“多”應(yīng)用——強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)，讓思維走向形象與自覺

數(shù)學(xué)建模的建構(gòu)過程一般是以數(shù)學(xué)問題探索為起點(diǎn)，嘗試在問題解決中發(fā)現(xiàn)模型，開展模型求證，最后運(yùn)用模型分析解決問題。在教學(xué)過程中，教師在滲透模型意識(shí)時(shí)，應(yīng)從問題入手，在分析解決問題中，模型漸漸顯露出來，學(xué)生們自然對(duì)數(shù)學(xué)模型有清楚的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)認(rèn)知，體會(huì)到模型是解決問題的重要媒介。引導(dǎo)中高年級(jí)學(xué)生嘗試運(yùn)用最基本的簡(jiǎn)單模型分析問題，這是課堂教學(xué)的一個(gè)新嘗試，也能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型的理解與辨析能力。在數(shù)學(xué)模型辨析環(huán)節(jié)，教師可以通過問題對(duì)比，明晰模型的不同特征與結(jié)構(gòu)。例如，在辨析長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)模型與面積計(jì)算模型時(shí)，可以先從周長(zhǎng)與面積的概念入手，使學(xué)生感受到兩個(gè)概念的不同；再?gòu)墓降耐茖?dǎo)來辨析公式的區(qū)別；最后設(shè)計(jì)題目訓(xùn)練，讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)更加明確[4]。當(dāng)學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型有了清晰的認(rèn)識(shí)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上嘗試運(yùn)用。例如，一年級(jí)學(xué)生在解決問題“媽媽有8個(gè)橘子，比小明多3個(gè)橘子，小明有幾個(gè)橘子？”時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這就是對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多或者少幾”的模型。學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是“5+3=8”，這是因?yàn)閷W(xué)生未真正理解多和少的本質(zhì)。只有當(dāng)學(xué)生在正確理解把握的基礎(chǔ)上，才能開展類似問題的探索，并開展問題對(duì)比的教學(xué)活動(dòng)。

當(dāng)然，對(duì)于小學(xué)生來說，滲透數(shù)學(xué)模型意識(shí)需要有漫長(zhǎng)、漸進(jìn)的過程，也需要教師不斷地開展教學(xué)實(shí)踐與探索。教師要從教學(xué)理念更新入手，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型在學(xué)科教學(xué)中的重要作用，并開展相關(guān)課題的思考與實(shí)踐，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與應(yīng)用過程，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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責(zé)任編輯：趙赟